Математика. Материалы курса

На данном занятии рассмотрим решение задач, в которых постараемся выяснить взаимное расположение двух плоскостей, а также взаимное расположение прямой и плоскости.

Начнем с такой задачи. Допустим, что у нас две плоскости заданы общими уравнениями (см. видео). Требуется проверить, что эти плоскости пересекаются по прямой и найти уравнение данной прямой, причем в итоге необходимо записать это уравнение в каноническом виде.

Давайте посмотрим на уравнение плоскостей. Здесь есть одна особенность: в первом уравнении отсутствует переменная z, тем не менее все равно мы эти уравнения рассматриваем как уравнение с тремя неизвестными – отсутствующая переменная z понимается в том плане, что коэффициент перед ней равен нулю.

Для того чтобы понять, что плоскости пересекаются, найдем нормальный вектор этих плоскостей. Для первой плоскости нормальный вектор n₁ имеет координаты (1, -1, 0). Напомню, что координаты нормального вектора – это не что иное, как коэффициенты при переменных в общем уравнении. Как раз коэффициент перед z у нас нулевой, получается, что третья координата равна 0. Для второй плоскости нормальный вектор будет следующим. Здесь уже нулевых коэффициентов нет, поэтому все координаты вектора ненулевые, получаем (2, 1, 3).

Теперь взаимное расположение плоскостей мы определим, зная координаты указанных векторов. Для того чтобы плоскости пересекались, необходимо, чтобы эти векторы были неколлинеарны. В случае, если векторы будут коллинеарны, плоскости будут либо параллельны, либо совпадают. Давайте убедимся, что векторы неколлинеарны.

Действительно, их координаты непропорциональны: 1 к 2, -1 к 1 - коэффициенты пропорциональности разные. Итак, векторы неколлинеарны, значит, плоскости пересекаются, а именно пересекается по прямой.

Давайте ответим на такой вопрос: если плоскости пересекаются, может быть угол между ними 90 градусов? Для того, чтобы проверить, будут ли плоскости перпендикулярны, можно отыскать скалярное произведение векторов. Давайте найдем скалярное произведение n₁n₂. Вспомним формулу: умножаем соответствующие координаты и их складываем: 1*2=2, -1*1=-1, дальше будет 0. Получаем 1, не равняется 0. Значит, векторы не ортогональны. Следовательно, плоскости не перпендикулярны. При необходимости можно найти угол между плоскостями так, как мы это уже делали неоднократно, зная скалярное произведение.

Теперь ответим на второй вопрос. Запишем уравнение той прямой, по которой пересекаются данные плоскости. Множество точек этой прямой являются решением системы уравнений, т.е. записываем данные уравнения в систему (см. видео).

Повторюсь, что множество точек их линии пересечения – это множество решений данной системы. Мы уже знаем, что плоскости пересекаются по прямой. Значит, эта система должна иметь бесконечно много решений, то есть в процессе приведения этой системы к ступенчатому виду у нас возникнет одна свободная переменная. Давайте вычтем из второго уравнения два первых, чтобы получить ступенчатый вид: первое уравнение перепишем без изменения и второе в преобразованном виде: 2x-2y=0x, далее y-(-2y)=3y, 3z так и останется, 1-(-2)=3 (см. видео). Из последнего уравнения можно выразить одну переменную. Выразим y через z, перемена z у нас будет свободная, y выражаем через z, получается: y=-z-1, далее, подставляем значение y в первое уравнение, из которого выражаем x (см. видео). Вначале можно выразить x через y (см. видео), а затем подставить значение переменной y: -z-1+1, после подстановки и приведения подобных получается –z. Итак, z принимает произвольное значение, y выражается вот так через z (смотреть на видео), x = -z.

Обозначив переменную z через t, мы легко получим систему параметрических уравнений искомой прямой.

Напоминаю, что мы ищем прямую, по которой пересекаются данные плоскости, и предлагаю вначале составить параметрическое уравнение: x это –t, y=-t-1 и z=t (см. видео), считаем t параметром. Получаем, что наша прямая задана параметрически, t принимает произвольное значение.

Параметрически прямую мы с вами задали, теперь надо найти каноническое уровне как требуется в задаче. Для этого нам нужен направляющий вектор и хотя бы одна точка, что мы сейчас легко определим. Точку мы можем найти, взяв в качестве параметра t любое значение, например, выбрав t=0, получим такое решение: x=0, y=-1, z=0. Имеем одну из точек, через которую проходит наша прямая – (0, -1, 0). Направляющий вектор также легко отыскать, его координаты – это коэффициенты перед параметром t, а именно (-1, -1, 1). Точка, через которую приходит прямая, известна, известен вектор. Составляем каноническое уравнение, напоминаю, что каноническое уравнение это равенство трех дробей. В числителе мы записываем выражение вида: из переменной вычитаем координаты точки, то есть x-0, во второй дроби y-(-1), т.е. y+1 и, наконец, z-0, а в знаменателях получаются координаты направляющего вектора, а именно -1, -1, 1 (см. видео). В более простом виде уравнение запишется таким образом (см. видео). С одной стороны у нас система параметрических уравнений прямой, по которой пересекаются наши плоскости, с другой стороны канонического уравнения той же самой прямой. Задача решена.

Рассмотрим следующую. Снова нам даны две плоскости (см. видео), при этом здесь требуется отыскать параметры а и b таким образом, чтобы плоскости были параллельны.

В предыдущей задаче у нас плоскости пересекались по прямой, сейчас рассмотрим случай параллельности. Как я уже говорил, для того чтобы отсечь этот случай от случая, когда плоскости пересекаются, мы должны найти нормальные векторы этих плоскостей и потребовать, чтобы они были коллинеарны.

Снова запишем нормальный вектор первой плоскости, его координаты – (2, b, 3), это коэффициенты при переменных, и второй вектор, который является нормальным для второй плоскости, имеет координаты (a, -6, -6). Запишем условие их коллинеарности. Т.к. у нас здесь есть ненулевые координаты, то значит, в 0 у нас ни a, ни b обратиться не могут. Запишем равенство отношений: 2 так относится к a, как b к числу -6, как 3 к числу -6 (см. видео), тем самым данные отношения должны быть равны -½, значит, коэффициент пропорциональности -½. Находим a: 2 делим на -½, получается a это -4, т.е. 2*2 и, учитывая «-», это -4. Смотрим на вторую дробь: b/(-6) это -½, значит, b=3. Данное условие позволило однозначно отыскать параметры a и b: a это -4, b это 3. Как я сказал, это необходимое условие, однако при этом может так случиться, что плоскости будут совпадать. В этом случае их нормальные векторы тоже коллинеарны, т.е. там нужно еще проверить, что плоскости не совпадают.

Давайте выпишем уравнения полученных плоскостей, подставив найденные параметры а и b. Первая плоскость имеет уравнение 2x + 3y + 3z – 5 = 0 вторая плоскость -4x - 6y - 6z + 2 = 0. Еще раз можно проверить, не ошиблись ли мы где: 2/(-4) = -½, 3/(-6) = -½, т.е. нормальные векторы коллинеарны, однако если плоскости совпадают, это означает, что строки, составленные из всех коэффициентов данных уравнений, пропорциональны. «Из всех» имеется ввиду, учитывая свободный член, т.е. (2, 3, 3, -5) и для второго уравнения получаем строку – (-4, -6, -6, 2). Не трудно видеть, что эти строки уже не пропорциональны, потому что отношение свободных членов -5/2 ≠ -½, т.е. указанные строки, составленные из всех коэффициентов, включая свободный член, у нас непропорциональны, т.е. -5/2 ≠ -½, значит, плоскости не совпадают, т.е. данные уравнения не равносильны и определяют разные плоскости.

Делаем вывод: при a = -4, b = -3 наши плоскости параллельны, т.е. не имеют ни одной общей точки.

Далее у нас стоит второй вопрос: требуется между этими плоскостями найти расстояние. Для этого воспользуемся формулой, которую мы вывели на прошлом занятии, а именно формулой расстояния от точки до плоскости. Т.к. у нас плоскости параллельны, это значит: какую бы точку на одной плоскости мы не взяли, расстояние от неё до второй плоскости будет одинаковым. Оно является расстоянием между данными плоскостями геометрически. Геометрически это означает, что мы из точки M одной плоскости опускаем перпендикуляр на вторую плоскость. Требуется найти длину данного перпендикуляра. Давайте вспомним формулу, которая дает нам требуемое расстояние. Формула выглядит таким образом (см. видео), где a, b, c, d – это коэффициенты в уравнение плоскости, до которой мы находим расстояние, x₀, y₀ –это координаты точки M.

У нас известны обе плоскости. Давайте возьмем точку из первой плоскости и найдем расстояние от этой точки до второй. Пусть обозначения плоскостей –α, β. Точку возьмем из плоскости α и найдем расстояние до β. Нетрудно видеть, что, если мы вместо x, y, z возьмем такие числа: x и y по 1, а z 0. У нас получится верное числовое равенство, значит, точка M с координатами (1, 1, 0) принадлежит плоскости α: 2+3+0-5=0. В качестве β выберем вторую плоскости, причем плоскость не изменится, если мы поделим обе части уравнения на -2, чтобы получить более простые коэффициенты. В этом случае та же самая плоскость β у нас может быть задана таким уравнением: делим на -2, получаем 2x + 3y + 3y + 3z-1 = 0. Имеем ту же самую плоскость β. Обратите внимание: в этом случае у нас вся четверка коэффициентов, уточню, что обе четверки коэффициентов, пропорциональны, поэтому эти уравнения определяют одну и ту же плоскость.

Подставляем в формулу координаты точки вместо переменных, получается |2 + 3 + 0 – 1| и делим на сумму квадратов коэффициентов, то есть на сумму 4 + 9 + 9 (см. видео), далее вычисляем: 5 -1 получаем 4, 9 + 9 = 18, 18 + 4 = 22, √22. Полученное число – 4/√22 – является расстоянием от точки M до плоскости β, а значит это – расстояние между параллельными плоскостями α и β. Задача решена.

Еще одна задача на взаимное расположение прямой плоскости. Выясним взаимное расположение прямой, которая задана каноническим уравнением, и плоскости, которая задана с помощью общего уравнения (см. видео). Для того, чтобы определить это взаимное расположение, нам необходимо знать у прямой точку и направляющий вектор, а у плоскости нормальный вектор. Это мы легко найдем, зная, как заданы прямая и плоскость.

Начнем с прямой. Напомню, что если прямая задана каноническим уравнением, то числа, стоящие в знаменателе, это координаты направляющего вектора, сегодня мы уже это вспоминали, (-2, 3, 2). Чтобы найти координаты точки, лежащей на прямой, надо посмотреть на числители, после чего получатся следующие числа: (-2, 1, 3). Почему? Потому что, если мы подставим их вместо переменных x, y, z указанные числа, мы получим верное равенство. Во всех частях равенства будут нули, потому что числители обратятся в 0: если подставить -2 вместо x, вместо y подставить 1, вместо z подставить 3. Итак, a – направляющий вектор прямой, m – точка, лежащая на прямой, прямую можно обозначить буквой l. Эта прямая l задана вот такими объектами (см. видео).

Теперь рассмотрим плоскость, обозначим ее α. У плоскости будет нормальный вектор n с координатами (1, 2, -2) и при необходимости можно найти точку, лежащую в этой плоскости, подобрав такие значения переменных, чтобы получить нулевое равенство.

Давайте вернемся к нашей задаче. От нас требуется выяснить взаимное расположение. Для этого будем следовать следующему алгоритму. Все определяется векторами: если у нас вектор a и вектор n не ортогональны, то прямая пересекает плоскость ровно в одной точке; если же векторы ортогональны, т.е. угол между ними 90 градусов, значит, прямая и плоскость либо не имеют общих точек, т.е. прямая параллельна плоскости, либо прямая полностью в плоскости лежит. Для того, чтобы выяснить ортогональный вектор или нет, найдем их скалярное произведение: -2 + 6 – 4, вычисляя получаем 0. Значит, векторы ортогональны. Следовательно, как я сказал, либо прямая и плоскость параллельны, либо, как вариант, прямая лежит в данной плоскости, т.е. либо так, либо так (см. видео).

Давайте выясним, какой из двух вариантов имеет место. Для этого нам и понадобится точка M. Дело в том, что если имеет место первый вариант, т.е. прямая и плоскость не имеют общих точек, значит, никакая точка прямой не лежит в плоскости, т.е. не удовлетворяет данному уравнению, в частности, точка M.

Если прямая в плоскости лежит, значит, все ее точки являются решениями уравнения, которое задает наша плоскость, в частности точка M. Берем координату точки M и подставляем в уравнение плоскости: -2 + 2 + 6 -6 = 0. Что видим? Получается 0, а значит, точка M, являясь точкой прямой, лежит в плоскости. Значит, из этих двух вариантов первый отсекается.

Если точка M лежит в плоскости, значит, вся прямая целиком лежит в нашей плоскости. Что мы с вами получили: с одной стороны, мы отвергли в начале случай, когда прямая и плоскость пересекаются, а во-вторых, отвергли вариант, когда прямая и плоскости параллельны. Получается однозначный вариант: прямая лежит в плоскости, что является ответом. Итак, наша прямая лежит в плоскости. Задача решена.