Математика. Материалы курса

В этой лекции речь пойдет снова в интегралах. Мы уже знаем, интеграл бывает неопределенным, бывает определенным. Сегодня появляется новый термин «интеграл несобственный». С чем же он связан?

Ну, во-первых, мы будем рассматривать интегралы первого и второго рода. Если мы вспомним понятие определенного интеграла, то оно связано с вычислением интеграла от ограниченной функции, обязательно заданной на отрезке от [a, b]. А несобственный интеграл 1 рода, посмотрите, он связан с вычислением интеграла от функции, заданной на неограниченных промежутках, на луче [а, + ∞), (-∞, a] или на всей числовой прямой.

Давайте первый случай рассмотрим поподробнее. Начнем. Итак, пусть функция у=f(х) задана на промежутке [а, +∞). Будем считать, что на любом отрезке [a, r], где r ≥ а, интеграл существует и равен Ф(r). Получается, это функция верхнего предела r. Итак, каждому значению r от а до + ∞ ставится в соответствие число Ф(r). Тогда несобственный интеграл функции f на промежутке [а, +∞) – это предел этой функции. Таково определение. При х, стремящемся к плюс бесконечности. Итак, несобственным интегралом называется предел интеграла от а до r функции f при стремлении r к плюс бесконечности. При вычислении предела мы можем получить число в ответе, ну и, если не число, то либо бесконечность, либо не существует. Так вот, интеграл несобственный, мы говорим, сходится, если предел конечен, и расходится, если значение предела бесконечность, или он не существует. Так, про несобственные интегралы мы говорим, они сходятся или расходятся.

Каков геометрический смысл? Если функция f (x) неотрицательна, то что такое Ф(r)? Это площадь криволинейной трапеции, заданной функцией на отрезке [a, r]. Тогда в пределе мы получаем несобственный интеграл на промежутке [а, +∞). Это площадь неограниченной криволинейной трапеции, которая задана непрерывной функцией на промежутке [а, +∞).

Так как же мы будем вычислять? Давайте установим, что для несобственных интегралов оказывается также применима формула Ньютона-Лейбница. Пусть производная функции F равна f, то есть F – это первообразная. Применяя формулу Ньютона-Лейбница на отрезке от а до r, мы видим, что выполняется следующее равенство. Давайте посмотрим, к чему же приведет эта формула при вычислении несобственного интеграла. Итак, нам придется вычислить предел от разности f(r) - f(а). f(a) – это число, значит, все дело в вычислении предела функции f на плюс бесконечности. Будем обозначать этот предел f от плюс бесконечности, то тогда, пользуясь принятой символикой, мы запишем, что несобственный интеграл равен F(x), вертикальные черта с индексами а и плюс бесконечность.

Давайте рассмотрим пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл. Ну и, конечно, если интеграл сходится, то логично найти значение этого несобственного интеграла. Итак, dx, деленное на x в степени α. Ну, во-первых, мы видим, что при разных значения α формула в таблице интегралов будет отличаться. Поэтому первый случай. Мы рассмотрим α=1. Вычисляя по формуле Ньютона-Лейбница, мы видим, это логарифм x, вертикальная черта, от единицы до плюс бесконечности. Итак, логарифм от плюс бесконечности минус логарифм от единицы. Как вычислить предел на плюс бесконечности логарифма? По графику, конечно. Итак, если переменная стремится в плюс бесконечность, то значение логарифма стремится тоже в плюс бесконечность. Итак, мы получаем плюс бесконечность – 0. В ответе – плюс бесконечность, интеграл расходится.

Второй случай. α – это не единица. В этом случае мы должны воспользоваться табличным интегралом для степенной функции. Так. Записываем и получаем следующий предел. Итак, вычислить предел х в степени 1-α на плюс бесконечности. Попробуем это сделать. Итак, сделаем замену: 1-α обозначим β. Мы получаем предел степенной функции. Степенная функция в зависимости от показателя β имеет разный вид. Посмотрите, если значения β положительны, тут три типа β: β<1, β=1 или β>1. В любом случае предел этой функции на плюс бесконечности равен плюс бесконечности. А вот если β меньше единицы, то предел на плюс бесконечности равен 0. Поэтому мы пишем 0. Возвращаясь к α, когда α больше единицы, и плюс бесконечность, если α-1. Итак, мы можем вернуться к вычислению несобственного интеграла. Что мы видим? Если α>1, указанный предел равен 0. И мы видим: значение интеграла равно 1/(α-1), интеграл сходится. А вот если меньше 1, то мы получаем ответ, соответственно, плюс бесконечность. Общий предел равен плюс бесконечности, интеграл расходится. Итак, получаем вывод: объединяя значения α =1, интеграл расходится. Вывод касается двух случаев: α>1 – интеграл сходится. Ответ мы видим. Если α≤1, то несобственный интеграл расходится.

Логично для второго случая на промежутке (-∞, а] несобственный интеграл определить аналогичным образом. Вычислять его мы точно так же будем по формуле Ньютона-Лейбница. Абсолютно аналогично.

А вот случай (-∞, +∞). Итак, а – это произвольная точка числовой прямой. Мы скажем, что данный интеграл сходится тогда и только тогда, по определению, когда сходятся оба интеграла. Если хотя бы один из них расходится, то и интеграл третьего типа тоже расходится. Ну вот как-то мы выбрали произвольно а. А вдруг с другим значением а значение интеграла изменится? Давайте, скажем, возьмем другое значение b. Итак, с одной стороны вычисления интеграла эта сумма двух когда конец а используется и, второй случай, когда один из пределов интегрирования равен b. Ну для определенности а и b связаны неравенством: а < b. Итак, почему же эти два значения совпадают? Посмотрите, в первом интеграле промежуток [a, +∞) разобьем на части: [а, b] и [b, +∞). А для второго интеграла промежуток (-∞, b] разобьем на две части: (-∞, b] и [a, b]. Мы видим, что записи для каждого из интегралов в правой части – это суммы трех абсолютно одинаковых интегралов. Итак, интеграл не зависит от выбора точки а.

Вот очень любопытный интеграл третьего типа. Исследовать на сходимость несобственный интеграл. Здесь подынтегральная функция y = 1/х². Тоже одна из интересных кривых, которая имеет свое название Локон Аньези. Она давным-давно известна. Используется в приложениях. Итак, нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной Локоном Аньези и осью Оx. Нам кажется странным, как неограниченная фигура может иметь конечную площадь. Но вот в теории это на самом деле так и есть. И такое бывает. Так. Во-первых, разобьем на два интеграла с концами в точке 0: (-∞, 0], [0, +∞). Это табличные интегралы. Мы получаем арктангенс на промежутке [1, +∞). Вспоминая график арктангенса (он имеет горизонтальные асимптоты на плюс бесконечности), это y = π/2. Это именно предел функции арктангенс на плюс бесконечности. Арктангенс единицы – это π/4, и мы получаем значение первого слагаемого – π/4. Не составит труда вычислить второй интеграл. Тоже π/4. В результате данный интеграл равен π/2, сходится. Ну и это означает, что неограниченная трапеции имеет конечную площадь, примерно полторы квадратных единицы.