Математика. Материалы курса

 

Мы продолжаем изучать арифметическое векторное пространство. Вспомним, как оно обозначается. Его элементы, упорядоченные n-ки, мы называем n-мерными строками, n-мерными векторами. На этом множестве можно вести операцию сложения, а также операцию умножения вектора на число. Об этом мы с вами подробно говорили на прошлой лекции.

Сейчас мы введем ряд важных определений. Отметим, что все водимые определения могут быть даны для произвольного векторного пространства.

Итак, начнём. Введем в начале важное понятие линейной комбинации. Пусть нам даны векторы, обозначим их а₁, а₂ и так далее. Линейной комбинацией этих векторов называется вектор указанного вида, то есть сумма слагаемых, каждое слагаемое представляет собой вектор, умноженный на некоторый скаляр, на некоторое число. Это число называют коэффициентом при данном векторе. Если все коэффициенты равны нулю, комбинацию называют нулевой. Если же среди коэффициентов есть хотя бы один не 0, то будем говорить, что комбинация не нулевая.

Теперь ведем понятие линейной зависимости. Пусть нам дана система, в которой два или более векторов. Такой набор векторов называется линейно зависимым, если среди них есть вектор, равный линейной комбинации остальных векторов. Если же у нас в системе дан только один вектор, то в этом случае, она называется линейно зависимой, если этот вектор нулевой.

Сформулируем теорему, которая дает критерий линейной зависимости. Итак, система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда существуют числа r₁, r₂ и так далее, r_n, среди которых есть хотя бы одно ненулевое число, такие, что линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору. Другими словами, линейная зависимость векторов а₁, … а_n означает, что нулевой вектор можно представить в виде не нулевой линейной комбинации данных векторов. Обращаю внимание, что если у нас комбинация нулевая, то, конечно же, она всегда дает нулевой вектор.

Если система не являются линейно зависимой, ее называют линейно независимой. Аналогичным образом можно дать следующий критерий линейной независимости системы векторов a₁, а₂ и так далее. Она является линейно независимой тогда и только тогда, когда линейная комбинация этих векторов равна нулю только при нулевых коэффициентах. Обращаю внимание на слово «только». То есть ни в каких других случаях нулевой вектор мы не получим.

Рассмотрим простейшие следствия из данных определений.

Во-первых, если мы рассмотрим два вектора, то их линейная зависимость означает, что один из них выражается через другой таким образом: если мы рассмотрим две n-мерные строки, то они будут линейно зависимы тогда, когда они пропорциональны.

Во-вторых, если в системе окажется нулевой вектор, то эта система заведомо линейно зависима. Действительно, нулевой вектор всегда можно представить в виде линейной комбинации любых других векторов с нулевыми коэффициентами. Таким образом, если система имеет нулевой вектор, мы сразу говорим, что она линейно зависима.

Теперь рассмотрим еще некоторые уже более серьезные свойства, которые не являются очевидными следствиями из определений.

Во-первых, рассмотрим такую теорему: если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то эта система линейно зависима. Другими словами, если в системе оказалась часть линейно зависимой, то значит, исходная система также является линейно зависимой.

Следующая теорема. Любая линейно независимая система n-мерных векторов содержит не более n векторов. Другими словами, если мы возьмем более чем n векторов в арифметическом n-мерном пространстве, то эта система будет уже линейно зависимой. Вот две такие важные теоремы.

Идем далее. Рассмотрим m векторов из арифметического n-мерного пространства. В этом случае мы получим матрицу размером m на n, то есть m строк. Каждая строка является n-мерным вектором. Имеет место следующая важная теорема. Строки ступенчатой матрицы линейно независимы.

Рассмотрим вот такой простой пример ступенчатой матрицы. Об этом понятии мы с вами много говорили на предыдущих занятиях. Итак, матрица - ступенчатая, ведущие элементы выделены здесь красным цветом. Так вот, строки данной матрицы линейно независимы. Это общий факт.

Другой пример. Возьмем наше арифметическое пространство и рассмотрим следующую систему векторов. Ее называют системой единичных векторов. Первый вектор: на первой позиции стоит единичка, на всех остальных нолики, второй вектор: на второй позиции единичка, в остальных местах нолики, и так далее. Так вот, такая система является линейно независимой. Эту систему мы с вами встретим еще не один раз дальнейшем.

Теперь рассмотрим понятие линейной зависимости в геометрических пространствах. Напомню, что если n равняется двум, то множество двумерных строк можно смоделировать, как множество векторов, параллельных некоторой плоскости. Такое множество мы с вами обозначили через Е₂. Так вот, в этом пространстве два вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они коллинеарны, то есть параллельны одной прямой. Для пространства Е₃, то есть для множества всех геометрических векторов имеет место следующий факт: три вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны, то есть параллельны одной плоскости.

Теперь определим еще одно важное понятие – понятие базиса. Будем говорить, что он набор векторов b₁, b₂ и так далее линейно выражается через другие векторы а₁, а₂ и так далее а_s, если каждый вектор b_i равен линейной комбинации векторов а₁, а₂ и так далее, а_s. Используя такую терминологию, дадим определение.

Базисом системы векторов называется любая ее линейно независимая подсистем, через которую линейно выражаются каждый вектор исходной системы. Приведем пример. Рассмотрим систему, состоящую из трех векторов, и постараемся понять, какой в ней будет базис.

Во-первых, давайте заметим, что векторы b и c пропорциональны, а значит, являются линейно зависимыми. Поэтому и вся система из векторов a, b, c линейно зависима. Значит, вектор c можно вычеркнуть. Оставшиеся векторы а и b уже будут образовывать базис. Почему? Ну, во-первых, они линейно независимы. Посмотрите, они образуют ступенчатую матрицу. Во-вторых, вектор c через b выражается, коль скоро ему пропорционален. И значит, выражается через векторы a и b, просто при векторе а мы берем нулевой коэффициент. Таким образом, вектор c – это есть два вектора b, ну или более точно, 2 b + 0 а.

Кроме базиса (b, c), есть другой базис, состоящий из векторов a и c. Аналогично, векторы а и c у нас независимы, а вектор b через них можно выразить.

Рассмотрим другой пример. Вспомним систему единичных векторов е₁, е₂ и так далее е_m. Утверждается, что это система образуют базис нашего арифметического n-мерного пространства. Постараемся обосновать, почему? Во-первых, мы уже знаем, что данная система векторов линейно независима. Надо понять следующий факт: каждая n-ка может быть линейный выражена через данный вектор. Чтобы в этом разобраться, предлагаю следующую схему. Давайте будем умножать каждый вектор е_i на коэффициент r_i. Но в силу структуры получаются следующие векторы (см. видео). То есть там, где нули, нули и остаются, а где стояла единичка, получается скаляр r₂. Таким образом, r_n*e_n будет иметь указанный вид. Далее сложим и получим нашу исходную n-ку. Таким образом, равенство обоснованно.

Идем дальше. Снова вспомним наши геометрические примеры – пространства Е₂ и Е₃. В Е₂ базис образуют любые два неколлинеарных вектора. Давайте возьмем и сделаем рисунок. Рассмотрим два вектора – а и b, не параллельные одной прямой. Они линейно независимы. Во-вторых, любой вектор через а и b можно выразить. Но если вектор c будет у нас коллинеарен какому-то вектору, например, а, тогда он через а выражается, а b мы берем с нулевым коэффициентом. Если же вектор с неколлинеарен, ни а, ни b. В этом случае мы легко выражаем вектор c через векторы а и b, например, вот таким образом. Рисуем параллелограмм с диагональю c. Далее у нас возникают два вектора, коллинеарные а и b. Первый вектор вида rа, другой вектор – вида sb, тем самым, c – это сумма ra + sb.

Аналогично для пространства Е₃. В нем базис образуют любые три некомпланарные векторы. Тоже сделаем рисунок. Возьмем некомпланарные векторы, то есть векторы, не параллельные одной плоскости. Отложим их от одной точки. Рассмотрим произвольный вектор x. Достроим его до параллелепипеда, точнее, построим параллелепипед так, чтобы вектор x был его диагональю. В этом случае возникает тройка векторов, ra, sb и l. Таким образом, вектор x является суммой названных векторов, то есть x есть линейная комбинация векторов а, b и с.

Еще одно понятие – понятие координат. Вначале сформулируем теорему. В арифметическом n-мерном пространстве любой вектор по базису разлагается однозначно. Другими словами, если мы зафиксируем базис е₁, е₂ и так далее, е_n, и возьмем произвольный вектор а, то коэффициенты линейной комбинации r₁, r₂ и так далее, r_n находятся однозначным образом. Эти коэффициенты образуют упорядоченную n-ку и называются координатами вектора а. Итак, еще раз, координаты вектора в фиксированном базисе – это коэффициенты его разложения по данному базису.

Снова приведем примеры. Рассмотрим пространство Е₂. В качестве базиса выберем два перпендикулярных вектора – i и j, имеющие единичную длину. В этом случае произвольный x выразится через данные векторы. Это мы уже знаем. В этом базисе числа r_s называются его координатами.

Аналогичная ситуация в пространстве Е₃. В качестве стандартного базиса мы выбираем три вектора, которые между собой перпендикулярны, имеют единичную длину, называем эти векторы i, j, k. Они дают нам трехмерную систему координат. Взяв произвольный вектор x, мы получаем разложение через векторы i, j, k. Полученные коэффициенты называются координатами в данном базисе.

Еще одно понятие – понятие ранга системы векторов. Имеет место следующая теорема. Давайте ее вначале сформулируем. В n-мерном векторном пространстве любая ненулевая система векторов обладает хотя бы одним базисом. Под ненулевой системой понимаем такую систему, в которой есть хотя бы один ненулевой вектор.

Следующая теорема. Если мы возьмём любые два базиса одной и той же системы, то эти базисы имеют одинаковое число векторов, и это число называется рангом данной системы.

Как известно, нулевая система векторов базиса не имеет по определению. Полагается, что ранг нулевой системы равен нулю.

Рассмотрим произвольное векторное пространство. Ранг этого пространства обычно называют размерностью и обозначают соответствующим образом.

Для наших стандартных примеров мы имеем следующее размерности.

Арифметическое n-мерное пространство имеет размерность n, именно поэтому его и называют n-мерным векторным пространством. Другой наш пример: пространство Е₂ имеет размерность 2, потому что в базисе два вектора. Ну, а пример геометрического пространства Е₃ дает нам пример пространства размерности 3.

Мы уже знаем, что строки матрицы можно рассматривать как векторы. Поэтому можно ввести понятие ранга матрицы. Ранг матрицы – это ранг системы ее строк. Имеют место следующие две теоремы.

Во-первых, применение элементарных преобразований в системе векторов дает систему того же ранга. Во-вторых, ранг ступенчатой матрицы равен числу ее строк.

Из этих фактов мы можем сделать вывод о том, каким образом найти ранг произвольной матрицы. Для этого с помощью элементарных преобразований мы приводим ее к ступенчатому виду. Учитывая, что ранг системы не изменяется, мы получаем систему того же ранга. Но раз ранг ступенчатой системой равен числу ее строк, значит мы легко находим ранг исходной матрицы.