Математика. Материалы курса

Практическое занятие посвящено вычислению криволинейных интегралов. Давайте начнем.

Первое задание: вычистить криволинейный интеграл (см. видео). Сразу обращаем внимание, что есть множитель dl. Это значит, что это криволинейный интеграл 1 рода, и нам для вычисления потребуется dl. Рассмотрим, как же задана кривая? Итак, от точки (0; 0) до точки (2; 2), в декартовых координатах нам понадобится выразить y. Можно написать со знаком плюс или со знаком минус, но y на этом участке имеет знак плюс, поэтому корень из 2x. Для вычисления dl мы используем формулу: 1 плюс производная функции y по x в квадрате, умноженное на dx (см. видео).

Давайте вначале посмотрим, как вычисляется значение производной. Итак, y’ (постоянный множитель, корень из 2) умножаем на производную корня из x (единица, деленная на 2 корня из x). Давайте приведем к такому виду (см. видео).

Возвращаемся к dl. Это корень из выражения: (см. видео). Мы можем переходить к вычислению интеграл. Не забываем, когда мы вычисляем криволинейный интеграл, все время держим в своем сознании, что мы находимся на кривой. На кривой значения у вычисляется по формуле: корень из 2x, вместо dl пишем то, что мы получили (2*x плюс 1 деленное на 2x плюс 1 умноженное на dx. На картинке мы видим, что x изменяется от 0 до 2. Преобразуем выражение. Понятно, что для вычисления этого интеграла мы запишем 2x плюс 1 в степени 1/2. Под знак дифференциала внесем 2x плюс 1 с коэффициентом 1/2, x изменяется от 0 до 2. Применяем табличный интеграл от степенной функции, 1/2*(2x + 1)^3/2 умножаем на 2/3. Пределы интегрирования от 0 до 2. Сокращаем двойки, получаем коэффициент 1/3. Итак, 1/3*(5^3/2-1) = (5√5 – 1)/3. Ответ получен.

Давайте перейдём к следующей задаче. Итак, ∫x²dl. Давайте для разнообразия зададим кривую, она здесь отмечена (это часть окружности радиуса a с центром в точке O, расположенной в первой четверти). Давайте зададим ее параметрически: x=а cos t, y = a sin t, где t от 0 до π/2.

Вспоминаем по необходимости, как вычислить dl. Если кривая задана параметрически, то значение dl вычисляется по формуле: частная производная x в квадрате плюс производная y в квадрате, все умножается на t. Производная косинуса – это минус синус, но он в квадрате, это получается а²sin²t. И производная y – это аcost, возводя в квадрат, получаем а²cos²t, всё это под корнем. Замечаем тригонометрическую единицу и получаем adt.

dl вычислено, переходим к интегралу по кривой L. Не забываем, что мы находимся на кривой. В данном случае x вычисляется по формуле: а²cos²t, где t от 0 до π/2, и ещё появляется аdt (это у нас множитель dl). Дальше, а³ выносим за знак интеграла и вычисляем стандартным методом. К косинусу в квадрате применяем формулу понижения степени, это 1 + cos 2t, деленное на 2, dt, пределы интегрирования – от 0 до π/2. Так, а³/2 (это у нас множитель). Интеграл от 1 – это t, интеграл от cos 2t – это 1/2 sin 2t, пределы интегрирования от 0 до π/2. Замечаем, что второе слагаемое дает нам 0 и верхней, и в нижней точке, поэтому достаточно найти только t в точке π/2. В результате видим πа³/4. Задача решена.

Третье задание. Мы здесь встречаемся с новым обозначением, вот этот кружок на знаке интеграла (см. видео) говорит, что интегрирование ведется по замкнутому контуру в положительном направлении. Кривая является замкнутой, и сказано, что L – это контур квадрата. При положительном направлении обхода по границе область должна оказаться слева. Здесь положительное направление – это против часовой стрелки. Здесь 4 участка, поэтому мы пользуемся свойствами интеграла: это интеграл OC плюс интеграл CB плюс интеграл ВА плюс интеграл АО. Помним, что в отличие от интеграла первого рода (это уже у нас уже – второй род, по переменной y), интеграл зависит от направления интегрирования, поэтому при записи обозначений следим OC, CB, BA, AO. Нам надо вычислить каждое из этих слагаемых. Интеграл по OC: на участке OC y = 0, значит, dy (дифференциал константы) равен нулю. Значит, здесь 0! Интеграл по СB: задаем участок интегрирования CB, здесь x = 1, и y изменяется от 0 до 1. Итак, получаем определенный интеграл. Вычисляя его, видим, что y от 0 до 1 плюс 1/2 y в квадрате от 0 до 1. Итак, 1 плюс 1/2 = 3/2. Второе слагаемое нашли. Третий участок: интеграл по кривой BA. Здесь y = 1, дифференциал константа (снова равен нулю), поэтому можно сразу написать, что третье слагаемое равно 0. И последний участок: интеграл по кривой АО. Выпишем, что из себя представляет участок АО. Здесь x = 0, а y изменяется от 1 до 0. Пишем, что x равно 0, и y изменяется от 1 до 0. Пределы интегрирования: нижний – 1, верхний -0. Получаем, 1/2 y в квадрате от 1 до 0. Итак, 0 минус 1/2 равно минус 1/2. Можем перейти к вычислению ответа. Два интеграла у нас равны нулю, один равен 3/2 и последний равен -1/2. В ответе получаем 1. Задача решена.