Математика. Материалы курса

Отработаем введенные на лекции операции над матрицами.

Начнем с такой задачи. Даны две матрицы, вычислим их произведение, причем, как мы знаем, операция произведения в общем случае не коммутативна, поэтому мы можем формально записать два произведения A на B и B на A. Однако не факт, что эти произведения мы сумеем найти.

Давайте вспомним, какие необходимы условия для того, чтобы можно было перемножить две матрицы. Матрица A имеет размер 2 на 2, матрица B имеет размер 3 на 2, для того чтобы умножить матрицы необходимо, чтобы в первой матрице число столбцов было равно числу строк во второй матрице. Значит A на B умножить нельзя. Мы просто не сможем применить указанную схему. А вот умножить B на A мы уже сможем, так как в B два столбца, а в A две строки. Итак, найдем произведение B на A.

Запишем матрицы A на B и вычислим элементы произведения. Итак, берем первую строку в матрице B, которая у нас записана на первом месте и первый столбец в матрице A. Умножаем строку на столбец. 2*(-7)-14 + 3 = -11. Далее умножаем первую строку на второй столбец: 2*1+ 2*3 =8. Далее аналогично со второй строкой. Вторую строку умножаем сначала на первый столбец, так здесь нолик, значит, нужно умножить лишь один на один, получится 1. Вторая строка на второй столбец дает нам число 2. Далее забываем про вторую строку, смотрим на третью. Умножаем сначала на первый столбец получаем -14, далее умножаем на второй столбец, получается 2. Произведение найдено.

Теперь для этих же матриц выполним другое преобразование. Найдем матрицу C, которая является суммой трех слагаемых, причем здесь у нас стоит квадрат матрицы A. Обращаем внимание, что квадрат A понимается в обычном смысле. A умножается на A, также, как квадрат числа (это число умноженное на себя), а умножение, то какое у нас определенно для матрицы, то есть мы не каждый элемент возводим в квадрат, а умножаем 2 матрицы по общепринятому правилу. Итак, записываем две одинаковые матрицы и повторяем процедуру: строка на столбец: -7 *(-7) +1 = 50. Далее первая строка на второй столбец: -7+2 = -5. Все первую строчку мы заполнили. Теперь заполняем вторую строку. У первой матрицы фиксируем вторую строку, умножаем на первый столбец: -7+2=-5. Первая строка на второй столбец: 1+4=5. Далее A в квадрате нужно умножить на число 1/5. Каждый элемент квадрата A умножается на одну пятую, то есть делится на 5, получается (10, -1/ -1, 1). Далее нам потребуется матрица, транспонированная к A. Напоминаю, вы должны поменять местами строки и столбцы. Строка -7 1 перейдет в столбец, строка 1 2 также в столбец. Далее нам дана единичная матрица второго порядка, умножаем ее на 5 получаем (см. на видео). Напоминаю, что единичная матрица составлена из единичных векторов.

Теперь выполняются операции сложения и вычитания найденных матриц. Нам надо сложить первые две матрицы и затем вычесть 3 матрицу. 1/5*A² + A^Т-5Е.

Напишем подробно: первый элемент первой строки 10-7-5, второй элемент первой строки -1+1-0, переходим ко второй строке -1+1-0 и, наконец, второй элемент второй строки 1+2-5. Вычисляем. Первая строка -2 0, вторая строка 0 -2. Получили результат. Обращаем внимание матрицу можно записать немножко по-другому. -2 можно вынести из матрицы и получить единичную матрицу. Значит, ответ может быть в итоге записан, как -2*Е. Итак, матрица C = -2*Е.

Теперь более интересная задача. Дана матрица A(1 1, 0 1). Напомню ещё раз, что умножение матриц не коммутативно, то есть умножить матрицу A на какую-нибудь, например, на (1 2, 3 4) в таком порядке мы получим (4 6, 3 4), а умножив в другом порядке, получим матрицу (1 3, 3 7). Это пример, показывающий тот факт, что операции умножения не коммутативна, важен порядок. При этом в некоторых случаях матрицы друг с другом менять местами можно.

Итак, требуется найти все такие матрицы X, для которых A*X равняется X*A. Как мы видим матрица B среди этих не содержится, но найдем все такие X, если конечно они есть. Давайте запишем матрицу X в общем виде. Размерность матрицы X точно такая же 2 на 2, то есть она имеет четыре элемента. Предлагаю обозначить их буквами (x y, z t). X большое это сама матрица. И запишем в общем случае, что такое произведение A*X. Итак, (x+z y+t, z t). Теперь в другом порядке X*A, получается матрица (x x+y, z z+t). Мы хотим потребовать, чтобы эти матрицы были равны. Мы видим, что, например, элементы второй строки первого столбца уже заведомо равны, как и в нашем примере, троечки одинаковые, а вот три оставшихся элемента, вообще говоря, имеет разный вид. Итак, раз мы хотим, чтобы выполнялось равенство, значит, все соответствующие элементы должны быть равны, то есть x+z должно совпасть с x, y+t должно совпасть с x+y и наконец, должны быть равны t и z+t .

Вот такая необходимая система равенств. Давайте, ее исследуем. Нетрудно она преобразуется. Из первого уравнения x уничтожается, получается z=0. Во втором уравнении уничтожается переменная y, получается равенство t=x, а из последнего уже известно равенство z=0. Получается, что от t ничего не зависит, y - любое, также как любым можно взять x, а t =x. Итак, требуемая матрица Х имеет такой вид (x y-любое, 0 x-любое). Итак, при любых значениях x и y, матрица указанного вида, является перестановочной с матрицей A, то есть порядок умножения здесь не важен.

Если A вот такая (см. на видео), а X имеет вот такой вид. Обращаю внимание, что матрицу X можно представить в следующем виде (x 0, 0 x)+(0 y, 0 0). Так давайте проверим, если мы сложим, получится матрица Х, из каждой матриц вынесем x. Здесь получим единичную матрицу (см. на видео), а здесь вот такого вида (0 1,0 0), то есть, вспоминая наш прошлый язык, матрицу Х мы представили в виде линейной комбинации двух конкретных матриц. x и y это коэффициенты разложения.

Теперь давайте вспомним понятие обратной матрицы. Исследуем вопрос о том, будет ли матрица A иметь обратную. Мы уже на лекции говорили о том, что не любая матрица имеет обратную, тем не менее, часто обратная существует. Давайте вспомним определение. По определению, если обратная имеется, она должна удовлетворять вот такому равенству A*A^-1=Е. Причем, в другом порядке то же самое.

Давайте проанализируем первое равенство. Для этого снова обозначим элементы неизвестной матрицы (x y, z t) как в предыдущей задаче и умножим (1 3, 2 6) на эту неизвестную матрицу. И так снова применяем правило строка на столбец. Получаем матрицу (x+3*z y+3*z, 2*x+6*z 2y +6*t), но если неизвестно, что матрица является обратной, то в итоге должны получить единичную матрицу, а, значит, необходимо x+3*z=1, а 2*x+6*z=0. Имеем систему. Предлагаю из второй строки вычесть 2 первых. Итак, вычтем. Заодно еще раз вспомню наш предыдущий материал. Возможно, кто-то уже заметил, что данные выражения пропорциональны. За счет этого после указанной операции вычитания, мы получим противоречивые уравнения, то есть второе уравнение примет вид 0*x+0*z=-2, а, значит, решений данной системы нет. То есть требуемых x и z подобрать не удастся. Значит, исходная матрица обратной не имеют. А^-1 не существует.

Наконец, напоследок решим задачу, в которой обратная матрица имеется, и найдем ее с помощью указанного на лекции алгоритма. Итак, матрица A имеет размер 3 на 3, здесь по определению задачу решать можно, но сложно, потому что в этом случае обратная будет, такого же размера, а, значит, у неё получается девять неизвестных элементов. Вспоминаем алгоритм для нахождения обратной матрицы. Формально приписываем справа к исходной единичную и начинаем выполнять элементарные преобразования, стремясь матрицу A преобразовать в единичную. Для этого вначале пытаемся получить ступенчатый вид. Вычитаем из 3 строки 3 первых. Черта проведена условно, смотрю на матрицу как на единое целое. Получаем матрицу вида (см. на видео). И так мы видим уже много нулей, если мы поменяем две последние строки местами, у нас уже получится ступенчатая матрица. Предлагаю это сделать. И так переписываем (см. на видео). Почти единичная матрица, но надо умножить на 1 последнюю строку. Домножаем. Итак, мешает единичка в первой строке втором столбце, получить 0 очень просто. Вычитаем из первой строки вторую. Обратите внимание. За счет того, что у нас получается ступенчатая матрица, данное вычитание никак не изменяет первый элемент, что важно. Поэтому вначале мы все-таки приводим к ступенчатой. Получаем нужные нам нолики под ведущими элементами, а потом получаем нолики над ведущими элементами. Итак, получаем первую строку (1 0 0 4 0 -1), а все остальное без изменения. Получается следующая матрица (см. на видео). Итак, что мы видим, слева от черты единичная, значит, в силу теоремы из лекции матрица полученная справа является обратной. Итак, запишем обратную матрицу и не забудем про второй пункт данной задачи. Предлагаем вам самостоятельно проверить правильность этой матрицы, а для этого надо исходную матрицу умножить на обратную и должна получиться в итоге E. Проверьте самостоятельно.

А мы решим второй пункт данной задачи. Напоминаю, мы нашли обратную, а далее от нас требуется найти матрицу X из уравнения, причем, мы уже не будем решать, как раньше, обозначая элементы буквами x, y, z, t, а применим знание обратной матрицы.

Домножим исходное уравнение А^-1 справа. В этом случае сгруппировав произведение A*A^-1 мы получим вот такое равенство (см. на видео). Применили свойство ассоциативности, позволяющие расставлять скобки в произведении как угодно, не меняя при этом последовательность. Множитель A*A^-1= E, а значит X = B*A^-1 . Итак, решением данного уравнения является вот такая матрица X. подставим матрицу B и найденную A^-1 и найдем X, еще раз произведя операцию умножения.

Давайте проверим, совпадают ли размерности этих матриц. Матрица B 2 на 3, а A^-1 3 на 3 в итоге получаем матрицу размером 2 на 3, так перемножить можно, значит, всё корректно. Снова схему я уже не проговариваю, что на что умножается, сразу считаем. Итак, матрица X имеют указанный вид (см. на вид).

Задача решена.