Математика. Материалы курса

На данной лекции исследуется уравнение плоскости, рассматриваются способы составления уравнения плоскости, а также исследуются варианты взаимного расположения прямой и плоскости. Приступим.

Итак, мы уже знаем, что уравнение плоскости может быть задано линейным уравнением с тремя переменными в случаи, если в пространстве определена прямоугольная система координат. Итак, рассмотрим такое уравнение (см. на видео). Для того чтобы оно определяло плоскость, необходимо потребовать, чтобы хотя бы один коэффициент при переменных был отличен от нуля. В противном случае мы получаем либо пустое множество, либо все пространство. Итак, хотя бы один параметр не равен 0. Так же, как и для прямой, указанное условие можно кратко записать следующим неравенством: сумма квадратов указанных параметров не равняется нулю.

Приведем некоторые примеры. На рисунке рассмотрен случай, когда свободный член, то есть параметр d равен нулю. В этом случае плоскость проходит через начало координат. Если допустить, что какой-то один параметр (ровно один) а, b или c равен нулю, то в этом случае мы получим плоскость, параллельную какой-то координатной оси.

Если же допустить, что два параметра при переменных равно нулю в этом случае плоскость будет параллельна координатной плоскости, либо совпадет с ней. Вот, например, если у нас параметры а и b равняются нулю, а c не равен нулю, то в этом случае получается плоскость, параллельная координатной плоскости Оxy. В частности, она может с этой плоскостью совпадать, если d равняется нулю.

Каждая плоскость в пространстве может быть задана либо тремя точками, не лежащими на одной прямой. Такие точки часто называют не коллинеарными. Дело в том, что если мы из этих точек составим два вектора с каким-то общим началом, то они дадут нам не коллинеарные векторы, поэтому используется такая терминология. Итак, повторюсь, что плоскость однозначно задают три не коллинеарные точки.

Во-вторых, плоскость может быть задана точкой и двумя направляющими векторами, которые между собой не коллинеарны.

И наконец, плоскость может быть задана точкой и нормальным вектором, то есть вектором, перпендикулярным данной плоскости.

Давайте опишем алгоритм составления уравнения плоскости по известным данным. Итак, допустим, что плоскость определяется точкой и двумя направляющими векторами, которые обозначим буквами a и b. Чтобы получить уравнение данной плоскости проведем несложные рассуждения. Возьмем произвольную точку M с координаты (x, y, z). Данная точка будет лежать на плоскости тогда и только тогда, когда вектор M₀M будет компланарен с векторами а и b. Значит, данный вектор можно выразить линейным образом через векторы а и b в силу того, что между собой они не коллинеарны. Переходя к координатам в левой и правой части равенства и уравнивая соответствующие координаты, мы получаем следующую систему уравнений (см. видео). Эта система задает плоскость через два параметра: через переменные u и v, которые принимают произвольные значения. С другой стороны, компланарность указанных векторов равносильна тому, что определитель, составленный из их координат, равен нулю. Напоминаю, что компланарность равносильна линейной зависимости трех векторов. Если этот определитель раскроем любым способом, например, разложим по первой строке, приведем подобные, то мы легко сведем данное равенство к общему уравнению плоскости. Указанное уравнение называют каноническим уравнением плоскости.

Теперь допустим, что плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. В этом случае мы можем применить описанный только что алгоритм, так как три неколлинеарные точки определяют два неколлинеарных вектора, которые являются направляющими для данной плоскости. Значит, используя описанный выше алгоритм, мы можем составить следующее уравнение плоскости (см. видео), также называемое каноническим уравнением.

Наконец, третий случай, когда плоскость задается точкой и нормальным вектором. Снова проведём несложное рассуждение. Возьмем точку M с тремя координатами, эта точка будет лежать в плоскости тогда и только тогда, когда вектор M₀M будет ортогонален вектору n, то есть их скалярное произведение обратится в ноль. Расписывая это равенство через координаты, то есть, вычисляя скалярное произведение, мы получаем сумму следующих произведений (см. видео), а именно сумму произведений соответствующих координат. Тем самым получается необходимое уравнение плоскости. Если раскрыть скобки, то очевидно, что получим в точности общее уравнение, при этом коэффициенты при переменных дадут нам координаты нормального вектора (a, b, c).

Имеет место обратное утверждение. Если прямая задана общим уравнением, то коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора. Этот факт полезно запомнить. Допустим, что мы имеем две плоскости, каждая из которых задана общим уравнением плоскости. Обозначим их – ɑ₁, ɑ₂. Каждая плоскость определяет нормальный вектор. Координаты легко записываются, как было только что сказано. При этом эти векторы однозначно определяют взаимное расположение плоскостей ɑ₁, ɑ₂.

Рассмотрим более подробно, как именно это соответствие устанавливается. Итак, возьмем две плоскости, сделаем рисунок, изобразим нормальные векторы к этим плоскостям. Отметим следующий факт: косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами. Опять же отмечу, что под углом между плоскостями понимается наименьший из углов, который образуется при пересечении плоскостей, поэтому, если направление нормальных векторов мы выберем так, что они будут образовывать острый угол, то в этом случае угол между векторами равен углу между плоскостями, а значит, будут равны косинусы. Если же мы выберем направление так, что угол между векторами будет тупым, то в этом случае косинус угла между плоскостями будет равен модулю косинуса угла между векторами. То есть модуль нужен для того, чтобы при необходимости убрать знак минус, который получится при вычислении косинуса тупого угла. Вспоминая, как находится косинус угла между векторами, мы получаем указанную на слайде формулу. В частности, плоскости могут пересекаться под прямым углом, в этом случае нормальные векторы будут ортогональны, то есть их скалярное произведение будет равно нулю. Опять же, зная координаты этих векторов, мы легко запишем требуемое равенство.

Теперь рассмотрим случаи, когда плоскости либо не имеют общих точек, либо совпадают. Этот вариант означает, что нормальные векторы коллинеарны, то есть строки коэффициентов при переменных пропорциональны. Если же строки всех коэффициентов, включая свободный член, будут пропорциональны, то плоскости будут совпадать.

Идем дальше. Итак, снова считаем, что в системе координат у нас задана плоскость некоторым общим уравнением. Допустим, что имеется некоторая прямая, заданная точкой и направляющим вектором. Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости. Для того, чтобы охарактеризовать взаимное расположение, от нас потребуется направляющий вектор прямой –вектор l, а также нормальный вектор плоскости, который, как мы знаем, имеет координаты, равные коэффициентам при переменных. На рисунке изображен случай, когда прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Опять же вначале отмечу, что кроме этого возможны еще такие случаи. Прямая и плоскость может вообще не иметь общих точек, ну а также случай, когда все точки прямой лежат в плоскости.

Итак, пусть прямая пересекает плоскость, то есть имеет только одну общую точку с ней. В этом случае направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости не являются ортогональными, то есть угол между ними не равен 90 градусов, а значит, перемножив их скалярно, мы получим следующее утверждение (см. видео). Прямая пересекает плоскость в точности тогда, когда указанная сумма, то есть сумма произведений координат этих векторов, не равна нулю.

А вот если же вектор l и вектор n будут ортогональны, то в этом случае либо прямая будет лежать в плоскости, либо не будет иметь с ней ни одной общей точки. Итак, прямая не имеет общих точек, то есть параллельна плоскости и при этом не лежит в ней, означает, что скалярное произведение векторов равняется нулю. Но при этом точка M₀, через которую проходит прямая, не удовлетворяет уравнению плоскости, то есть при подстановке ее координат в уравнение плоскости мы получим число не равное нулю. А если же векторы будут ортогональны, и координаты точки M₀ будут удовлетворять уравнению плоскости? Это в точности означает, что прямая лежит в данной плоскости, то есть все точки прямой являются точками данной плоскости, включая точку M₀.