Математика. Материалы курса

Тема этого практического занятия – дифференцирование сложной функции и дифференцирование функции, заданной неявно. Речь пойдет о функции нескольких переменных.

Давайте перейдем к решению задач. Найти все частные производные сложной функции (см. видео). z это функция переменных u и v, где каждая из этих переменных является функцией переменных x и y. Нарисуем схему соответствующую этой ситуации (см. видео): z зависит от переменных u и v, каждая из этих переменных зависит от x и y. Эти переходы соответствуют частным производным: dz/du, du/dx, если дифференцируем по x, можно писать u’_x (это одно и то же), dz/dv, dv/dx. Тогда значение частной производной dz/dx (см. видео), dz/du*du/dx это первый переход по верхним стрелкам, dz/dv*dv/dx – второй переход через переменную v.

Точно также значение частной производной по y соответствует дифференцированию, будет только на последнем этапе по y (см. видео). Чтобы выписать ответ, нам нужно знать значение всех частных производных z’_u, z’_v и частные производные функции u по x и y и функции v по x и y. Давайте найдем все эти частные производные: dz/du=1+v², dz/dv= 2uv. Значение частных производных функции u: du/dx=1/(x-y), du/dy – это та же самая производная, только умноженная на -1, мы напишем 1/(y-x), чтобы у нас было меньше знаков. Для производной функции v: dv/dx, x – это переменная в основании, тогда это степенная функция, получаем: y*x^y-1; dv/dy, – это уже показательная функция, это x^y*ln x. Давайте мы выпишем только значения частной производной dz/dx. Что мы видим? Значение dz/dx = (1+v) * 1/(x-y) + 2uvyx^y-1. Обведем то, что мы получили, и проанализируем ситуацию: dz/dy находится абсолютно аналогично, все значения выписаны. Посмотрите, что получилось: частная производная z’_x содержит уже четыре переменные, это не очень хорошо. В чем дело? Как поправить ситуацию: вообще лучше всего дописать «где u=ln (x-u), v=x^y». В реальности мы, оказывается, получили опять сложную функцию двух переменных x и y.

Перейдем к решению следующей задачи (см. видео). Посмотрите, что мы видим: f является, вообще говоря, функцией двух переменных, здесь они не введены, а мы напишем обозначение, потому что, как иначе мы можем дифференцировать? Проще всего взять и сказать, что задача может быть сформулирована немножко иначе: z=f(u, v), где u=2x-1, а v= sin²x, можно знак системы писать, можно через запятую, в общем-то, это не обязательно. Давайте нарисуем диаграмму: z зависит от u и v, которые в свою очередь зависят только от одной переменной x. Давайте здесь запишем со штрихами (см. видео): z’_u, z’_v или, если у нас есть функция f, можно написать f’_u, f’_v в той же самой точке. А вот здесь переход, посмотрите (см. видео): u и v - функции одной переменной x, поэтому здесь появляется u’ и v’. Здесь нет частных производных. Если бы мы использовали буквы d мы бы написали «u’=du/dx», и буквы d мы использовали бы такие. Что же мы видим: z’, если эта функция переменной x давайте вот так напишем это: f’_u*u’+f’_v*v’. Что же мы видим? Давайте напишем окончательный ответ: z’= f’_u*u’+f’_v*v’= f’_u(u, v)*2+f’_v(u, v)*v’, где v’= 2sin(x)cos(x)=sin(2x). Все-таки в задаче у нас не было сказано ни про какие u и v, поэтому чтобы и ответ соответствовал заданию, мы напишем «где u=2*x-1, v=sin²(x)». Задача решена.

Сейчас мы поговорим с вами и порешаем задачи о функции, заданной неявно, о дифференцировании такой функции. Функции и в том, и в другом случае (см. видео), мы видим, одна и та же. z выразить через x и y здесь не представляется возможным, так что эта зависимость z от x и y - это неявная зависимость. Давайте проверим, что точка (2; 1; 0) удовлетворяет. Если мы подставим вместо x – 2, вместо y – 1 вместо z – 0, получаем: 1+2=3 – верно, так что множество точек пространства не пусто, поверхность какая-то есть - множество точек пространства. Давайте сейчас разбираться по порядку.

Первое задание: найти значение, вернее, просто частные производные функции, заданной неявно.

Первая из этих задач (см. видео). Во-первых, мы помним, что при дифференцировании мы приводили уравнение к такому виду (см. видео), поэтому мы перенесем все в левую часть и скажем, что функция трех переменных имеет вот такой вид (см. видео). Осталось вспомнить формулы: z’_x= -F’_x/F’_z, и z’_y= -F’_y/F’_z, это формулы – значение частных производных функции, заданной неявно. Все, что нам нужно знать – это частные производные функции F по каждой из переменной x, y, z. F’_x, я не буду переписывать переменные: в этом случае F – это уже функция трех переменных, и x, y, z в этой записи совершенно равносильны, равноценны, каждый из переменных является независимой. При дифференцировании по x первое слагаемое обращается в константу, и y тоже константа, поэтому по x это y. F’_y смотрим, только третье слагаемое содержит переменную y и частная производная равняется x. F’_z = e^z – 1. Осталось применить формулу: z’_x – делим F’_x на F’_z и знак минус, чтобы не писать минус перед дробью, мы сразу его к знаменателю отправим, и будет 1-e^z (см. видео); z’_y это x деленое на то же самое значение, еще знак минус и получается: x/(1-e^z). Задание выполнено.

Давайте перейдём к следующей задаче. Нам нужно найти уравнение касательной плоскости к этой поверхности (см. видео). Давайте вспомним, как определяется. Мы скажем, что это точка P₀. Значение частной производной функции F в точке P₀ это F’_x(P₀), F’_x(P₀)( x-x₀) + F’_y(P₀)(y-y₀) + F’_z(P₀)(z-z₀) = 0. Координаты x₀, y₀, z₀ известны, а значение частных производных нужно найти. Для какой функции мы только что это делали: для функции F(x, y, z) это е^z-z+xy-3. Только что мы с вами выясняли, что значение частной производной по x, в точке P₀ нам надо будет находить. Надо все-таки нам вернуться к задаче: по x это y, по y это x и по z это е^z – 1. Вот эти значения мы будем использовать: F’_x(P₀) = y, F’_y(P₀) = x, F’_z(P₀) = e^z - 1, в принципе можно было сразу писать, не сложно найти. Здесь мы будем находить значение производных в точке P₀, значит, подставлять будем координаты (2, 1, 0): y=1, тогда F’_x(P₀) = 1; в точке P₀ x=2, тогда F’_y(P₀) = 2; z=0, далее считаем и получаем F’_z(P₀) = 0. Осталось написать уравнение плоскости. Первый коэффициент равен 1, поэтому остается только (x-x₀), x₀ это 2 и получаем (x-2), первое слагаемое записали, + 2*(y-1), производная по y=2, y₀=1 и последнее слагаемое будет равно 0, поэтому ничего не пишем и приравниваем к 0. Раскрываем скобки: x+2y-4=0. Уравнение касательной плоскости получено.