Математика. Материалы курса

    

Неопределенный интеграл: методы интегрирования.

Лекция посвящена методам вычисления неопределенного интеграла. Мы рассмотрим три основных метода: первый - это непосредственно интегрирование, второй - метод подстановки или замены переменной и третий - это метод интегрирования по частям. Остановимся на каждом из этих методов подробнее.

Тождественные преобразования - это первая часть, с чего мы начинаем непосредственно интегрирование. Затем мы используем свойства неопределенного интеграла и таблицы интегралов.

Давайте рассмотрим такой пример - вычислить неопределенный интеграл. На что мы обращаем внимание? Что такого интеграла нет среди табличных, поэтому попробуем использовать метод непосредственного интегрирования. Для этого преобразуем подынтегральную функцию, поделив каждое слагаемое числителя на знаменатель и получаем подынтегральная функции - это сумма трех функций и далее мы применяем свойства неопределенного интеграла – свойство линейности. Мы получаем линейную комбинацию интегралов от табличных функций. Остается применить эти формулы. Не забываем написать в конце +С, поскольку ответом служит семейства всех первообразных.

Рассмотрим второй пример, связанный с тригонометрической функции - интеграл от tg^2(x). У нас такого табличного интеграла нет. Для вычисления интеграла выполним тождественные преобразования – во-первых, заменим tg^2(x) на частное sin^2(x)/cos^2(x). Числитель sin^2(x) преобразуем, используя основное тригонометрическое тождество, ну, и дальше опять делим почленно числитель на знаменатель. После этого подставляем вместо tg^2(x) полученное выражение, применяем свойства неопределенного интеграла и глядим в таблицу интегралов. Не забываем написать +С. Ответ получен.

Переходим ко второму методу - метод подстановки или метод замены переменной. Это свойство неопределенного интеграла опирается на свойства инвариантности. Слово это происходит от латинского invariantis, что означает неизменность, независимость от чего-либо.

Так это свойство формулируется следующим образом: если вам известна одна из форм (из формул) неопределенного интеграла, то ее можно использовать, заменяя подынтегральную функцию, и ответ, и независимую переменную на всех местах, обратите внимание, на любое другое выражение, содержащее одну переменную.

Итак, формула неопределенного интеграла остается неизменной, зависимая переменная или независимая переменная в этом интеграле находится.

В этой теореме запишем условие: дан интеграл от функции f(x). Он равен F(x)+c. Помним, что это равносильно тому,  что производная функции F(x) равняется f(x). Требуется доказать, что формула справедлива, если вместо переменной x мы подставим новое выражению u. По свойствам неопределенного интеграла это равносильно тому, что дифференциал F(u) равен подынтегральному выражению в левой части. Перейдем к доказательству. Вычислим дифференциал F(u). По формуле дифференциала это производная этой функции, умноженная на дифференциал независимой переменной. Помним, что u - это функция переменной от x. Дальше используем формулу производной сложной функции и получаем записаное здесь последнее выражение. Помним, что F’(u) - это f(u) и по формуле дифференциала u’dx – это дифференциал функции u. В результате мы получаем f(u)du - подынтегральное выражение. Формула доказана.

Этот метод реализуется двумя способами: введением или без введения новой переменной.

Давайте рассмотрим первый способ без замены переменной. При этом мы используем формулу дифференциала функции и прием внесения функций под знак дифференциала, по сути, мы используем эту же формулу в обратном порядке - записываем вначале правую часть, потом левую. И мы говорим, что функция f(x) внесена под знак дифференциала. Кроме того, мы используем простейшие свойства дифференциала функции. Мы их помним из курса дифференциального исчисления.

Пример внесения функций под знак дифференциала.

Например, dx. Если мы умножим на ½, умножим на 2, и затем внесем 2 под знак дифференциала, и затем прибавим константу под знаком дифференциала, оказывается dx можно заменить на дифференциал линейным выражением 2x+3. Функция 2x+3 оказалась внесена под знак дифференциала.

Другой пример – cos(x)dx.

Cos(x) это производная sin(x) (cos(x)=sin’(x)), значит функция sin(x) может быть внесена под знак дифференциала. Посмотрим, как это используется при решении примеров.

Вычислим неопределенный интеграл от cos(2x+3). Только что мы рассмотрели, как выражение 2x+3 вносится под знак дифференциала. Используем это знание. Тогда интеграл приобретает новый вид. 1/2 можно вынести за знак интеграла - постоянный множитель и дальше используем свойства инвариантности неопределенного интеграла. В результате - это табличный интеграл, только под знаком интеграла (под знаком синуса) находится выражение 2x+3, плюс c – произвольные постоянные.

Второй способ - это замена переменной. В этом случае новое выражение заменяется некоторой переменной, обычно используется u, t, z и так далее. Мы видим, что интеграл был бы табличным, если вместо 2x+3 было бы x. Мы и обозначим это выражение новой буквой t. Итак, новая переменная это t=2x+3. Для того чтобы воспользоваться методом замены переменной мы выразим переменную x из этого выражения, x становится функцией переменной t, и вычислим дифференциал этой функции по формуле дифференциала - производная, умноженная на dt. Видим, что dx это 1/2dt. Выполним замену переменой, обращаем внимание, что под интегралом находится только одна переменная t. Затем выносим ½ за знак неопределенного интеграла, получаем табличный интеграл. Вычисляем его. И следующий важный шаг, обращаем внимание, что ответ должен содержать ту же самую первоначальную переменную x, которая была дана в задании, поэтому t заменяем на 2x+3 и получаем ответ.

Второй пример.

Неопределенный интеграл от xcos(x^2).

1 способ – внесение. Используем внесение функции под знак дифференциала. Мы замечаем, что x это производная функции x^2 с коэффициентом 1/2, значит функция x^2 может быть внесена под знак дифференциала. Итак, xdx это 1/2 дифференциала от x^2. Выполняем внесение под знак дифференциала, выносим 1/2 за знак интеграла и получаем табличный интеграл. Пишем ответ.

Рассмотрим решение этого примера вторым способом с помощью замены переменной.

Заменим x^2 на новую переменную t. Для того чтобы осуществить замены x и dx, мы должны выразить x и вычислить dx. Итак, x - это корень из t, dx - это дифференциал функции корень из t.

Вычисляем и получаем это dt деленное на 2 корня из t. Делаем замены, выполняем преобразование, выносим 1/2 за знак интеграла, получаем табличный интеграл. Не забываем вернуться к первоначальной переменной x. И получаем окончательный ответ.

Переходим к третьему методу – метод интегрирования по частям.

Эта важная теорема формулируется следующим образом: если существует неопределенный интеграл от произведения U и dV, то существует и неопределенный интеграл от произведения U и dV, который равен разности UV и интеграла VdU эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Рассмотрим доказательство, оно не сложное. Во-первых, используем формулу дифференциала произведения двух функций, затем мы интегрируем обе части этого равенства - правая часть преобразуется в сумму интегралов. И затем заменяем левую часть, используя закон поглощения неопределенного интеграла, на UV. И дальше остается выразить интеграл UdV. Получаем доказываемую формулу.

Метод интегрирования по частям применяется, если подынтегральная функция представляет собой произведение некоторых функций, не связанных друг с другом дифференцированием, например x и е^x, x и cos(x), x и ln(x) и так далее. Также применяется этот метод для интегрирования элементарных функций, которые не содержатся в таблице интегралов. Это, как правило, обратные функции – логарифм, натуральный в частности, arccos(x), arcsin(x), arctg(x), arcctg(x) и так далее.

Рассмотрим пример: требуется вычислить неопределенный интеграл от функции xcos(x).

Для того чтобы воспользоваться формулой, выпишем ее.

Мы видим, что под знаком интеграла должно содержаться произведению UdV. Bыбираем в качестве U любую из функций. Тут есть некоторые нюансы, на которых мы сейчас не будем останавливаться. Итак, выберем в качестве функции U функцию x. Остальной множитель (оставшийся множитель) подынтегрального выражения, содержащий dx мы обозначаем dV.

Для того чтобы воспользоваться формулой, нам нужно знать функцию V и дифференциал функции U. Вычисляем dU по формуле дифференциала, а V восстанавливаем интегрированием функции cos(x). Итак, dU - это dx, а V это sin(x). Применим формулу. Перемножаем U и V - это xsin(x), дальше пишем знак минус и под знаком интеграла sin(x) – это V и dU – это dx. Мы видим, что в правой части этого равенства интеграл sin(x)dx является табличным. Так что следующий шаг - это запись ответа. Интеграл вычислен.