Математика. Материалы курса

Мы продолжаем изучать системы линейных уравнений. На прошлой лекции подробно были рассмотрены примеры систем, которые либо не имеют решений, либо имеют единственное решение.

Давайте начнём данную лекцию со следующего примера. Рассмотрим вот такую систему. Она является ступенчатой. При этом, если мы начнём выражать из последнего уравнения какую-то переменную, например х2, а затем подставим её значение в первое уравнение, мы получим, что все три переменные можно выразить через какое-то произвольное значение с, причём с принимает произвольное значение, то есть в этом случае система имеет бесконечно много решений. Для каждого числа с мы получаем какую-то свою тройку чисел. Опуская промежуточное преобразование, оставим только то, что на слайде, и поговорим о различных формах записи решения, при этом отметим, что та переменная через которую мы выразили другие называется свободной, в нашем случае это переменная х3. Через х3 мы выразили х2, а затем и х1, при этом решение мы можем записать, оставляя данную переменную, то есть указав как выражаются другие переменные через свободную, а можем как мы только что сделали обозначить переменную х3 буквой c и через это значение выразить х1, х2, указав, что c принимает произвольное значение. Так же тройку чисел можно представить в уже известном нам виде - в круглых скобочках. Так как система имеет бесконечно много решений, то множество решений запишется таким образом. Получаем множество всех троек вида (c; 1-2c; c), где с произвольное действительное число.

Теперь вспомним некоторые факты, о которых мы говорили на прошлых занятиях. Во-первых, напомню, что с помощью элементарных преобразований мы получаем систему, которая равносильна исходной системе, то есть множество решений не изменяется. Далее имеет место теорема о том, что любую систему линейных уравнений с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. Далее было отмечено, что для произвольной ступенчатой системы возможны только три случая - о двух из них мы говорили на прошлом занятии, а вот третий вариант, когда система имеет бесконечно много решений, мы сейчас более подробно разберем. Итак, напомню, что если в ступенчатой системе у нас имеются противоречивые уравнения, то мы сразу же делаем вывод - система не совместна, а вот если противоречивого уравнения нет, то в этом случае есть два варианта либо решение одно, либо решений бесконечно много. Итак, поговорим более подробно вот о последнем случае, когда система имеет бесконечно много решений. Предлагаю рассмотреть следующий пример - в системе три уравнения - три неизвестных, изначально мы нечего не можем сказать о числе решений, давайте приведем данную систему к ступенчатому виду. Для этого, как мы делали прошлый раз, запишем матрицу из коэффициентов и будем добиваться постепенных нулей, чтобы наша матрица имела ступенчатый вид. Для этого из второго уравнения вычитаем первое, а из третьего вычитаем два первых. Это обеспечит нам нули под ведущим элементом первой строки. После данных преобразований получаем вот такую систему. Итак, нулей стало достаточно много, но пока система не ступенчатая, потому что под ведущим элементом второй строки стоит двойка, а нам нужен там нолик. Нолика легко добиться - из третьей строки вычитаем две вторых. Получаем вот такую матрицу. Здесь у нас возникла еще одна ситуация, которая в прошлый раз не возникала - появилась нулевая строка. По определению, в ступенчатой системе нулевой строки быть не должно, но это легко исправить. Как известно, вычеркивание нулевой строки не изменяет множество решений. Вычеркиваем - получаем ступенчатую матрицу. Давайте посмотрим какая ситуация возникает у нас здесь. Ну, во-первых, мы здесь снова получаем свободную переменную, а вот те переменные, которые соответствуют ведущим элементам матрицы (они выделены красных цветом) это переменные х1,х3, мы их назовем главными переменными, переменная х2 – свободная, а х1,х3 - главные переменные. х3 равняется нулю, что следует из последнего уравнения, а переменную х1 выразим через свободную и снова получаем подобную ситуацию. Если мы свободной переменной предадим произвольное значение, то для каждого такого значения мы получим свою тройку чисел. Опять предлагаю переменную х2 обозначить через С, т. е. предать переменной х2 произвольное значение С, тогда х1 =1-С, х2=С, а х3=0. Получаем множество указанных троек, где С произвольное число.

Рассмотрим другой пример. Увеличим число переменных, а именно сделаем, чтобы их было четыре. По-прежнему у нас 3 уравнения, но в системе четыре переменных. Обращаю внимание, что первое уравнение у нас содержит три переменных, а второе и третье – четыре, поэтому, когда мы будем переходить к записи матрицы, мы должны первое уравнение немножко исправить. Конечно, мы так не будем делать всегда — это делается устно, но здесь я вам привел слайд, в котором в первом уравнении добавлено слагаемое – 0*х4, поэтому в соответствующем матрице в нужном месте мы ставим нолик, ну а дальше идем по тому же самому пути - приводим матрицу к ступенчатому виду. Итак, ведущий элемент первой строки мы выделили. Добиваемся нулей под этим элементом, пополняем уже знакомое преобразование и вычисляем. Итак, из второй строки мы вычли первую, а из третьей две первых. После этого можно заметить, что вторая и третья строчки пропорциональны, и чтобы получить ступенчатую систему в начале из третьей строки вычтем три вторых. После этого снова получим нулевую строку вычеркиваем ее. И получаем ступенчатую систему. Ведущие элементы выделены, давайте разберемся какие же здесь переменные будут свободными, какие главными. Итак, возвращаемся к системе, т. е. строим по полученной матрице систему равносильную исходной. Переменные, которые соответствуют ведущим элементам, я снова выделяю красным цветом, значит эти переменные мы считаем главными, а остальные свободными. Итак, х1 и х4 — это главные переменные. Х2 и х3 - свободные. Далее переменная х4 опять получаются уже выражена, она равна единице. Выражаем переменную х1. Из первого уравнения получаем чему она равна, т. е. получаем выражение через свободные переменные. Здесь свободных переменных две, значит каждый из них может принимать произвольное значение. Т. е. они между собой  никак не зависят, поэтому первую переменную Х2 можно обозначить буквой С, а вторую буквой D. То есть обозначаем разными буквами. Получается следующее решение, итак, Х2 - С, Х3 - это D, Х4=1, Х1=3-С-2D. Таким образом получаем вот такое общее решение. Опять же, обращаю внимание, что С и D — это произвольные числа. Т. е. наша система имеет бесконечно много решений, которые зависят от двух чисел - от C и D. Значит множество решений можно записать указанным образом. Оно представляет собой множество четверок указанных чисел.

Идем дальше, сейчас предлагаю рассмотреть так называемую геометрическую интерпретацию для случаев, когда в системе содержатся либо линейные уравнения с двумя переменными, либо линейное уравнения с тремя переменными. Рассмотрим наиболее простой случай, когда у нас в системе 2 уравнения с двумя переменными. Напомню, что каждое линейное уравнение с двумя переменными задает на плоскости прямую при условии, что хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю. В этом случае мы можем следующим образом интерпретировать варианты решений. Я напомню, что любая система уравнений, любая, при условии, что она не нулевая, об этой оговорке я говорил раньше, так вот любая не нулевая система уравнений может иметь только три варианта, либо иметь одно решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Посмотрим, как эти варианты реализуются для данного случая. Если же две прямые, которые соответствуют нашему уравнению параллельны — значит система не имеет решений. Если же прямые будут совпадать — значит система будет иметь бесконечно много решений, и, наконец, если прямые пересекаются — значит система имеет ровно одно решение. И этим решением является общая точка данных двух прямых. Итак, все три случая здесь реализуются. Рассмотрим следующий вариант, когда нам дана система, состоящая из двух уравнений с тремя неизвестными. Опять же напомню, что линейное уравнение с тремя неизвестными задает в геометрическом пространстве плоскость, при условии, что хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю. Давайте подумаем какие здесь возможны случаи, раз у нас два уравнения — значит мы имеем две плоскости. Обозначим их α и α1. И вспомним, как две плоскости могут между собой соотноситься. Они могут быть параллельны — это означает, что общих точек у этих плоскостей нет, значит получаем, что система решений не имеет. Плоскости могут совпадать - в этом случае любая точка, полученная в плоскости, будет являться решением - система будет иметь бесконечно много решений, при этом в соответствующей ступенчатой системе мы получим две свободные переменные. Далее две плоскости могут пересекаться, при чем, как известно, плоскости могут пересекаться только по прямой, то есть если различные плоскости имеют хотя бы одну общую точку, значит у них имеется общая прямая. Снова получается случай, когда система имеет бесконечно много решений, однако в этом случае, если мы приведем данную систему к ступенчатому виду, мы уже получим одну свободную переменную, других вариантов здесь нет, то есть система из двух уравнений с тремя переменными одно решение иметь не может. И, наконец, более сложный случай, когда нам дана система с тремя уравнениями, которые зависят от трех переменных. Итак, мы имеем три плоскости. Давайте посмотрим, что получается в этом случае. Конечно же, что все три плоскости могут совпадать получается, что все три уравнения между собой у нас равносильны, значит система имеет бесконечно много решений, и в соответствующей ступенчатой системе мы получаем две свободные переменные. Теперь допустим, что из данных трех плоскостей есть две параллельных. В этом случае не важно, как себя ведет третья плоскость, общих точек здесь не будет. Раз две плоскости параллельны — значит общих решений нет. Т. е. система не совместна, теперь допустим, что плоскости есть две плоскости, которые пересекаются. Значения будут пересекаться по прямой, тогда третья плоскость может пересекать две данные по двум другим прямым, и эти прямые все могут быть друг другу параллельны. Получается такая картинка. Итак, три плоскости попарно пересекаются, образуется три прямые, которые между собой параллельны. В этом случае опять же решений не будет, т. е. не будет не одной точки, которая лежит в этих трех плоскостях одновременно, значит наша система не совместна. Также три плоскости могут пересекаться по одной прямой. В этом случае получается вот такая картинка. Тогда любая точка этой прямой является решением нашей системы, т. е. система уравнений имеет бесконечно много решений. В этом случае в соответствующей ступенчатой системе получается одна свободная переменная. И, наконец, еще один вариант, когда три линии пересечения плоскостей пересекаются в одной точке. В этом случае эта общая точка будет являться единственным решением данной системы. Итак, как видим, для данного примера реализуются все три варианта, когда система не имеет решений, имеет бесконечно много решений, и имеет ровно одно решение.