Математика. Материалы курса

Наше практическое занятие мы посвятим вычислению частных производных.

Для решения заданий нам необходимо уметь дифференцировать функцию одной переменной, знать таблицу производных и правила дифференцирования.

Итак, первое задание, найти частную производную f_х’(1, 2) функции f(x,y)=x²+2xy-y по определению.

Производная функции в точке x₀ (по определению) -  это предел отношения частного приращения по переменной х функции f(x₀) на приращение аргумента Δх, при Δх->0.

В задаче нужно найти предел (Δх f(1, 2)) / Δх, при Δх->0.

Вычислим в начале числитель Δхf(1, 2). Частное приращение – это изменение значений функции при изменении только одной переменной х. В ходе рассуждения получаем, Δхf(1, 2)=f(1+Δх) - f(1,2)=(1+ Δх)2+4(1+ Δх)-5= Δх(6+Δх). После подстановки преобразованного выражения в искомый предел, устанавливаем, что при Δх->0, предел равен 6. Проверим, правильно ли решена задача. Частная производная f_х’(х, у)=2х+2у, f_х’(1, 2)=6. Решение верное.

Понятно, что при решении задач на нахождение частной производной, вычисление пределов это не самый эффективный путь решения, лучше использовать приемы более быстрые и удобные.

Перейдем к решению следующие задачи. Найдём все частные производные первого порядка в функции z=x^y^x,то есть z_x’, z_y’.

Начнём с производной z_x’. Показателем здесь служит у^х, заметим, что переменная х встречается как в основании, так и в показателе степени. Для нахождения производной воспользуемся приемом дифференцирования степенно-показательной функции (см видео).

Разберёмся с производной z_у’. Переменная у встречается только в показателе, следовательно, это показательная функция. Заметем, что z - это сложная функция, поэтому не забудем результат умножить на производную у^х по у, для вычисления применяем правила дифференцирования степенной функции (см видео).

Найдём частные производные второго порядка функции z=x^y. На первом этапе задание совершенно несложное, z_x’=ух^(у-1), z_y’= x^y*ln x. Итак, чтобы найти частные производные второго порядка, мы должны найти четыре производные z_xх’’, z_xу’’, z_ух’’, z_уу’’. Получим две чистые частные производные и две смешанные. Если сравним ответы, то замети, что смешанные производные оказались равными, это подтверждается выводами теоремы о равенстве смешанных производных.

Теперь найдём все частные производные третьего порядка для функции z=sin(2x-3y). Убедимся, что из всех производных третьего порядка предложенной функции, можно выделить четыре различных. Так, для решения задания достаточно найти две чистые производные z_xхх’’’ и z_ууу’’’ и две смешанные производные z_xху’’’ и z_уух’’’ (см видео).

Все задания решены.