Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределений
Практическое задание «Проверка устойчивости для стандартных распределений».
Напомню, что распределение считается устойчивым, если сумма случайных величин, имеющих это распределение, также будет иметь аналогичное распределение. То есть, например, если мы говорим про биномиальное распределение, то, если сумма случайных величин, имеющих биномиальное распределение, также имеет биномиальное распределение, возможно с другими параметрами, то мы скажем, что биномиальное распределение устойчиво. На лекции мы показали, что индикатор случайного события и равномерное распределение устойчивыми являться не будут.
Что же с биномиальными? Вот нам стоит задача: найти характеристическую функцию случайной величины, которая является композицией случайных величин, имеющих биномиальное распределение, и ответить на вопрос: устойчива или нет.
Давайте сначала посмотрим в общем виде. Характеристическая функция k-ой случайной величины в точке t будет вычислена как сумма, где, ну допустим, l меняется от 0 до nk, сначала у нас значение, это будет е в степени itl. См. видео. Тогда, используя бином Ньютона, получим, что это не что иное, как см. видео. Тогда характеристическая функция величины η будет равна произведению характеристических функций величин ξk. Нам дано, что эти величины независимы в совокупности, при этом как раз их сумма и является значением случайной величины η. Тогда, характеристическая функция суммы равна произведению характеристических функций, то есть мы получим произведение (см. видео). Здесь можно заметить, что для произвольных pk и nk данное распределение устойчивым не будет, то есть нам легко не преобразовать вот к такому же виду, поэтому будем рассматривать случай, когда все вероятности равны. То есть p1 = p2 = … = pm. А, соответственно, будут равны q1, q2 … qm, как 1 минус соответствующе p. Тогда индекс к уберется, при этом n-ки, по-прежнему, оставим произвольными. У нас получится произведение степеней одинаковых скобок, то есть вот здесь эти скобки не зависят от k. Тогда произведение этих степеней – это данное число е в степени it на p+q в степени, являющейся суммой вот этих степеней. Мы получим е в степени it p + q в степени n1+ n2 + и так далее плюс nm. Если эту сумму обозначить число n – это общее количество испытаний, то как раз получим характеристическую функцию для случайной величины, имеющей биномиальное распределение с параметрами n и p. То есть, если мы рассмотрим случайные величины, имеющие одну и ту же вероятность с разными параметрами n, то есть с разным количеством испытаний, то тогда такая система случайных величин будет устойчивой. Их можно объединять в одну. То есть изучаем какое-то случайное событие: раз провели группу испытаний, два провели группу испытаний, три провели группу испытаний, то все эти испытания можно легко объединять в одно испытание, так как распределение суммы также будет иметь биномиальное распределение, где количество испытаний равна сумме вот этих частичек. То есть распределение устойчиво именно при постоянном p.
И еще один пример, для тоже популярного распределения – непрерывного распределения, которое называется нормальное. Напомню, что случайная величина имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения такова (см. видео). То есть вот такой вид имеет плотность распределения для величины, имеющей нормальное распределение. Найдем для простоты плотность распределения для случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение, то есть в случае, если m=0, σ2 = 1, ну и, соответственно, σ=1. Тогда (я буду называть) ѱ0(t) будет равно (см. видео). Если мы поставим m=0, а сигма = 1, то мы получим е в степени х квадрат пополам и все это по dx. Что можно заметить, что у меня экспонента в степени какого-то многочлена второй степени. Выделим полный квадрат. И этот коэффициент вынесем за знак интеграла (см. видео). Чтобы собрать полный квадрат, мне нужно еще прибавить (it)2. Раз мы здесь прибавили (it)2, значит, надо вычесть (it)2, см. видео. Это dx. Продолжим, на следующем слайде (см. видео). Я сразу разобью часть с квадратом и часть без квадрата (см. видео). Заметим, что е в степени минус t2/2 от x не зависит, его можно вынести за знак интеграла, а значит, под интегралом останется лишь вот такое выражение (см. видео). Если сделаем замену y = x - it, то dx будет равно dу, границы не изменится, а, соответственно, данный интеграл будет, по-прежнему, равен √(2π), поэтому мы получим, что характеристическая функция случайной величины будет равна е в степени минус t2/2. Вот такая характеристическая функция. Но это для стандартного нормального распределения.
В общем случае воспользуемся тем, что ѱa+bξ(t) вычисляется как (см. видео). Подставим. Мы знаем, что в общем виде у нас наша случайная величина ξk будет равна m k + σk ξ0, где ξ0 – это стандартная нормальная случайная величина. Тогда ѱk будет равно (см. видео), и надо будет это умножить на вот эту величину, где вместо t мы подставим σkt, (см. видео). Хорошо. Вот такой вариант получим. Если η – это сумма ξ1 + ξ2 + … + ξm, где случайные величины в совокупности – независимые, то получим ли мы такое же выражение? Давайте проверим (см. видео). Давайте отдельно перемножим первые множители и отдельно перемножим вторые множители. Получим произведение вот таких вот величин (см. видео). Я могу записать как е в степени m1t + m2t + …, и t вынести за скобку. Поэтому я могу написать, что это сумма m1+…+mm, умноженная на t. Далее я отдельно перемножу все вторые множители, опять же у нас получится произведение (см. видео). Так как у суммы случайных величин, если у первой математическое ожидание равно m1, a у второй – m2, у третьей – mm, то математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Обозначим это буквой mΣ, чтобы с m не путать. А сумма дисперсий независимых в совокупности случайных величин также будет равна дисперсии их сумм. Это обозначу σ2 (без индекса). Таким образом, я получу, что характеристическая функция для композиции будет иметь следующий вид: см. видео. А значит, характеристическая функция для суммы будет иметь такой же вид, как и характеристическая функция для одной случайной величины. Тут она немножко затерялась, вот она. То есть вот такой же вид. А значит, нормальное распределение является устойчивым для любых параметров m и σ. То есть если у нас есть серия опытов со случайной величиной, имеющей нормальное распределение, еще одна серия опытов, имеющих нормальное распределение и так далее, то все эти серии можно объединить в одну, у которой математическое ожидание равно сумме математических ожиданий, дисперсия равна сумме дисперсий.
Можно приступать к решению задач, где также нужно установить устойчивость стандартных
распределений. Всем успехов.