Математика. Материалы курса

Наше занятие посвящено вычислению неопределенного интеграла. Есть такой метод, общий метод: метод подстановки или замены переменной. К этому методу относится прием, который мы называем внесение функции под знак дифференциала.

Что мы имеем в виду? Представьте, что под знаком интеграла есть какое-то выражение, мы написали R(f(x)). Что это значит? Это некоторое выражение, где в качестве аргумента выступает функция f(x). И еще отдельно множителем во всем подынтегральном выражении стоит производная этой функции – f‘(x). Вот очень важно уметь это заметить.

Что же мы делаем? Мы вводим новую переменную f(x), и тогда f‘(x)dx – это дифференциал этой новой переменной. Посмотрите: вид интеграла становится намного проще, и мы для него применяем уже какие-то новые методы.

Цель такого преобразования упростить, конечно, свести этот интеграл или к дробно-рациональной функции, или к какому-то типу интегралов, которые мы уже научились решать.

Давайте посмотрим на примерах. А вообще я вам могу открыть небольшой секрет: как научиться вычислять интеграл, что для этого нужно знать? Знать нужно таблицы – таблицу производных и таблицу интегралов. Потому что вычисление интегралов не связано с поиском информации, вычисление интегралов связано с применением знания этих таблиц. Мы должны увидеть, что есть функция и ее производная. Нет задачи найти производную. Вы должны просто увидеть эту пару: функцию и ее производную. Это очень важный момент.

Давайте рассмотрим первый пример: вот задача. Как это увидеть? Смотрите: здесь есть функция – натуральный логарифм x, и есть множитель – единица, деленная на x. Здесь он не выделен как множитель, и который является производной натурального логарифма. Вот что должен выхватить ваш ум.

Так, давайте посмотрим. Итак, записали: первый множитель содержит функцию логарифм х, второй множитель – это производная логарифма x, значит, в качестве переменной t мы берем логарифм x, и тогда, посмотрите, как преобразуется интеграл. Его вид становится гораздо проще. Это уже практически табличный интеграл. Вычисляем интеграл от единицы – это t, от t^2 – это 1/3 t ^3 плюс c (не забываем!) и, конечно, возвращаемся к переменной x, t это логарифм x. Вот окончательный ответ.

Давайте рассмотрим следующий пример. Видите, какие-то преобразования здесь практически невозможны. Какой тип этого интеграла? Мы должны заметить (что мы видим?) явно функцию арксинус. Но здесь же есть и производная этой функции. Достаточно преобразовать подынтегральное выражение следующим образом. Итак, второй множитель здесь – это как раз и есть производная арксинуса, значит, мы в качестве t берем арксинус x. И все! Интеграл преобразуется к простейшему виду: корень из t, сразу пишем – это t в степени ½. Табличный интеграл от степенной функции. Применяем формулу, возвращаемся к арксинусу x, t не забываем. Легко записать, конечно, в виде корня. Все! Ответ получен.

Особый случай: если у вас под интегралом находится функция переменной е в степени x и больше, может быть, даже ничего и нет, а дальше dx. Посмотрите, как легко свести к предыдущему случаю: мы можем разделить на е в степени x и умножить на е в степени x, и тогда в качестве t мы берем е в степени x. Интеграл преобразуется к новому к новому виду, где уже показательной функции и вовсе нет, и задача, возможно, станет гораздо проще.

Давайте разберем на примере. Вот dx, деленное на е в степени x минус 1. Вроде бы простой интеграл, но он не является табличным. Как к нему подступиться? В общем-то и преобразовывать-то тут нечего. Все довольно просто. Но мы видим, что подынтегральная функция – это функция, зависящая от е в степени x. Что мы делаем? Разделим на е в степени x и умножим на е в степени x. Если бы множитель е в степени x был, мы даже этого бы не стали делать, а мы бы сразу написали, что t – это е в степени x, тогда dt – это е в степени x, умноженное на dt. Переходим к новой переменной t. Мы получаем интеграл от дробно-рациональной функции.

Разные способы есть вычисления этого интеграла. Давайте выполним вычисление с помощью тождественных преобразований. Как мы поступим? В числителе вместо единицы напишем единица минус t плюс t и дальше поделим почленно числитель на знаменатель. Единица минус t делим на знаменатель, получаем минус единица на t и второе слагаемое делим, сокращая на t, получаем дробь: единица, деленная на t минус 1. Дальше это практически табличные интегралы. Первый – просто табличный, а у второго под знак дифференциала вместо t мы вносим t минус 1. Все! Применяем табличный интеграл, это натуральный логарифм модуля t, дальше возвращаемся к переменной x и выполняем несложные преобразования. Ответ получен.