Практическое занятие 2. Исследование свойств функций по определению
Наше практическое занятие мы посвятим вычислению частных производных.
Для решения заданий нам необходимо уметь дифференцировать функцию одной переменной, знать таблицу производных и правила дифференцирования.
Итак, первое задание, найти частную производную fх’(1, 2) функции f(x,y)=x2+2xy-y по определению.
Производная функции в точке x0 (по определению) - это предел отношения частного приращения по переменной х функции f(x0) на приращение аргумента Δх, при Δх->0.
В задаче нужно найти предел (Δх f(1, 2)) / Δх, при Δх->0.
Вычислим в начале числитель Δхf(1, 2). Частное приращение – это изменение значений функции при изменении только одной переменной х. В ходе рассуждения получаем, Δхf(1, 2)=f(1+Δх) - f(1,2)=(1+ Δх)2+4(1+ Δх)-5= Δх(6+Δх). После подстановки преобразованного выражения в искомый предел, устанавливаем, что при Δх->0, предел равен 6. Проверим, правильно ли решена задача. Частная производная fх’(х, у)=2х+2у, fх’(1, 2)=6. Решение верное.
Понятно, что при решении задач на нахождение частной производной, вычисление пределов это не самый эффективный путь решения, лучше использовать приемы более быстрые и удобные.
Перейдем к решению следующие задачи. Найдём все частные производные первого порядка в функции z=x^y^x,то есть zx’, zy’.
Начнём с производной zx’. Показателем здесь служит ух, заметим, что переменная х встречается как в основании, так и в показателе степени. Для нахождения производной воспользуемся приемом дифференцирования степенно-показательной функции (см видео).
Разберёмся с производной zу’. Переменная у встречается только в показателе, следовательно, это показательная функция. Заметем, что z - это сложная функция, поэтому не забудем результат умножить на производную ух по у, для вычисления применяем правила дифференцирования степенной функции (см видео).
Найдём частные производные второго порядка функции z=x^y. На первом этапе задание совершенно несложное, zx’=ух^(у-1), zy’= x^y*ln x. Итак, чтобы найти частные производные второго порядка, мы должны найти четыре производные zxх’’, zxу’’, zух’’, zуу’’. Получим две чистые частные производные и две смешанные. Если сравним ответы, то замети, что смешанные производные оказались равными, это подтверждается выводами теоремы о равенстве смешанных производных.
Теперь найдём все частные производные третьего порядка для функции z=sin(2x-3y). Убедимся, что из всех производных третьего порядка предложенной функции, можно выделить четыре различных. Так, для решения задания достаточно найти две чистые производные zxхх’’’ и zууу’’’ и две смешанные производные zxху’’’ и zуух’’’ (см видео).
Все задания решены.