Математика. Материалы курса

Наше практическое занятие будет посвящено n-мерному арифметическому пространству. Решим ряд задач на отработку введенных на лекции понятий.

Мы знаем, что над векторами можно выполнять операции сложения, умножения вектора на число. Поэтому вот такое задание. Дано уравнение, в котором известны векторы а, b и c, а вектор x требуется найти, такой, чтобы имело место указанное равенство.

Для того, чтобы уравнение преобразовать, надо воспользоваться рядом свойств, которые справедливы в векторном пространстве. А именно надо раскрыть скобки, умножить вектор на скаляр. Давайте это сделаем. Итак, преобразуем левую часть нашего равенства: 2а – 6х, раскрываем вторую скобку, вносим скаляр 3, -3b + 3x =-х. Наша задача: постараться выразить вектор x. Для этого, во-первых, приведем подобные в левой части, свойства позволяют это делать. Образно говоря, выносим x за скобку и вычисляем 3 – 6. Получится - 3x + 2 а -3 b = c – x. Далее прибавим к обеим частям вектор x. Или даже можно сделать иначе: прибавить вектор 3x, чтобы слева он исчез, и вычесть из обеих частей вектор c. В этом случае мы получим 2а -3 b – с, а справа 3х-х=2х. Далее выражаем вектор x. Делим все коэффициенты на 2. а – 3/2 b – ½. Таким образом, вектор x выразили через векторы а, b и c с помощью наших операций. Или, как говорят, представили вектор x в виде линейной комбинации векторов a, b и c.

Теперь найдем этот вектор, учитывая a, b и c. Итак, подставляем. х= (3, -1, 2) – (3/2, 3, -3/2) – (3/2, -1, -1/2). Аккуратно вычисляем. 3/2 да 3/2 дадут нам 3, из 3 вычитаем 3, получаем число 0. Вторая координата равна -3 и, наконец, третья координата равна 4. Получаю итоговый ответ: вектор x найден, это тройка (0, -3,4).

Рассмотрим следующую задачу. С помощью операции сложения векторов и умножения на число требуется получить нулевой вектор из данных трех векторов, причем разными способами. Во-первых, конечно же, нулевой вектор всегда можно получить с помощью нулевых коэффициентов. Напомню, что нулевой вектор мы обозначаем жирным нулем, чтобы не записывать все его координаты. Естественно, что, если я каждый из векторов домножу на 0, я получу нулевой вектор. Это всегда. Но постараемся получить нулевой вектор другими способами, чтобы коэффициенты были не нулевыми. Для этого запишем равенство, которое мы хотим иметь в итоге. То есть каждый вектор мы можем умножить на какой-то скаляр, далее можем между собой сложить эти векторы. Наша задача: подобрать числа к₁, к₂ и к₃, таким образом, чтобы в итоге получить нулевой вектор, то есть тройку из одних 0. Расшифруем данное равенство, подставив векторы а, b и с. Итак, к₁ умножается на вектор (1, -1, 1), к₂ умножается на вектор (1, 2, 2), к₃ умножается на вектор (2, 1, 3). Получается нулевой вектор, все координаты которого равны нулю. Снова вспоминаем, как выполняются операции. Умножаем на число, значит, умножаем каждую координату (к₁, - k₁, к₁) + (к₂, 2к₂, 2к₂) + (2к₃, к₃, 3к₃). И снова все равно нулевой тройке. Далее складываем. Опять же складываем покоординатно. Итак, первая координата какая будет? к₁+к₂ + 2к₃. Чему она должна быть равна? Нулю. То же самое со второй координатой. Мы ее получим. Чему она равна? Она равна нулю. Аналогично для третьей координаты. То есть получается система из трех уравнений. Давайте запишем эту систему. Итак, запишем первую координату к₁+к₂ + 2к_3, она должна обратиться в 0. Вторая координата -к₁+2к₂ + к₃2 тоже равна 0. Наконец, третья координата к₁+2к₂ + 3к₃. Это тоже 0. Таким образом, задача свелась к исследованию системы линейных уравнений с тремя неизвестными, причем все свободные члены равны 0. Такую систему называют однородной системой. Наша задача: найти ее решение. Но мы с вами уже умеем решать подобные системы. Для этого можно использовать, например, метод Гаусса, который основывается на применении элементарных преобразований. Запишем матрицу из коэффициентов, при этом последний столбец у нас равен нулю. Выполним преобразования: ко второй строке прибавим первую, а из третьей вычтем первую. Вы должны понимать, зачем мы это делаем. Я подробно об этом уже не говорю. Итак, получаем вторую строку 0 3 3 0, третья строчка изменяется, и получается 0 1 1 0. Обратите внимание, последний столбец не изменяется за счет того, что в нем все нули. Что мы видим? Две последние строки пропорциональны, то есть мы можем, скажем из второй вычесть три третьих, ну или из третьей вычесть 1/3 второй. После этого получится нулевая строка, мы ее вычеркиваем. После этого получаем ступенчатую матрицу. Я не буду прописывать нулевую строчку, а запишу сразу же ступенчатую матрицу. В общем полученную нулевую строку я сразу же отбросил. Перейдем к системе. При этом предлагаю поделить вторую строку на 3. Вот такая получается у нас система. Здесь переменную к₃ можно считать свободной. Выразим к₂=-к_3. Из первого уровня выражаем к₁ = - k₃. Система имеет бесконечно много решений, в частности, такое. Придадим переменной к₃ значение, равное 1. Тогда к₂ и к₁ будут равны -1. Значит, тройка вида (-1, -1, 1) является решением данной системы. То есть мы нашли набор требуемых коэффициентов. Таким образом, наша комбинация вида -а - b + c дает нулевой вектор. При этом понятно, что вместо к₃ мы могли поставить другое значение, например -2. Тогда к₂, к₁ будут равны 2. И мы получим другое разложение нулевого вектора: 2a + 2b-2c=0. Уточняю, что, конечно же, записывая 0 в таком равенстве, мы понимаем это как 0 вектор, потому что слева стоит вектор. Итак, вот такое разложение. Понятно, что аналогично можно получить еще бесконечно много разложений. Требуемая задача решена. Причем обращаю внимание, что кто-нибудь из вас, может быть, сразу увидел, что эти 3 вектора как-то между собой связаны. Если мы сложим векторы а и b, то есть сложим их координаты, то как раз получим вектор c. Вот если бы мы это уловили изначально, нам не пришлось бы решать нашу систему. Потому что из того, что мы какой-то вектор выразили через другой, как здесь, с = a + b, то из такого равенства мы обязательно сможем получить линейную комбинацию, то есть выразить нулевой вектор. Для этого переносим все векторы в одну часть, векторы a и b у нас будут с коэффициентами -1, то есть - а - b + c, а справа остается нулевой вектор. То есть имеем то же самое, что мы получили в результате нашего решения.

Еще одна задача с такой формулировкой. Требуется получить вектор с координатами (5, λ, 7) с помощью операций из векторов с координатами (1, 0, 2), (-1, 0, 1). При этом нужно понять, при каком значении λ это возможно, и каковы будут коэффициенты в разложении? Итак, давайте запишем требуемые равенства. Вектор (5, λ, 7) мы хотим получить из указанных векторов. Снова рассуждаем точно так же. Данный вектор мы можем умножить на какие-то числа: (1, 0, 2 ) на какое-то число к₁, другой вектор (-1, 0, 1) на какое-то число к₂. Далее эти векторы складываем. Должны получить требуемый вектор. Выполним преобразования в правой части, причем, если в предыдущей задаче я подробно расписывал, здесь я предлагаю немножко сократить преобразования. То есть сразу домножу первую координату на к₁, то же самое делаю со вторым слагаемым и складываю. Тогда я получу следующую тройку координат: (см. видео). Обратите внимание на вторую координату. Она нулевая. И наконец, третья координата 2к₁ + к₂. Слева ничего не поменялось: (5, λ, 7). Итак, что же мы видим? С помощью наших операций мы сможем получить требуемый вектор, который записан слева, только тогда, когда вторая координата равна нулю. Потому что какие бы числа k₁, k₂ мы не взяли, нолик у нас никуда не денется. Итак, если же λ ненулевое, разложение невозможно. λ=0 – это необходимое условие.

Однако надо еще проанализировать, сможем ли мы найти k₁ и k₂ так, чтобы равенство было верным. Давайте проанализируем. Итак, что мы знаем? Вторая координата – нулевая, первая координата к₁ - к₂ = 5. 2 к₁ + к₂ =7. Снова получаем систему линейных уравнений. Решаем ее. Здесь я не буду переходить к матрице. Система простая. Выполню наиболее простое преобразование: к первой строке прибавлю вторую, тем самым избавлюсь от переменной к₂. Итак, складываем, получаем 3к₁ = 12. Второе уравнение перепишу. Получаю систему, равносильную данной. Находим к_1, это 4, выражаем к_2, подставляя во второе уравнение. Имеем 2 на 4, 8, плюс к₂ равно 7, отсюда к₂ – это -1. Итак, оказывается, коэффициенты существуют. При λ=0 требуемое представление возможно. Итак, вектор (5, 0, 7) можно выразить через данные векторы со следующими коэффициентами: перед первым вектором коэффициент 4 (4(1, 0, 2)), при 2 векторе – коэффициент -1. Итак,-1(1, 0, 1). Данное разложение является ответом.