Математика. Материалы курса

На данной лекции продолжим изучать кривые второго порядка и подробно рассмотрим две линии, называемые гиперболой и параболой.

Начнем с понятия гиперболы. Из школьного курса математики вы знаете, что гипербола является графиком функции, называемой обратной пропорциональностью, которая задается следующим уравнением: у=k/x. Оказывается, что график такой функции дает нам частый случай гиперболы, которую называют равнобочной. Дадим сейчас общее понятие гиперболы и затем составим ее уравнение в некоторый специально подобранной системе координат.

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до 2 фиксированных точек есть величина постоянная. Две фиксированные точки называют фокусами гиперболы. Мы их будем обозначать так же, как для эллипса, буквами F₁ и F₂. Расстояние между фокусами называется межфокусным расстоянием. Длину этого отрезка F₁F₂ обозначим через 2с: |F₁F₂|=2c. Выберем произвольную точку М. Для того чтобы она принадлежала гиперболе, должно выполняться следующее равенство: ||MF₁|-|MF₂||=2a в силу данного определения (то есть модуль разности расстояний должен быть равен постоянному числу, обозначим это постоянное число через 2а). Сами расстояния от точки М до фокусов называются фокальными радиусами точки М, которая лежит на гиперболе. Давайте укажем на рисунке некоторые точки, то есть представим, как выглядит данная фигура. Она состоит из двух частей, которые называют ветвями гиперболы. Если мы будем изменять расположение фокусов, а именно, давайте попробуем их сближать, то, в этом случае две ветви гиперболы будут приближаться друг другу и в предельном случае сольются в две пересекающиеся прямые. Точка пересечения – это два совпавших фокуса.

Теперь рассмотрим систему координат, в которой выведем уравнение гиперболы. Так же как для эллипса, в качестве начала координат возьмем точку О – середину отрезка F₁F_2, ось абсцисс направим вдоль фокусов F₁ и F₂, ось ординат перпендикулярно оси абсцисс и приходит через начало координат, коль скоро у нас система координат декартовая. Итак, полученную систему координат называют канонической системой. Оси данной системы являются осями симметрии гиперболы, то есть гипербола симметрична относительно этих осей. Фокусы F₁ и F₂ получают в этой системе определенные координаты: они лежат на оси абсцисс в точках –с и с. Гипербола пересекает ось абсцисс в точках a и –а. Эти точки называются действительными вершинами гиперболы, а сам параметр а называется действительной полуосью. Так же как для эллипса определим параметр b, здесь он определяется равенством, которое вы видите на экране. Отложим точки b и -b на оси ординат. Полученные точки называются мнимыми вершинами гиперболы, она через них не проходит. Сам параметр b называют мнимой полуосью. Если провести через указанные четыре точки прямые, параллельные осям координат, то получится прямоугольник, называемый опорным прямоугольником для данной гиперболы. Далее рассмотрим прямые, которые содержат диагонали этого прямоугольника, эти прямые называют асимптотами гиперболы. Обратите внимание, гипербола к таким прямым неограниченно приближаться, но не пересекает их. Асимптоты могут быть заданы указанными уравнениями (см. видео), так как длины сторон опорного прямоугольника равны 2а и 2b. Если взять на гиперболе произвольную точку М и рассмотреть соответствующие фокальные радиусы, то они могут быть вычислены по указанным на слайде формулам для любой точки М, лежащей на гиперболе. Итак, основные понятия определены.

Теперь рассмотрим уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Оно выводится подобно тому, как мы получили уравнение эллипса. Выбираем точку М на гиперболе, учитывая координаты фокусов, координаты точки М, которые удовлетворяют равенству, по которому определена гипербола. Мы получаем вот такое уравнение с переменными x и y (см. видео). Далее выполняем преобразование: возводим в квадрат, упрощаем и в итоге получаем следующее равенство. Вспоминая, как мы определили параметр b, выполнив еще ряд преобразований, сводим это равенство к следующему (см. видео). Полученное уравнение напоминает уравнение эллипса. Единственное отличие, для эллипса у нас в левой части стояла сумма дробей, здесь стоит разность. Обратите на это внимание. Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы (см. видео).

Так же как для эллипса, можно ввести понятие касательной. То есть фиксируем на гиперболе точку, рассматриваем всевозможные секущие. Предельное положение секущей называется касательной к гиперболе в данной точке. Для каждой точки гиперболы касательную можно задать следующим уравнением (см. видео). Для примера рассмотрим одну из вершин гиперболы, через которую она проходит, а именно вершину с координатами (а; 0). Подставив эти координаты в уравнение, получим, что в данной вершине гипербола касается прямой, задаваемой равенством x=а. Таким образом, гипербола касается вертикальных сторон опорного прямоугольника.

Для гиперболы также имеет место оптическое свойство, которое состоит в следующем: если мы рассмотрим произвольный фокус, поместим туда источник света, то все лучи, вышедшие из данного источника, отразившись от ближайшей ветви гиперболы, получат направление, которое совпадает с направлением вектора, идущего от второго фокуса к точке отражения.

Так же как для эллипса, можно ввести понятие эксцентриситета – это отношение параметра с к а. Определение точно такое же, однако если для эллипса эксцентриситет был заключен в промежутке (0; 1), то для гиперболы эта характеристика принимает значение больше 1, коль скоро параметр a меньше, чем c.

Рассмотрим некоторые примеры гипербол, и для каждого примера укажем соответствующие значение эксцентриситета. Из рисунков мы видим, что чем больше значение эксцентриситета, тем ветви гиперболы сильнее вытягиваются вдоль оси ординат. Дело в том, что с увеличением отношения с к а увеличивается отношение b к а, то есть параметр b начинает неограниченно увеличиваться по отношению к а.

Теперь давайте вспомним про график обратной пропорциональности, с которого мы начали данную лекцию. Выполним поворот точек плоскости на угол 45⁰ по часовой стрелке вокруг точки О. В этом случае каждая точка М перейдет некоторую новую точку М`. Рассмотрим график обратной пропорциональности, заданный равенством y=k/x, где k>0 и выполним указанное преобразование поворота. В этом случае каждая точка М гиперболы перейдет в некоторую новую точку М`. Выполнив такое преобразование с каждой точкой две ветви графика обратной пропорциональности перейдут в указанное на слайде линии. Используя формулы поворота, можно показать, каждая точка указанной линии удовлетворяет записанному на слайде уравнению, которая, как мы видим, является уравнением гиперболы, при этом у этой гиперболы одинаковые полуоси. Гиперболы с равными полуосями называют равнобочными. Таким образом, можно сказать, что график обратной пропорциональности является равнобочной гиперболой.

Теперь возьмем произвольную равнобочную гиперболу, заданную указанным уравнением и выполним уже рассмотренное ранее преобразование сжатия к абсцисс с заданным коэффициентом b/a. В этом случае каждая точка взятой равнобочной гиперболы перейдет в некоторую новую точку М`, при этом координаты новой точки и исходные связаны указанными равенствами (см. видео). Выполнив данное преобразование сжатия, мы получим некоторую новую линию. Подставив указанные равенства, связывающие координаты точек, в уравнение равнобочной гиперболы с полуосью а, мы получим уже уравнение произвольной гиперболы с полуосями а и b. Таким образом, произвольная гипербола может быть получена из равнобочной гиперболы с помощью преобразования сжатия.

Теперь перейдем еще одной кривой второго порядка, называемой параболой. Опять же из школьного курса математики вы знаете, что парабола является графиком квадратичной функции, задаваемой уравнением, которое вы видите на экране, при этом известно, что график производной квадратичной функции можно получить из графика функции y=kx² с помощью параллельного переноса вдоль осей координат. Сейчас мы дадим общее определение параболы, затем выведем ее уравнение и убедимся, что действительно парабола – это график квадратичной функции.

Итак, параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки F и некоторой прямой l, которая эту точку не содержит. Фиксированная точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая l – директрисой. Сделаем рисунок, зафиксируем точку и прямую. Согласно определению, имеем следующее характеристическое равенство (см. видео), любая точка М параболы должна обладать этим свойством, то есть расстояние MF должно быть равно расстоянию от этой точки до прямой l. Введем один параметр p, называемый фатальным параметром параболы, он равен расстоянию от точки F до директрисы l. Изобразим на рисунке несколько точек, лежащих на параболе удовлетворяющих указанному соотношению. Итак, получаем следующую линию (см. видео). Если теперь мы будем изменять значение параметра p, то парабола будет меняться. В частности, если значение р устремить к нулю, то расстояние между фокусом и прямой будет также стремится к 0, фокус будет пытаться занять положение на данной прямой, и парабола будет вырождаться в луч.

Теперь определим уравнение параболы. Зададим параболу уравнением. Для этого введём каноническую систему координат следующим образом: начало координат – это середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, ось абсцисс – это прямая OF в направлении фокуса, а ось ординат опять же перпендикулярна оси абсцисс и приходит через точку O. Точка О принадлежит параболе, ее называют вершиной, при этом ось абсцисс является осью симметрии параболы, так как парабола симметрична относительно этой оси. Полученную систему координат называют канонической системой. В этой системе фокус имеет координаты (p/2; 0), а директриса задается следующим равенством: х=-р/2, где р – это фокальный параметр. Теперь выведем уравнением. Возьмем произвольную точку, лежащую на параболе. Вспомним, как определяется эта точка: она удовлетворяет указанному равенству (см. видео). Выразим указанное в равенстве расстояние через координаты точки М и координаты фокуса. Получим следующее уравнение (см. видео). Возведем его в квадрат и с помощью несложных преобразований это уравнение примет вот такой вид. Полученное равенство называют каноническим уравнением параболы (см. видео).

Теперь давайте выразим из этого равенства переменную x, получим, что x является функцией от y, причем имеем именно квадратичную зависимость x от y. Если переобозначить переменные x и y, то есть поменять оси координат взаимно, то зависимость примет вид: y=kx². То есть получаем квадратичного зависимость y от x. Таким образом, графиком квадратичной функции является парабола.

Рассмотрим произвольную параболу в канонической системе координат. Возьмем произвольную точку, рассмотрим касательную в этой точке, которая определяется так же, как для эллипса и для гиперболы, и запишем уравнение касательной в этой точке. Оно имеет указанное на слайде вид: (x₀; у₀) – это координата точки, р – это фокальный параметр (см. видео).

Рассмотрим оптическое свойство параболы: если в ее фокусе поместить источник излучения, то лучи, направленные из этой точки, отразившись от параболы, примут направление, параллельное оси абсцисс, причем направление, совпадающее с осью абсцисс. При этом верно и обратное: если направить поток лучей, параллельных оси симметрии, то эти лучи, отразившись от параболы, сойдутся в ее фокусе.

Парабола – это плоская фигура, если мы будем вращать ее вокруг своей оси, то получим пространственную фигуру, называемую параболоидом вращения. Эта пространственная фигура обладает точно таким же оптическим свойством.

В заключение подведём некоторые итоги. Постараемся вспомнить все рассмотренные линии второго порядка, установим некоторую взаимосвязь между ними.

Во-первых, отметим, что все три указанные линии – эллипс, гипербола и парабола, могут быть получены из некоторой поверхности методом сечений, а именно давайте рассмотрим следующую поверхность (см. видео). Возьмем произвольную окружность и точку, не лежащую в плоскости окружности. Для каждой точки окружности проведем прямую, проходящую через изначально выбранную точку, и множество всех таких прямых образуют некоторую поверхность, которую называют конусом или конической поверхностью. Рассмотрим три рисунка, на каждом из рисунков получается определённая линия второго порядка – эллипс, парабола и гипербола. В частности, эти линии могут выродиться в точку, прямую или две прямые.

Мы, когда определяли параболу, ввели понятие директрисы. Оказывается, это понятие можно определить для эллипса и для гиперболы указанным равенством. Для параболы директриса – это прямая, такая что любая точка параболы равноудалена от этой прямой и от фокуса. Для эллипса мы можем рассмотреть 2 прямые, заданные указанными уравнениями (см. видео). Аналогично для гиперболы. Итак, понятие директрисы можно ввести для всех трех линий. Имеет место такая теорема: для любой прямой l и точке F, не лежащей на прямой, и числа ε > 0 имеет место указанное равенство (см. видео). При этом для ε < 1 мы получаем эллипс, отличный от окружности, если ε = 1 мы получаем параболу, так как равенство в точности определяют параболу, если ε > 1 мы получаем гиперболу. Для эллипса и гиперболы ε, как мы знаем, называется эксцентриситетом. Таким образом, для параболы можно считать, что эксцентриситет равен 1, для эллипса меньше 1, для гиперболы больше 1.

Если ввести понятие фокального параметра для эллипса и гиперболы (у нас это понятие было введено только для параболы), то есть обобщить это понятие для двух других линий второго порядка, то можно все три невырожденные кривые второго порядка описать единым уравнения, которое указано на слайде.

Рассмотрим несколько рисунков для того, чтобы визуализировать данную теорему. Пусть ε = 0, в этом случае имеем окружность, далее начинаем увеличивать значение ε в промежутке (0; 1). Получаем различное положение эллипса. Далее если ε превратится в 1, у нас эллипс преобразуется в параболу, дальше увеличивая ε, то есть рассматривая его большим 1, мы уже будем получать различные гиперболы. Как мы знаем, увеличивая эксцентриситет, ветки гиперболы начинают растягиваться вдоль оси ординат.