Математика. Материалы курса

Условная вероятность. Формула полной вероятности, формула Байеса.

Для начала рассмотрим пример: пусть есть некоторая урна в которой находится 11 красных, 10 синих и 9 зеленых шаров. Нам требуется найти вероятность того, что сначала мы достанем красный шар потом синий и только потом зеленый. При этом вынимаем по очереди три шара.

Давайте введём события: пусть событие А - это первым, окажется красный шар, события В – вторым, окажется синий шар и событие С - третьим, окажется зеленый шар. Тогда нам требуется найти вероятность произведения этих событий. Несложно убедиться в том, что эта вероятность не равна произведению вероятностей событий А, В и С.

Для этого рассмотрим условную вероятность, как еще один пример вероятностной функцией.

Разберем еще один пример: пусть игральная кость подбрасывается один раз, при этом мы не видим результат, который нам выпал, но наш знакомый увидел и сказал, что выпало больше 3 очков. Требуется узнать, какова вероятность того, что на кости выпало нечётное число очков. Давайте посмотрим, что происходит: пусть события А - это выпало нечётное число очков , это события вероятность которого нам интересно , априорная вероятность, то есть вероятность до того как был произведен опыт равна 1/2 , так как нам подходят 3 элементарных исхода из 6, но, так как мы получили дополнительную информацию о том, что выпало больше трех очков, то есть 4, 5 или 6, то мы уже знаем, что количество очков 1 или 3 выпасть не могло, а значит из трех элементарных исходов, которые могли быть, нам подходит только один. Таким образом, мы перешли от одного пространства элементарных исходов к другому и вероятность нашего события изменилось, то есть в данном случае вероятность события уже не 1/2 , а 1/3. Такая вероятность и называется условной, обозначается при помощи черты, получается, что мы нашли вероятность события А при условии, что события В произошло.

На следующем слайде дано определение условной вероятности, при этом можно заметить, что любую вероятность можно считать условным, то есть, если в качестве события В взять события омега достоверное, то вероятность события А есть не что иное, как вероятность события А, при условии, что омега произошло.

Для вычисления условной вероятности можно воспользоваться формулой, приведенный на слайде. Рассмотрим пример, можно воспользоваться формулой приведенные на слайде, воспользуемся этой формулой в предыдущем примере: то есть опять же события А выпало нечётное число очков, события В выпало очков больше трех, вероятность события В 1/2 , так как нам подходит 3 элементарных исходов из 6, вероятность их произведения - это только элементарный исход 5, это один из шести вероятность 1/6, а значит вероятность события А, при условии что B произошло, равна отношению вероятности произведение к вероятности события В, то есть 1/3.

Правило умножения. Условную вероятность можно использовать при вычислении вероятности произведения двух событий, то есть мы можем из предыдущего отношения выразить вероятность произведения событий, либо вероятность события А на условную вероятность В, при условии А, либо наоборот. При этом, если события независимы, то есть вероятность произведения события равна произведению их вероятностей, то вероятность события В, при условии А, равна по определению условной вероятности, вероятности произведения события на вероятность события А, а так как события независимы, то можно расписать как произведение вероятностей, и вероятность события А сократится.

Таким образом, вероятность события В при условии, что А произошло, равна А априорной, то есть безусловной вероятности события В, также можно доказать, что вероятность события В при условии, что А не произошло, будет равна вероятности события В.

Таким образом, можно дать второе определение независимости двух событий. События независимы тогда и только тогда, когда вероятность события В не меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет.

Рассмотрим первый пример: распишем вероятность произведения через условную вероятность, на слайде можно проследить, как это происходит. В итоге мы представим вероятность произведения в виде произведения трех вероятностей: события А - в первый раз вынули красный шар, события В при условии А - вынули синий шар сразу после красного, события С - вынули зеленый шар при условии, что красный и синий уже извлечены.

Вероятность события А равна 11/30, далее после того, как извлекли красный шар, осталось 29 шаров из которых 10 синих, значит вероятность события В при условии А равна 10/29 и вероятность события В при условии, что события А, В произошло равна 9/28. Таким образом, это произведение этих вероятностей и есть вероятность, требуемая в задаче.

Рассмотрим ещё один пример: пусть имеются две урны, при этом в первой 3 белых и 2 черных шара, а во второй 7 белых и 3 черных. Задача стоит найти вероятность достать белый шар, если первый случай: шар извлекается из 1 урны, так как в этой уровне 3 белых шара, значит вероятность 3/5, то есть 0,6, если шар достается из второй урны, то вероятность достать белый шар будет равна 7/10, так как у нас в урне 7 белых шаров из 10 всего.

Более сложная задача: требуется найти вероятность достать белый шар из произвольной урны. Когда мы говорим, что урна выбирается наугад, мы предполагаем, что с равной вероятностью может быть выбрана и 1, и 2 урна, то есть в данном случае опытом будут извлечение шары из произвольной урны, а элементарным исходом будет пара номер урны и номер шара в урне.

Пусть событие – h1 шар извлекли из первые урны, ровно половина элементарных исходов благоприятна событию h1. Значит вероятность данного события 1/2, аналогично, вероятность события h2 шар извлекли из второй урны также равна ½. Нарисуем на диаграммах Эйлера Вена, при этом заметим, что сумма двух событий h1 и h2 равна достоверному событию, то есть множество элементарных исходов в объединении данных событий является множество всех элементарных исходов, при этом события h1 и h2 несовместны, то есть их множество элементарных исходов не пересекаются.

Теперь введем еще одно событие: извлечен белый шар, добавим его на диаграмму Эйлера Вена, тогда событие С можно представить, как С умноженное на сумму ha1 и h2, так как при умножении на достоверное событие ничего не изменяется. Раскроем скобочки, заметим, что события h1 и h2 будут не совместны, так как события h1 и h2 не совместны, тогда вероятность события C можно представить, как вероятность суммы, а так как события несовместны, то и можно представить, как сумму вероятностей этих событий. Распишем вероятности произведений через условные вероятности, то есть вероятность события С мы можем представить как вероятность события h1, умноженная на вероятность события В при условии h1 плюс вероятность события h2, умноженная на вероятность события С при условии h2. Первые вероятности события h1 и h2 мы уже знаем, осталось найти вероятности события С при условии h1 и вероятность события С при условии h2. Заметим, что это не что иное, как белый шар достали из первой урны и белый шар достали из второй урны, то есть эти вероятности равны 0,6 и 0,7 соответственно, таким образом вероятность искомого события равна 0,65. Данный пример демонстрирует применение формула полной вероятности , которая приведена будет на следующем слайде.

Для того чтобы обобщить этот пример введём еще одно определение: пусть h1, h2 и так далее hkt -это некоторый набор событий которым удовлетворяют 2 условия: первое условие - сумма этих событий является событием достоверным и второе условие- любые два события являются несовместными, еще говорят события попарно несовместных. Тогда данный набор называются полной группой несовместных событий.

Формула полной вероятности: пусть у нас все множество элементарных исходов разбита на попарно несовместное событие, то есть имеется полная группа несовместных событий, при этом нас интересует вероятность некоторого события А, которую напрямую вычислить неудобно, тогда вероятность события А мы можем вычислить через условные вероятности, то есть, если нам известны вероятности событий h1 и А при условии h1, h2 А при условии h2 и так далее, то по формуле приведенной на слайде, мы можем вычислить вероятность события А. Доказательство этой формуле аналогично выведенному нами в примере, оно будет рассмотрено в справочнике по самостоятельной работе.

Рассмотрим пример: пусть имеется три завода производящих одну и ту же продукцию, при этом первый завод производит 25 процентов всей продукции, второй завод – 35 процентов, а третий завод – 40 процентов всей продукции. При этом у каждого завода возможен брак: у первого завода вероятность брака 0,05, у второго завода – 3 процента всей продукции оказывают бракованными и у третьего завода – 4 процента. Требуется найти вероятность того, что случайно выбранное изделие, которое мы выбрали из смеси всех изделий всех трех заводов будет бракованным.

В данном случае все множество элементарных исходов можно разбить на три гипотезы: купленное изделие принадлежит заводу номер 1, купленное изделия принадлежит заводу номер 2 и купленное изделия принадлежит заводу номер 3. Вероятности этих гипотез будут соответствовать процентам производимой продукции. Введем событие А- куплено бракованные изделия, тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности, подставим известные нам величины и получим, что вероятность данного события равна 0,39. Также формулу полной вероятности часто применяют при вычислении условных вероятностей, то есть если у нас по-прежнему имеется полная группа несовместных событий, при этом нас интересует не вероятность какого-то события, а нам уже известно, что некоторое событие произошло, а интересует нас вероятность какой-то гипотезы при условии, что это событие произошло, то можно воспользоваться формулой Байеса, где в числителе вероятность того, что события А произошло, и гипотеза произошла, также можно представить через условную вероятность, а в знаменателе вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.

Рассмотрим пример, то есть в предыдущей задаче нам стало известно, что мы купили бракованное изделие и мы хотим выяснить, а какова же вероятность того, что его произвел первый завод. Опять же события вводим те же самые, при этом найти нам нужно вероятность события h1 при условии, что А произошло, то есть вероятность того, что произведено изделие первым заводом при условии, что оно бракованное. Можно вычислить по формуле условной вероятности, где знаменатель мы уже вычислили в предыдущем примере, того мы получим, что примерно эта вероятность равна 0,32.