Математика. Материалы курса

Векторное пространство

Наша лекция посвящена рассмотрению примеров множеств, которые имеют однотипную структуру и общие свойства. Эти примеры позволят нам ввести важные понятия векторного пространства. Итак, приступим в начале рассмотрим множества, с элементами которого мы с вами уже встречались, решая системы линейных уравнений. Возьмем нулевое уравнение, все коэффициенты которого равны нулю решением этого уравнения является любая n-ка чисел поэтому множество его решений можно записать в таком виде. То есть имеем произвольный набор чисел R1, R2, так далее Rn, где Ri принимает произвольное значение такое множество, обозначают буквой R с верхним индексом n. При этом отмечу число n мы фиксируем, то есть берем произвольное натуральное n и фиксируем его. Получаем вот такое множество. Множество всех упорядоченных n-нок. Так же элементы этого множества называют n-мерными строками n-мерными векторами или просто векторами.

Обращаю внимание, что термин вектор закрепился из-за того, что данный объект имеет очень много общего с обычными геометрическими векторами. Об этом мы с вами вскоре поговорим. Итак, как я уже сказал, элементы из множества Rn называются векторами, а сами числа Ri называются скалярами. Теперь рассмотрим некоторые модели в которых возникает понятие упорядоченные n-ки. Ну, во-первых, отметим, что каждому уравнению можно сопоставить множество n-нок его решений. Это множество можно записать указанным образом, если, конечно же, у уравнений нет решений, то ему соответствует пустое множество. А если же решение есть, то каждому уравнению мы можем сопоставить множество его решений- множество n-нок. Во-вторых, каждому уравнению сопоставляется строка его коэффициентов, то есть строка его матрицы.

Далее рассмотрим некоторые геометрические примеры. Зафиксируем на плоскости некоторую систему координат. После этого получим, что каждая точка на плоскости однозначно определяется своими координатами, то есть парой чисел. Вот в нашем примере точка имеет координаты (2;1). Таким образом точку на плоскости можно отожествить с парой чисел аналогичным образом. Точка в геометрическом пространстве однозначно определяется тройкой чисел, при условии, что мы фиксируем некоторую систему координат. На данном примере точке А соответствует тройка чисел (2;1;3).

Теперь вспомним понятие геометрического вектора. Это понятие изучалось в школьном курсе математики, оно используется как в математике, так и в физике. Итак, вектор в геометрии — это объект, который определяется направлением и длинной. Известно, что вектор можно изобразить направленным отрезком.

Рассмотрим некоторые примеры векторов. Обозначим через Е2 множество всех векторов параллельной одной плоскости. Можно считать, что все векторы лежат в одной плоскости, если мы будем их откладывать от точек, лежащих в этой плоскости. Если мы введем на плоскости систему координат и отложим вектор от начала координат, то в этом случае под координатами вектора понимаются координаты его конца. Итак, каждому вектору мы сопоставляем пару чисел, то есть пару ее координат. Аналогичным образом рассмотрим множество Е3 - множество всех векторов геометрического пространства. В этом случаи каждому вектору можно сопоставить    

тройку чисел, которые мы также называем координатами. Отмечу, что в общем случае, когда рассматривается произвольный n-мерный вектор его элементы также называют координатами по аналогии с плоскостью и с пространством.

Теперь рассмотрим пример физического явления. Напомним, что свет-это электромагнитное излучение испускаемое, например, нагретым телом или веществом. Имеется следующая зависимость от длины волны излучения. Излучение и его интенсивность определят цвет, как класс всех световых излучений, которые одинаково воспринимаются глазом человека.

Так рассмотрим множество всех цветов. Обозначим это множеством C3. Известно следующая цветовая модель под названием RGB, который основывается на том, что каждый цвет является комбинацией трех базовых цветов: красного-интенсивности R, зеленого-G и синего-B. Именно потому что всего три цвета мы в обозначениях берем цифру 3. Получается, что любому цвету соответствует тройка интенсивности RGB.

Так рассмотрим конкретный пример. Цвета указанного на слайде светло-зеленого. Этот цвет можно получить если скомбинировать базовые цвета следующим образом- 200 R+240 G+ 120 B. Получается, что изначально взятый цвет дает нам тройку чисел 200 240 120.

Теперь рассмотрим операции над упорядоченными n-ками чисел. n-мерные векторы можно складывать для того, чтобы их сложить-надо сложить соответствующие координаты данных n-нок. Также n-нки можно умножать на число. В этом случае каждая координат умножается на данное число k.

После того как мы ввели операции, давайте рассмотрим, как эти операции отразятся на рассмотренных ранее примерах. Вспомним что, когда мы преобразовывали уравнения мы по существу выполняли данные преобразовании над строками матрицы, то есть, если нам даны два уравнения для того чтобы их сложить, мы складывали почленно левую и правую части. Тем самым получали следующее уравнение. При этом после того как переменную мы вынесли за скобки, получаемые коэффициенты являлись суммами изначально данных коэффициентов. Таким образом, все сводится к сложению строк соответствующей матрицы. То есть берем строку из первых коэффициентов, строку из вторых коэффициентов и складываем данные строки по указанному выше правилу. Аналогично с умножением, если мы умножаем обе части уравнения на число r-это означает, что мы умножаем n-ку коэффициентов на данное число. Также вспомним, что над геометрическими векторами мы умеем выполнять операции. Эти операции также будут соответствовать операциям над их координатами.

Изначально векторы мы складываем либо по правилу треугольника, либо по правилу параллелограмма. Взяв два вектора в некоторой системе координат и отложив их от начала координат, мы можем найти их сумму. С другой стороны, если мы будем работать с координатами данных векторов, то для того чтобы найти координаты суммы надо сложить исходное координат этих векторов. Итак, сложение векторов соответствует операция сложения над их координатами аналогично две операции умножения. Если мы возьмем, например, вектор А с координатами и умножим его на ½ мы получим-вектор длина которого в два раза меньше длины исходного вектора. При этом, если число больше 0, то вектор получается сонаправленным с исходным. Если же мы умножим на число меньше 0, тогда вектор изменит направление. Для данного примера мы сохраняем направление, а длину уменьшаем в два раза. На языке координат это означает, что каждая координата умножается на ½. Таким образом, из вектора (2;1) мы получаем вектор с координатами (1;1/2).

Таким же образом можно проинтерпретировать операции над цветами в нашем множестве С3. В этом случае сложению цветов соответствует смешение излучений, а умножение цвета данным числом понимается, как изменения интенсивности излучения. Таким образом, операций над цветами определяется операциями над их кодами. Например, возьмем цвет с кодом (0;100;50) сложим его с цветом, который имеет код (100;50;150) и получим следующий цвет близкий к голубому, который имеет код (100;200;200). Так как видите при сложении координат, как видите при сложении троек чисел, мы сложили соответствующие координаты. Аналогично пример с умножением, если возьмем такой коричневый цвет и умножим его на 2, получим другой цвет, который получается умножением кода исходного цвета (100;50;50) на 2, тем самым, получаем и код (200;100;100).

Рассмотрим свойства, которым подчиняются рассмотренные операции во множестве n-мерных строк. Итак, при формулировке следующих свойств будем использовать следующие обозначение - r1, r2 - это скаляры, и, то есть числа a, b, c - это n-мерные строки. Очевидно, что при сложении строк нам не важен порядок, в котором мы осуществляем данную операцию, то есть от перемены мест слагаемых сумма не изменится. В математике говорят, что операция сложения коммутативна. Во-вторых, если мы рассмотрим сумму трех слагаемых, то эта сумма не зависит от того каким образом мы расставим скобки. Говорят, что операция сложения ассоциативна. В-третьих, существует нулевой вектор-это вектор, составленный из нулевых координат. То есть строка состоящей из одних нулей. Этот вектор характеризуется вот таким равенствами. То есть прибавляя нулевой вектор к любому вектору a, вектор а не изменяется. Далее каждый вектор а имеет противоположный вектор обозначаемый -а. В этом случае сумма противоположных векторов дает нулевой вектор. Следующее свойство-умножив вектор на единицу мы вектор не изменим. Имеет место следующие свойства. Обращая внимание, что здесь а-вектор, r1, r2 – скаляры. Также седьмое свойство. Оно говорит о том, что можно раскрыть скобки, если мы будем преобразовывать данное равенство слева направо, либо наоборот. если мы будем идти от правой части равенства к левой, то мы можем вынести общий множитель за скобки. И аналогично свойству здесь r1- скаляр, a и b -вектор. Итак, если мы хотим умножить скаляр на сумму векторов, мы можем умножить скаляр на каждый вектор в отдельности, а потом их сложить. Вот основные свойства, которым подчиняются рассматриваемые векторы. При этом обращая внимание, что он этим свойством удовлетворяет, не только векторы строки, а также, например, и геометрические векторы, как направленные отрезки. Неважно, где их рассматривать на плоскости или в пространстве.

Так вот, любое множество на котором заданы операции сложения векторов и умножение вектора на число, если при этом выполняется указанное свойство называется векторным пространством. Дадим четкое определение. Итак, не пустое множество v, на котором заданы операции сложения и умножения, на число удовлетворяющим условиям называется векторным пространством. Наш пример множество n-мерных строк, как мы уже сказали, является векторным пространством. Его называют арифметическим n-мерным пространством. Аналогично множество Е2, Е3 также являются векторными пространствами. Отмечу, что в качестве нулевого вектора здесь используется вектор, у которого начало и конец совпадают. То есть это просто точка. Также пример множества С3, множества всех цветов, также можно сделать векторным пространством, но для этого надо к цветам, к реальным цветам, добавить, так называемые, абстрактные несуществующие цвета. Таким образом, можно сказать, что все рассмотренные примеры, на которых мы ввели операции сложения и умножения на число, являются векторными пространствами.