Математика. Материалы курса

Речь в этой лекции пойдет о дифференцируемости функции двух переменных. Если мы вспомним функцию одной переменной, то понятия «существование конечной производной в точке» и «существование дифференциала» («дифференцируемость») совпадали. Оказывается, в случае функции двух переменных эти понятия различаются. Давайте разберемся.

Пусть функция двух переменных задана в некоторой окрестности точки M₀ с координатами x₀ и y₀. Придадим переменным приращение Δx, Δy, и функция в результате получит полное приращение.

Определение дифференцируемости. Функции называется дифференцируемой в точке M₀, если ее приращение в этой точке представимо виде (см. на видео). Помним, что Δx, Δy – это переменные в этом случае, (x₀, y₀) – фиксированная точка, и в результате выражение A*Δx+B*Δy, где A и B числа, оказывается линейным выражением. Еще два слагаемые – это бесконечно малые величины при Δx, Δy стремящихся к нулю.

Главной линейная часть приращения функции A*Δx+B*Δy называется дифференциалом функции f в точке (x₀, y₀). Давайте запишем. Дифференциал имеет вид в соответствии с определением (см. на видео). Для вычисления дифференциала нам конечно лучше вывести его формулы, знать, чему равны числа A и B. Давайте попробуем это сделать по порядку.

Запишем полное превращение, обозначим его звёздочкой, а сейчас будем считать, что Δy – приращение переменной y – равно нулю, тогда Δf становится частным приращением по переменной x, изменяется только координата x. Равенство звездочка приобретает вид (см. на видео).

Попробуем вычислить предел отношения приращения функции частного по переменный x к приращению аргумента. Подставляя полученное выражение для частного приращения, очень просто вычисляется предел, мы получаем число A, но вычисленный предел – это есть не что иное, как частные производные функции f по переменной x в точке (x₀ y₀). Значение A получено.

Дальше в равенстве звездочка предположим, что Δx равно нулю. То есть изменяется только переменные y, значит, приращение становится частным приращением по переменной y и оно имеет вид (см. на видео). Снова вычисляем предел отношения приращения функции по переменной y к превращению Δy и видим, что это значение равно B. Число B тоже найдено.

Следующий этап. Мы можем записать дифференциал функции уже немного иначе. Но, а сейчас все-таки наша задача еще изменить Δx и Δy для унификации формулы. Давайте рассмотрим функцию двух переменных, равную x. Смотрите, дифференциал этой функции в любой точке оказывается равен Δx. Дифференциал функции (то есть дифференциал x) – это Δx.

Совершенно аналогично рассуждаем для функции двух переменной, принимающей значение y, мы получаем dy равно Δy. В результате формула дифференциала приобрела окончательный вид (см. на видео). На практике мы иногда записываем иначе (см. на видео). Посмотрите можно писать dz =z'_x dx + z'_ydy, два слагаемых: первое связано с переменной x, мы его называем частным дифференциалом по переменной x. Второе слагаемое связано с переменной y, мы его называем частным дифференциалом функции z по переменной y. Несложно проверить, что для дифференциала функции двух переменных выполнены знакомые нам свойства (см. на видео). Попробуйте установить справедливость этих формул.

А сейчас давайте попробуем найти дифференциал функции, пользуясь только свойствами. Начинаем. Найдем дифференциал sin (5x+x*y). Sin – это функция одной переменной, для нее имеет место свойство инвариантности дифференциала, поэтому производная sin равна - cos в той же точке, умноженная на дифференциал внутренней функции. Дальше вычисляем дифференциал, как дифференциал суммы двух функций. В первом слагаемом 5 можно вынести за знак дифференциала, как постоянный множитель. Во втором слагаемом мы пользуемся формулой дифференциала произведения. Посмотрите, что получаем (см. на видео). Дальше мы раскроем скобки, сгруппируем слагаемые, содержащие dx, и слагаемые, содержащие dy. Посмотрите, что мы в результате получаем (см. на видео). Дифференциал получен.

Давайте вспомним формулу, которую мы изначально вывели, формулу дифференциала. Посмотрите, не находя частных производных по переменной x, по переменной y, мы можем выписать их значения. Это множители перед dx и перед dy. Конечно, в реальности мы будем находить дифференциал именно по этой формуле.

Вычислим частные производные по переменным x и y. Подставим в формулу дифференциала, но посмотрите, возможен и обратный ход. Найти дифференциал, а потом, зная дифференциал, выписать частные производные.

Дифференциалы второго и более высокого порядка определяются по индукции, то есть дифференциал второго порядка – это дифференциал от дифференциала и так далее. В чем тут проблема при вычислении дифференциала от дифференциала? Здесь есть переменная dx, dy, а кроме того, z' по x и z' по y – это функции переменных x и y. Вычисляем дифференциал, считая, что dx и dy – приращения переменных x и y –принимают те же самые значения, то есть константы. Поэтому, пользуясь свойством линейности дифференциала, мы dx и dy выносим как множители, а дальше вместо дифференциалов пишем по формулам, те выражения, которым они равны: дифференциал функции z' по x , дифференциал z' по y. Дальше раскрываем скобки и группируем слагаемые, предполагая, что смешанные производные z'' по x, y и z'' по y, x равны. Это возникает, когда смешанные производные непрерывны, чаще всего мы будем иметь дело, конечно, с такими функциями. Формула дифференциала второго порядка получена (см. на видео).

Еще один вопрос, которого мы сегодня тоже коснемся. Это понятие касательной плоскости и нормали к поверхности. Пусть снова функция двух переменных определена в некоторой окрестности точки M₀, и P₀ – это соответствующая точка графика функции. Итак, что же такое касательная плоскость? Это такая плоскость α, здесь она построена на рисунке (см. на видео), в которой расположены все касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности через точку P₀.

Нормаль определяется также, как и в случае нормали к касательной для функции одной переменной. Это прямая, проведенная перпендикулярно в этом случае к касательной плоскости через точку касания.

Как же получить уравнение касательной плоскости? Пусть функция дифференцируема. По определению приращение функции представимо в виде (см. на видео), где A и B, мы помним, это значения частных производных по переменным x, y в точке (x₀, y₀). Давайте запишем приращения Δx, Δy, Δz как разности x - x₀ , y - y₀, z - z₀, где (x, y, z) – это произвольная точка на поверхности. Тогда мы получаем следующее равенство (см. на видео). Посмотрите, если мы уберем последнее слагаемое, то мы получаем уравнение плоскости. При стремлении Δx, Δy к нулю точки поверхности и точки плоскости становятся сколь угодно близкими. Это и есть уравнение касательной плоскости к данной поверхности (см. на видео).

Так как же описать нормаль? Мы немножко опережаем наш курс математики, поэтому давайте для справки мы примем такую информацию. Плоскость задается следующим уравнением (см. на видео), где A, B, C одновременно не равны 0. Вектор, координаты которого имеют вид (A, B, C), где A, B, C коэффициенты перед переменными, является вектором нормали, то есть перпендикулярен данной плоскости. В этом случае коэффициенты перед x, y, z, если мы приведем уравнение касательной плоскости к указанному виду, и есть координаты вектора нормали. Посмотрите, чему они равны (см. на видео). Проверьте, что так оно и есть на самом деле. Ну и тогда по аналогии с уравнением нормали для функции одной переменной, обобщением для трехмерного пространства служит уравнение нормали к поверхности в точке касания. На что мы обращаем внимание? Конечно этим уравнением мы можем пользоваться, если значения частных производных не нули. Как поступить, если знаменатель вдруг оказывается нулем? В этом случае проще всего перейти к уравнению в параметрическом виде (см. на видео). Запишем, что все эти дроби равны, и принимают значение t. Вводим параметр t. И в этом случае из трех равенств (каждая из частей равна t), мы легко получаем x, y, z, которые зависят от параметра t. В этом случае частные производные могут быть равными нулю.