Математика. Материалы курса

На занятии рассмотрим ряд задач, связанных с уравнением прямой на плоскости.

 Вначале отработаем алгоритм, позволяющий находить угол между двумя прямыми, которые заданы общими уравнениями. Допустим, что есть две прямые, уравнения которых приведены на слайде, требуется найти угол между ними.

У нас есть формула, которая позволяет найти угол между векторами. Также мы знаем, что косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между либо нормальными векторами, либо между направляющими векторами. Я предлагаю рассмотреть нормальные векторы, учитывая, что их координаты легко вычисляется по общему уравнению. Итак, рассмотрим координаты нормального вектора первой прямой (18, 6) и нормального вектора второй прямой (5, 10). Я специально пока не пишу векторы, потому что, если мы рассмотрим вектор, коллинеарный вектору с данными координатами, то направление его не изменится. И для того, чтобы вы чтение были более простыми, лучше всего сделать так, чтобы координаты имели более простой вид. Поделим координаты первого вектора на 6, получим вектор (3, 1) и именно его возьмём в качестве нормального. То же самое сделаем со вторым вектором, поделим координаты на 5, получится (1, 2). Именно этот вектор возьмём в качестве нормального вектора для второй прямой. Ну а теперь отыщем косинус угла между этими векторами. Я обозначил угол через φ – это угол между векторами n₁ и n₂. По формуле мы должны перемножить их скалярно: 3*1+1*2=3+2 получается в числителе, а в знаменателе получается произведение их длин, то есть квадратный корень из суммы квадратов координат (9+1=10) и длина второго вектора – квадратный корень из 1+4, то есть 5. Далее вычисляем: 5, деленное на квадратный корень, можно записать под общим корнем, а затем 5 в квадрате вынести за знак корня. Получится 5√2, на пять сокращаем, а также избавляемся от иррациональности в знаменателе, что дает нам значение √2/2. Это табличное значение косинуса, значит угол φ = 45 градусов. Здесь нам модуль брать не потребовалось, потому что косинус больше 0, а значит угол между векторами острый. Тогда он и будет равен углу между нашими прямыми. Таким образом, указанные в задаче прямые пересекаются под углом 45 градусов.

Теперь рассмотрим ряд задач, в которых требуется составить уравнение прямой. Пусть нам даны две точки A и B, составим уравнение прямой AB. Прямая проходит через две заданные точки, воспользуемся каноническим уравнением. Ну, во-первых, две точки A и B дают направляющий вектор, например AB, координаты которого легко найти: AB(4, -8). Так как координаты и векторы не нулевые, значит, запишем каноническое уравнение в следующем виде. В качестве отправной точки берем точку A, тогда применяем общую формулу, получаем (x-2)/4=(y-3)/(-8). Получаем каноническое уравнение прямой. Его легко преобразовать к общему виду. Для этого давайте помножим на 8 обе части равенства, тогда слева получим 2x-4 (я сразу раскрываю скобки), а справа – -y + 3. Перенося все в левую часть, получаем 2x+y-7=0. Таким образом, получили общее уравнение прямой AB.

Теперь составим уравнение серединного перпендикуляра к отрезку AB. Напомню, что серединным перпендикуляром называется прямая, проходящая через середину отрезка AB перпендикулярно данному отрезку. Итак, прямая делит отрезок пополам и при этом образует с ним прямой угол. Обозначим эту прямую буквой l. Чтобы составить уравнение прямой l, заметим, что направляющий вектор прямой AB является нормальным вектором для прямой l, значит, прямая l может быть задана точкой, например серединой отрезка AB, и нормальным вектором. Середину отрезка мы легко сумеем найти. Давайте посчитаем. Полусумма координат, пусть это будет точка M, имеет координаты (4, -1), а вектор AB является нормальный вектором. Значит, уравнение прямой имеет такой вид. Координату нормального вектора умножаем на разность x - 4 плюс вторую координату, то есть -8, на разность y-(-1), приравниваем к 0. Преобразуем уравнения к общему виду, раскрываем скобки: 4x-8y-16-8. Получаем следующее уравнение серединного перпендикуляра 4x -8y-24=0.

Итак, идем дальше. Еще одна задача на составление уравнение прямой. Отличие лишь в том, что сейчас нам изначально прямая задана общим уравнением, при этом дана точка M, не лежащая на прямой l. Требуется построить уравнение прямой, которая проходит через M параллельно l.

Давайте опять же найдём координаты нормального вектора для прямой l – (2, 5). Изобразим нормальный вектор, отложу его от точки прямой l как вектор n с координатами (2, 5). Раз требуемая прямая параллельна l, значит, данный вектор будет нормальным и для нее, соответственно, снова воспользуемся нужной формулой 2(x+3)+5(y-7)=0. Обращаем внимание, что перед скобками у нас координаты нормального вектора. Внутри скобок мы подставляем координаты точки, через которую проходит прямая. Дальше раскрываем скобки, получаем требуемое уравнение: 2x+5y-29=0.

Теперь нам нужна прямая, которая будет перпендикулярна прямой l. Сделаем рисунок. Есть прямая l, снова есть точка M, и нам нужна прямая, проходящий через M перпендикулярно прямой l. В этом случае нормальный вектор прямой l для нужной прямой будет являться направляющим, значит, используем формулу для канонического уравнения прямой. Коль скоро координаты направляющего вектора не равны нулю, записываем его в виде равенства дробей, в числителе получается x+3  справа y-7 – это то, что стоит в числителе и в знаменателе, координаты вектора 2 и 5. Напишите общее уравнение самостоятельно. Мы получили так называемое каноническое уравнение прямой.

И наконец, напоследок рассмотрим задачу, которая позволяет искать расстояние от произвольной точки плоскости до заданной прямой. Вспомним, что такое расстояние. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую l. Обозначим основание перпендикуляра – точка H. Нам известны координаты точки M, координаты точки H нам не известны, я их обозначил буквами x и y. Однако, если точка H лежит на l, значит, ее координаты удовлетворяют данному уравнению, то есть для данных чисел мы имеем вот такое равенство. Теперь рассмотрим вектор HM, обозначим его буквой h со стрелочкой, а h без стрелочки будет у нас обозначать длину этого вектора. Для чего я рассматриваю такой вектор? Дело в том, что, если рассмотреть нормальный вектор прямой l, то мы знаем, что он имеет координаты (a, b), причем этот вектор будет коллинеарен вектору h. Понятно, что он не обязан быть сонаправлен с этим вектором, направление может быть другое, но коллинеарность обязательно будет. А значит, скалярное произведение вектора n на вектор h будет равно произведению длин этих векторов, то есть длина вектора n умножена на длину вектора h, а длина вектора h – это и есть требуемое расстояние. Итак, выражаем из данного равенства длину вектора h, то есть расстояние MH (длину отрезка MH), получаем скалярное произведение векторов, делённое на длину вектора n. Длину вектора n мы легко отыщем. Это квадратный корень из суммы квадратов координат. Ну и то же самое со скалярным произведением. Для этого давайте здесь запишем, что вектор HM имеет координаты (x₀-x, y₀-y), ну а вектор n координаты (а, b). Умножаем скалярно, перемножаем соответствующие координаты и складываем эти произведения. Я перемножаю и сразу же раскрываю скобки: аx₀-ax+by₀-by, а в знаменателе – квадратный корень из суммы квадратов координат вектора n, то есть √(а²+b²). Теперь давайте сгруппируем (-ax) и (-by). Еще небольшое замечание. На самом деле у нас скалярное произведение может быть равно произведению длин со знаком плюс, либо со знаком минус с учетом, если мы выберем другое направление. Мы же не знаем, в какую сторону направлен вектор n, поэтому правильнее записать, что модуль скалярного произведения равен произведению их длин, потому что может возникнуть знак минус. Я допишу знак модуля. Мы понимаем, что расстояние меньше 0 быть не может, поэтому везде должны быть только положительные числа. А теперь вернемся к нашему выражению. Итак, если минус вынести за скобки, будет аx+by, но аx+by+c=0, потому что h лежит на прямой l, значит, сумма аx+by = –c, да еще вот этот минус, в ответе будет плюс. Что же мы получим? Получим следующее выражение. Длина отрезка MH равна частному: числитель аx₀ +by₀ остается со знаком модуля, и, как только что выяснили, оставшийся хвост даст нам c, а в знаменателе получается квадратный корень из суммы квадратов координат нормального вектора а²+b². Эту формулу полезно запомнить и применять при решении задач. Обратите внимание, она легко запоминается. В знаменателе – длина нормального вектора, а в числителе, обратите внимание, то же самое выражение, только вместо переменных подставлены координаты точки M. В частности, очевидно, что если вдруг точка M попадет на прямую, то всё это выражение обратиться в нуль. Противоречия нет. Действительно расстояние от точки лежащей на прямой до этой прямой равняется нулю. Однако, если тока M на прямой не лежит, значит, это выражение не 0, тем сам получаем некоторое положительное число.