Математика. Материалы курса

 В данной лекции мы рассмотрим понятие вероятность и приведем примеры вероятностных функций. Исторически первым определением вероятности было определение статистическое. Рассмотрим отношение N(A) к N (данное отношение называется частотой случайного события). Если при N, стремящимся к бесконечности, существует предел частоты, равный p, то число p называется вероятностью случайного события. Теория вероятности рассматривает только статистически устойчивые события, то есть те, у которых частота имеет конечный предел, при этом предел может и не существовать. Современное определение вероятности дал Андрей Николаевич Колмогоров в 1923 году – это так называемое аксиоматическое определение случайного события. Для этого нам нужно рассмотреть понятие σ-алгебры событий. Рассмотрим Ω пространство элементарных исходов некоторого опыта и множества F (это множество подмножеств пространства элементарных исходов, при этом не обязательно всех). Множество F будет называться σ-алгеброй, если выполняются следующие условия: во-первых, множество всех элементарных исходов принадлежит множеству F; второе условие, если событие из множества F, то и его отрицание также из множества F; третье - если некоторый конечный или счетный набор событий принадлежит множеству F, то и их сумма также принадлежит множеству F (третье условие можно также заменить и на произведение счетного набора множеств). Вероятность или вероятностная мера для пары (Ω,F) это функция P, которая действует из σ-алгебры  F в множество действительных чисел и обладает следующими свойствами:

1) вероятность любого события не отрицательна;
2) для счетного набора попарно несовместных событий вероятность их суммы равна сумме их вероятностей (обратите внимание на то, что набор должен состоять из попарно несовместных событий, т.е. никакие два события не могут пересекаться, не могут иметь общих элементарных исходов);
3) вероятность Ω (т.е. достоверного события) равна 1.
Данные три свойства называются аксиомами вероятности, и в дальнейшем рассматривая любую вероятностную функцию нужно обязательно проверять, что данная функция удовлетворяет этим аксиомам. Первый пример вероятностной функции - это классическая вероятность. Если множество элементарных исходов конечно, при этом все элементарные исходы равновероятны (часто, вывод о равновероятности элементарных исходов мы можем сделать благодаря некоторой симметрии наблюдающейся в опыте), тогда можно рассматривать классическую вероятность. То есть вероятность события A, состоящего из m элементарных исходов, будет равна отношению чисел m (число благоприятных исходов) и N (мощность множества Ω, т.е. общее количество элементарных исходов данного опыта). Классическую вероятность рассматривать можно только в том случае, если элементарные исходы равновероятны. Пример. Подбрасывается игральная кость. Множеством элементарных исходов будет {1, 2, 3, 4, 5, 6}, если рассматривается идеальная кость (то есть абсолютно симметричная), то все эти исходы будут равновероятны, и мы можем рассматривать классическую вероятность, при этом вероятность каждого элементарного исхода, в данном случае, будет равна 1/6. Если рассмотрим событие A = {выпало четное число очков}, которое состоит из элементарных исходов 2, 4 и 6, то вероятность данного события будет равна 3/6 или 1/2. Посмотрим другой опыт. Подбрасываются черная и белая игральные кости. В данном опыте элементарным исходом будет пара чисел A и B, где A - число, выпавшее на черной кости, а B - число, выпавшее на белой кости. В данном случае всего элементарных исходов будет 36, если мы рассмотрим событие A на белой кости выпала четверка, то данному событию благоприятны все элементарные исходы, у которых вторая величина равна четырем (то есть 1 - 4, 2 - 4, и так далее, 6 - 4). Таких элементарных исходов 6, а значит, вероятность события A равна 6/36 или 1/6. В этом же опыте можно рассмотреть событие B={в сумме выпало восемь очков}. Данному событию благоприятны элементарные исходы B = {(2, 6), (3, 5),(4, 4), (5, 3), (6, 2)}, то есть всего пять элементарных исходов из 36. Вероятность данного события B будет равна 5/36. Рассмотрим другой опыт: пусть стрелок один раз стреляет по мишени. В данном случае множество элементарных исходов состоит из двух исходов: Ω = {стрелок попал в мишень и стрелок промахнулся}. Обратите внимание, что в общем случае данные элементарные исходы не будут равновероятными, то есть не обязательно вероятность попадания равна 1/2. Поэтому рассмотрим более общий случай – это дискретное вероятностное пространство. Если множество всех элементарных исходов конечно или счетно, то каждому элементарному исходу можно поставить в соответствие некоторое чисто p_i из промежутка [0, 1], так что сумма всех p_i =1. В этом случае мы говорит о том, что рассматривается дискретное вероятностное пространство. Тогда вероятность события A будет равна сумме вероятности всех элементарных исходов, входящих в множество A. Рассмотрим следующий опыт: стрелок стреляет по мишени дважды, тогда множество элементарных исходов будет состоять из четырех различных исходов: Ω = {(попал, попал), (попал, не попал), (не попал, попал), (не попал, не попал)}. Зададим вероятности данным элементарным исходам: ω₁ - это вероятность того что оба раза попал = 0,49, вероятность ω₂ - первый раз попал во второй промахнулся = 0,21, ω₃ - в первый раз промахнулся во второй попал = 0,21и вероятность того что он оба раза промахнулся = 0,09. Не сложно проверить, что сумма этих четырех чисел равна единице, поэтому у нас задано дискретное вероятностное пространство. Для данного опыта рассмотрим события A = {стрелок хотя бы один раз попал в мишень}, это событие состоит из элементарных исходов {(оба раза попал), (в первый раз попал, во второй промахнулся), (в первый раз промахнулся, во второй попал)}. Вероятность события A - эта сумма трех чисел, соответствующих элементарным исходам, то есть 0,49 + 0,21 + 0,21, таким образом, вероятность события A равна 0,91. В опыте монета подбрасывается до первого выпадения герба. Элементарными исходами будет количество подбрасываний монеты до выпадения герба включительно, это будут числа от 1 до ∞, то есть множество элементарных исходов данного опыта совпадет с множеством натуральных чисел. Если ввести вероятности событий P(ω_i) = 1/ 2ⁱ,то не сложно проверить, что сумма вероятностей всех элементарных исходов равно 1 (это сумма геометрической прогрессии), если в данном опыте рассмотреть события A потребовалось не более 3 бросков, то вероятность данного события можно вычислить как сумму трех вероятностей, то есть 7/8. Еще одним примером вероятностной функции является геометрическая вероятность. Она рассматривается в случае, если пространством элементарных событий опыта является подмножество множества Rⁿ (т.е. у нас опыт рассматривается на прямой или на плоскости, или в пространстве R³ и так далее), при этом мера Ω должна быть конечной (на прямой - это длина, на плоскости - площадь, в пространстве R3 - объем). Тогда событие A - это некоторое подмножество множества Ω. Заметим, что в данном случае не все подмножества будут событиями, так как существует неизмеримое подмножество Rⁿ. Если мы говорим, что попадание в любую точку множества Ω равновозможно, (т.е. например, мы говорим, что у нас точка бросается на отрезок от 0 до 1, и равновероятно она может попасть в любую точку этого отрезка), то вероятность события A можно вычислить как отношение меры множества A к мере множества Ω (будь это длина, площадь, объем и так далее). Рассмотрим несколько примеров геометрической вероятности. Первый пример: пусть генерируется случайное число из промежутка [0, 1]. Генератор будем считать идеальным, то есть будем считать, что любое число из данного промежутка может быть сгенерирован с одинаковой вероятностью. Рассмотрим для данного опыта событие A = {число не равно 1/2}. Заметим, что множество A является отрезком [0, 1] с выколотой точкой 1/2. Мера этого множества равна единице, мера отрезка [0, 1] также равна единице, соответственно вероятность события A равна единице. Обратим внимание на то, что событие A не является достоверным. Когда мы вводили аксиомы вероятности, мы сказали, что вероятность достоверного события равна единице. Этот пример показывает, что обратное неверно, то есть если вероятность события равна единице, то события достоверным являться не обязано. Также геометрическую вероятность можно использовать, если в явном виде не какой геометрической основы у задачи не имеется. Рассмотрим классическую задачу под названием «Задача о встрече». Молодой человек и девушка договорились встретиться в 12 часов, но каждый действует по следующему плану: он может прийти в любой момент времени с 12 до 13 часов, при этом они договорились, что ждут друг друга только 20 минут. То есть тот, кто пришел, ждет 20 минут, если за эти 20 минут второй не приходит, то первый уходит, и свидания не случается. В задаче требуется найти вероятность того, что молодой человек и девушка встретиться. Здесь также можно применить геометрическую вероятность. Давайте формализуем задачу: пусть x - это время прихода молодого человека, а y - время прихода девушки. Тогда точку с координатами (x, y) мы можем нарисовать в единичном квадрате в координатах x,y(см. видео). Если измерять не в часах, а в минутах, то у нас получается, что каждая сторона квадрата равна 60 минутам и площадь данного квадрата равна 3600 минут в квадрате. Рассмотрим множество A = {точка попала в заштрихованную область}. Заштрихованная область как раз показывает, что молодой человек и девушка встретятся, то есть (x – y) по модулю будет не больше чем 20. Тогда вероятность события A можно рассмотреть как отношение меры множество A, то есть площади заштрихованной области, к площади большого квадрата. Площадь заштрихованной области можно вычислить как площадь квадрата минус площадь белых треугольников, но площадь квадрата равна 3600, тогда вероятность события A равна 5/9. Рассмотрим некоторые свойства вероятностной функции или вероятности. Первое, вероятность отрицания некоторого события вычисляется как единица минус вероятность этого события. Чтобы это доказать, достаточно лишь заметить, что событие и его отрицание являются несовместными событиями, а значит по 2 аксиоме вероятности, вероятность их суммы (т.е. достоверное событие) равна сумме их вероятностей. А так как по 3 аксиоме вероятность достоверного события равна единице, то отсюда следует данное равенство; Второе, вероятность невозможного события равна нулю. Здесь достаточно использовать третью аксиому и предыдущие свойства (то есть вместо события A подставить событие достоверное, тогда событие не A будет событием невозможным). И третье свойство, которое мы рассмотрим: если событие A влечет за собой события B (так как мы уже сказали, множество A является подмножеством множества B), то вероятность события A не больше, чем вероятность события B. В действительности, событию A благоприятно меньшее количество элементарных исходов, чем событию B. Можно доказать более строго, представив событие B, как событие A и событие B / не A. Эти события несовместны, значит, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, а вероятность их суммы эта вероятность события B, но она равна сумме вероятности A и вероятности события b / не A, которая в свою очередь не отрицательна. Значит, вероятность события B не меньше, чем вероятность события A. Четвертое, достаточно важное свойство, это обобщение вероятности сумм, то есть это общий случай. Если во второй аксиоме вероятности говорится о том, что вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей, то в общем случае это неверно. Если мы рассмотрим два события, которые возможно совместны, то вероятность их суммы будет равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения. Введем еще одно отношение между событиями. События независимы, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей. В следующей лекции мы дадим второе определение независимости событий и покажем, что данное определение равновероятно. Простым языком можно сказать следующим образом. События независимы тогда и только тогда, когда произошло или не произошло событие A, никак не повлияет на вероятность того, произойдет или не произойдет событие B. Рассмотрим несколько примеров. Первый пример: игральный кубик подбрасывается дважды. Нужно найти вероятность того, что в первый раз выпадет шестерка, а во второй раз выпадет нечетное число. Дадим два события. События A = {в первый раз выпала шестерка}. Данному событию соответствует элементарные исходы, где первое число это шестерка, а второе любое (то есть из 36 элементарных исходов нам подходит 5). Таким образом, вероятность события A равна 1/6. Событие B = {во второй раз выпало нечётное число}. Аналогично в первый раз могло выпасть что угодно, а во второй раз у нас подходит три варианта из шести, то есть у нас подходят все пары, где первое число любое (6 вариантов), а второе число одно из трех, таким образом, всего нам подходит 18 вариантов из 36. Вероятность события B равна 1/2. Рассмотрим события C = {в первый раз выпала шестерка, а во второй - нечетное число}. Данные события являются произведением событий A и B. Так как подбрасывание независимы друг от друга (т.е. что выпадет в первый раз, никак не влияет на то, что выпадет во второй раз), мы запишем, что вероятность события C (это вероятность произведения события A и B) равна произведению вероятностей событий A и B. То есть вероятность того, что в первый раз выпадет шестёрка, а во второй - нечетное число равна 1/12.