Математика. Материалы курса

 

 

Лекция «Проверка статистических гипотез».

Рассмотрим проверку статистической гипотезы об однородности двух выборочных совокупностей.

Первый случай, когда объем обеих выборочных совокупностей не превосходит 25. Здесь представлен алгоритм, который необходимо выполнить для того, чтобы сделать соответствующую проверку на однородность. Здесь необходимо выбрать уровень значимости, сформулировать гипотезы –нулевую и альтернативную, найти эмпирическое значение критерия, найти по таблице Вилкоксона нижнюю критическую границу и по формуле – верхнюю критическую. Далее, если наше эмпирическое значение находится между нижней критической точкой и верхней, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. В ином случае нулевую гипотезу отвергают.

Рассмотрим пример. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности двух выборочных совокупностей. Здесь значения первой выборочной совокупности и второй выделены соответствующим цветом, и мы это учтем при решении.

Здесь уровень значимости 0,05. Гипотезы сформулированы Н₀ и Н₁. Второй шаг – расположим варианты обеих выборочных совокупностей в возрастающем порядке, в виде оного вариационного ряда, и найдем сумму порядковых номеров вариант первой выборочной совокупности. Здесь первая выборочная совокупность выделена соответствующим цветом. Мы будем суммировать соответствующие им порядковые номера вариант. Тем самым получаем эмпирическое значение критерия равное 41.

Найдем по таблице Вилкоксона нижнюю критическую точку. Здесь у нас уровень значимости 0,05 поделим на 2 и выбираем столбец 0,025. Объем первой выборки 6, второй – 7, соответственно нижняя граница составляет 27.

Нижняя – 27. Подставляем в формулу и находим верхнюю критическую точку – это 57. Эмпирическое значение 41 попадает в диапазон от 27 до 57, и тем самым можем сделать вывод, что нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборочных совокупностей.

Сейчас рассмотрим второй случай (объем хотя бы одной выборочной совокупности превосходит 25). Алгоритм здесь состоит из таких же шагов. Выбираем уровень значимости a. Гипотезы формулирует Н_0­, Н₁. Также находим эмпирическое значение критерия, как сумму порядковых номеров вариант первой выборочной совокупности. И находим нижнюю и верхнюю критические точки.

Нижнюю критическую точку находим по формуле (здесь она обозначена *). Z_крит находится либо по таблице значений функции Лапласа, либо с помощью статистической функции НОРМ.СТ.ОБР. Четвертый шаг – сравниваем эмпирическое значение с нижней и верхней критическими точками. Если у нас эмпирическое значение попадает между нижней и верхней критическими точками, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. В ином случае нулевую гипотезу отвергают.

Рассмотрим пример. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности двух выборочных совокупностей объемов 40 и 50. Здесь эмпирическое значение дано, оно равно 1650.

Уровень значимости по условию 0,05. Гипотезы Н₀, Н₁ представлены. Здесь эмпирическое значение критерия по условию дано, и найдем сейчас нижнюю критическую точку. Для этого находим z_крит с помощью статистической функции НОРМ.СТ.ОБР.

Обратите внимание, что здесь в окно «Вероятность» мы вносим значение, на самом деле, доверительной вероятности, т.е. из единицы вычитаем уровень значимости, делим на два и прибавляем еще 0,5. Наше критическое значение представляет приближенно 1,96.

Найдем нижнюю критическую точку по формуле. Здесь квадратные скобки означают, что мы должны округлять наше значение. И нижняя критическая точка (причем округлять до целого) составляет 1578. Подставляем в формулу и находим верхнюю критическую точку. Здесь мы получаем 2062. Эмпирическое значение по условию 1650. Получаем, что эмпирическое значение попадает в диапазон между нижней критической точкой (1578) и верхней критической точкой (2062). Таким образом нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборочных совокупностей.

Проверка статистической гипотезы о сравнении средних генеральных совокупностей с известными дисперсиями.

Здесь представлен алгоритм. Также выбираем уровень значимости. Формулируем гипотезы. Находим эмпирическое значение критерия по формуле.

Находим критическое значение критерия с помощью статистической функции НОРМ.СТ.ОБР. И сравниваем эмпирическое и критическое значения критерия. Здесь, обращаю Ваше внимание, что в лабораторной работе данный критерий сравнения средних генеральной совокупности рассмотрен и примеры там приведены. Поэтому здесь пример я не предлагаю.

И мы переходим к следующей проверке статистической гипотезы о сравнении средних генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями.

В этом случае необходимо рассматривать независимые совокупности и зависимые. Опять-таки сразу хочу предупредить, что здесь примеры не приведены, т.к. записана лабораторная работа по соответствующим критериям сравнения средних генеральных совокупностей для неизвестных дисперсий, где приведены примеры по каждому алгоритму. Здесь алгоритм пошагово расписан. Также выбираем уровень значимости. Гипотезы Н₀, Н₁ формулируем. Находим эмпирическое значение по формуле.

Также находим критическое значение. Здесь можно использовать для этого статистическую функцию СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х. И далее необходимо сравнить эмпирическое и критическое значения критерия.

Для зависимых совокупностей алгоритм здесь также начинается с того, что формулируем гипотезы Н₀, Н₁, такие же, как и в предыдущем алгоритме. Уровень значимости здесь выбираете сами. Это либо 0,05, либо 0,01, либо 0,1. Второй шаг – находим эмпирическое значение критерия. Здесь обратите внимание, что знаменатель в этой формуле тоже придется найти по соответствующей дополнительной формуле, которая представлена в шаге 3.

Четвертый шаг – мы находим критическое значение критерия Стьюдента, используя статистическую функцию СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х. И на последнем шаге мы должны сравнить эмпирическое и критическое значения критерия Стьюдента.

Проверка статистической гипотезы о значимости коэффициента корреляции.

Алгоритм.

Первый шаг. Выбираем уровень значимости и формулируем гипотезу. Здесь нулевая гипотеза – это гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Противоположная или конкурирующая гипотеза Н₁ - о неравенстве нулю генерального коэффициента корреляции.

Второй шаг. Находим эмпирическое значение критерия по формуле.

На третьем шаге мы находим критическое значение критерия, либо используя таблицу Стьюдента, либо с помощью статистической функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х.

И четвертый шаг – сравниваем эмпирическое и критическое значения. Если у нас эмпирическое по модулю меньше критического, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. В ином случае нулевую гипотезу отвергают.

Рассмотрим пример. Из двумерной генеральной совокупности были извлечена выборочная совокупность объемом 100 и найден выборочный коэффициент корреляции 0,2. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции.

Первый шаг. Уровень значимости по условию составляет 0,05. Сформулируем гипотезы Н₀, Н₁ в соответствии с алгоритмом.

Найдем (следующий шаг) эмпирическое значение критерия. Подставим в формулу вместо n 100, выборочное значение корреляции 0,2 тоже подставляем и получаем наше значение 2,02.

Следующий шаг. Найдем критическое значение критерия с помощью статистической функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х. Наше значение - здесь находится Вероятность – это уровень значимости 0,05, а Степень_свободы здесь находится как n-2. N в нашем случае – это 100, поэтому из 100 вычитаем 2 и получаем Степень_свободы 98. Приближенно возьмем критическое значение 1,99.

И последний шаг. Эмпирическое значение мы нашли, и оно составляет 2,02. Критическое значение 1,99. Эмпирическое значение больше критического. Тогда отвергаем нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Следовательно, можно сделать вывод, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Т.е. случайные величины X и Y коррелированы.

Желаю успешного усвоения материала. Всего доброго.