Математика. Материалы курса

 

 

Продолжаем исследование систем линейных уравнений.

Используя введенное ранее понятие, сформулируем критерий, показывающий, когда система совместна, то есть имеет решение, и, во-вторых, исследуем множество решений однородной системы линейных уравнений.

Давайте запишем систему уравнений в общем виде. Вспомним, что с каждой такой системой мы сопоставили матрицу ее коэффициентов. В этой матрице также записан столбец, составленный из свободных коэффициентов данной системы. Эту матрицу называют расширенной матрицей. Если убрать последний столбец, то есть столбец свободных членов, то полученная матрица коэффициентов называется основной матрицей данной системы (условно проведем черту, отделяющую последний столбец от основной матрицы).

Допустим, что мы привели расширенную матрицу к ступенчатому виду. Возможны два случая, давайте их разберем.

Первый вариант. В ступенчатой матрице каждый ведущий элемент располагается правее предыдущего, то есть ведущие элементы образуют такую ступеньку. На слайде изображен случай, когда в последней строке ведущий элемент находится в основной матрице. Обозначим ведущие элементы буковками a, b, c, d. Ведущий элемент – это первое ненулевое число в строке. В этом случае ранг как основной, так и расширенной матрицы равен одному и тому же числу. Давайте вспомним, что ранг матрицы – это число базисных векторов в системе. Если же мы привели матрицу к ступенчатому виду, то ее ранг равен числу строк. Таким образом, в первом случае получается, что ранг основной и ранг расширенной матрицы одинаковы.

Второй случай. Допустим, что ступенчатой системе последняя строка имеет вот такой вид, то есть не ненулевой элемент располагается на самом последнем месте, это элемент с. В этом случае, если мы уберем столбец свободных членов, мы получим основную матрицу, и в ней последняя строка будет нулевой. Поэтому мы ее должны вычеркнуть, чтобы получить ступенчатую систему, и, в этом случае, ступенчатая система основной матрицы имеет меньше строк, чем ступенчатая система расширенной матрицы. Значит, ранги этих матриц различны.

В чем разница этих случаев с точки зрения решений? В первом случае, у нас противоречивого уравнения не получается, значит, система совместна, то есть имеет либо одно решение, либо бесконечно много. Во втором случае, последняя строка дает противоречивое уравнение, а значит, система несовместна.

Таким образом, имеем следующую теорему, называемую критерием Кронекера–Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Приведем пример. Рассмотрим систему, составленную из двух уравнений, и воспользуемся критерием для проверки, равны или не равны ранги ее матрицы. Составим основную матрицу, так как строки в ней пропорциональны, то, в итоге, получается одна строка, значит ранг матрицы равен 1. Для расширенной матрицы можно выполнить элементарное преобразование: вычесть из второй строки 3 первых. В этом случае получится ступенчатая система, состоящая из двух независимых строк. Значит ранг расширенной матрицы равен 2. Ранги различны, следовательно, система несовместна.

Теперь введем понятие однородной системы уравнений. Возьмем произвольную систему уравнений. Если хотя бы один свободный коэффициент какого-то уравнения не равен нулю, то систему называют неоднородный. Если же мы обнулим все свободные члены, то есть рассмотрим систему, в которой каждый свободный коэффициент равен нулю, то ее назовем однородной системой уравнений.

Отметим некоторые моменты для однородной системы. Во-первых, не трудно видеть, что нулевая n является решением данной системы, а это значит, однородная система уравнений всегда имеет решение: либо только нулевое, либо бесконечно много решений. Следовательно, по теореме, система совместна, значит, ранги основной и расширенной матрицы совпадают, и это число мы называем просто рангом однородной системы уравнений.

Рассмотрим интересную связь решений двух введенных систем: исходной системы и соответствующей однородной системы уровней. Пусть дана совместная система линейных уравнений, множество ее решений обозначим буквой М. Предположим, что система совместна, то есть это множество не пустое. Возьмем произвольное решение, то есть произвольно m-ку чисел, обозначим эту m-ку буквой c. Итак, c – некоторые произвольно выбранное и зафиксированное решение. Теперь рассмотрим для этой системы соответствующую однородную систему уравнений. Множество ее решений обозначим буквой V.

Имеет место следующий факт: множество решений исходной системы может быть получено как множество решений однородной системы уравнений плюс конкретное решение c, то есть множество М можно записать в виде суммы: V+c.

Проиллюстрируем данный факт на конкретном примере. Рассмотрим систему уравнений. Она сразу является ступенчатой, мы ее рассматривали на одной из предыдущих лекций, подробно решали и получили следующее множество решений. Оно имеет следующий вид: система имеют бесконечно много решений. Помним, что перед переменной x₃ у нас является свободной, через нее выражаем переменные x₁, x₂. Записываем общее решение, например, в виде, изображенном на слайде.

Рассмотрим какое-нибудь частное решение этой системы. Возьмем наиболее простое, например, тройку чисел (0, 1, 0). Если мы подставим данное значение вместо переменных, то, очевидно, получим, что эта тройка является решением. Давайте множество М постараемся представить в виде суммы этого частного решения, в виде суммы векторов с и общего решения однородной системы.

Выполнив указанные преобразования, получаем такой вид множество М: М – это есть сумма конкретной тройки (0, 1, 0) и вектора, пропорционального вектору (1, -2, 1).

Убедитесь самостоятельно, что множество векторов, пропорциональных вектору (1, -2, 1) является общим решением однородной системы уравнений.

Таким образом, получаем, что множество М можно представить как сумму общего решения однородной системы V плюс некоторое конкретное решение исходной системы уравнений.

Постараемся сделать геометрическую иллюстрацию данного факта. Для этого напомню, что линейное уравнение с тремя переменными задает в пространстве плоскость. При этом если уравнение будет однородным, то эта плоскость будет проходить через начало координат.

Таким образом, если мы рассмотрим для исходной системы однородную систему, то ее решением может являться линия пересечения двух плоскостей, которая проходит через начало координат. Итак, эта прямая на рисунке обозначена буквой V – это множество решений однородной системы уравнений, которая соответствуют системе, записанной на слайде.

Далее мы берем вектор с координатами (0, 1, 0) и к каждому решению однородной системы прибавляем данный вектор, то есть геометрически это означает, что каждая точка прямой V переносится на вектор c, тем самым получается, прямая, задающая множество решений исходной системы, то есть множество М. Прямая М – это прямая, полученная переносом прямой V на фиксированный вектор c.

Теперь рассмотрим следующее однородное линейное уравнение и постараемся увидеть, какими свойствами обладает ее множество решений. Сразу же отмечу, что выводы, которые мы сейчас сделаем, они носят общий характер. То есть этими свойствами обладает не только данное уравнение, а любое линейное уравнение, в котором свободный член равен 0, то есть однородное линейное уравнение.

Обозначим решение рассмотренного уравнения буквой V и будем выписывать некоторые решения. Начнем самого простого – с нулевого. Как мы знаем, нулевая m-ка всегда является решением, то есть нулевой вектор. Далее возьмем какое-нибудь ненулевое решение, например, тройку (2, -1, 0). Тот факт, что это решение, проверяется непосредственной подстановкой. Вместе с этим решением в пространстве решений лежит вот такая тройка чисел: (-2, 1, 0), противоположная данной.

Далее выберем еще какое-нибудь решение, например, (-1, -1,1). Умножим это решение на число, например, равное 3 (можно умножить на любое), получили снова решение данного уравнения. Теперь какие-нибудь два решения из найденных сложим, получим тройку чисел, которая также будет являться решением данного уравнения. Оказывается, что такими преобразованиями: сложением решений, умножением произвольного решения на число, мы можем получить множество всех решений данного уравнения.

Соберем те свойства, которые мы рассмотрели на указанном примере. Во-первых, нулевой вектор всегда лежит во множестве решений V.

Во-вторых, какое бы решение с мы не взяли, умножив его на любое число, мы снова получим решение исходного уравнения. В частности, если мы домножим вектор c на -1, мы получим противоположное решение исходного уравнения.

В-третьих, сложив два решения однородного уравнения, мы также получим решение этого уравнения.

Отсюда можно сделать следующий вывод, сформулируем его в виде теоремы. Множество решений однородной системы линейных уравнений является векторным пространством.

Введем одно новое понятие – понятие фундаментальной системы решений. Для этого нам потребуется вспомнить понятие базис. Множество решений однородной системы уравнений является векторным пространством, обозначим это пространство буквой V.

Что же такое базис? Базисом называется любая линейно независимая часть исходной системы векторов, через которую выражается произвольный вектор данной системы. А именно, если мы имеем векторное пространство, то число базисных векторов называется его размерностью.

Базис пространства решений однородной системы уравнений называется фундаментальной системы решений, или сокращенно ФСР.

Имеет место следующая теорема. Возьмем произвольную однородную систему уравнений. Пусть будет n переменных. Если ранг r этой системы меньше числа переменных, то эта система имеет базис, то есть фундаментальную систему решений, состоящую из n-r векторов. Если же параметр n и r равны, то, в этом случае, система имеет только одно нулевое решение, а значит, фундаментальная система решений здесь не существует.