Математика. Материалы курса

Сегодня мы поговорим, какой же смысл имеет производная? При решении каких задач она используется? Тема лекции «Геометрический и физический смысл производной».

Давайте рассмотрим задачу о движении материальной точки. Итак, по некоторой кривой движется точка по закону S(t), то есть каждому моменту времени поставлено в соответствие значение пути, который прошла точка. Итак, в момент времени t₀ точка была в положении М₀, через какой-то промежуток времени Δt она оказалась на месте точки М на указанной кривой.

Какой путь прошла точка за время Δt? Итак, нужно вычесть из последнего показания счетчика первое показание в момент времени t₀. Итак, за время Δt точка прошла путь ΔS(t₀).

С какой скоростью двигалась точка? Понятно, что нужно разделить пройденный путь на время, это и будет средняя скорость движения точки. Но, интересно, мы видим в правой части этого равенства отношение приращения функции к приращению аргумента. Мы помним, что производная вычислялось, как предел такой дроби при Δt, стремящемся к нулю, но тогда логично считать, что S‘(t₀) – предел этой дроби, это мгновенная скорость точки в момент времени t₀. Если говорить в целом о функции f, то мы сейчас понимаем, что производная функции f характеризует скорость изменения функции.

Давайте перейдем к геометрическому смыслу производной. Он связан с понятием касательный к кривой. Дана на плоскости кривая γ, фиксированная точка М₀. Что же такое касательная? Попробуйте ответить на этот вопрос. Я не уверена, что у вас получится. Иногда говорят, это прямая, которая пересекает кривую γ в одной точке, но ведь таких прямых бесконечно много. Это неправильно.

Итак, с чего начнем? Возьмем произвольную точку М на кривой, отличную от точки М₀, и проведем секущую М₀М. Начнем перемещать точку М к точке М₀ по кривой. Что будет происходить с секущей? Посмотрите, ее положение меняется, и чем ближе точка М к точке М₀, тем ближе она начинает находиться к положению некоторой прямой M₀T. Вот именно эту прямую мы и будем называть касательной. Посмотрите, это предельное положение секущей.

Итак, прямая М₀T называется касательной, в том случае, если это предельное положение секущей М₀М при движении точки М к точке М₀ по кривой. Надо отметить, что касательный может и не быть. Посмотрите, если бы точка М двигалась к точке М₀ справа, мы бы оказались в положением М₀Т₁ (предельное положение этой секущей), а слева мы бы получили предельное положение секущей М₀Т₂. В этом случае мы говорим, что касательной нет.

И важнейший смысл связан с существованием касательной. Итак, теорема: если функция f дифференцируема в точке х₀, то в точке (x₀, f(х₀)) график функции имеет касательную, уравнение которой задается следующим образом (см. видео). Давайте докажем эту теорему.

Итак, что мы имеем? Мы имеем фиксированную точку М₀ на графике функции, ее координаты (х₀, f(x₀)). М – это произвольная текущая точка графика. Нам нужно доказать, что у этой кривой, у графика функции, есть касательная – прямая М₀Т.

Итак, что мы делаем? Обозначим Δx, x, x₀. Х – это текущая координата точки М. Отсюда мы получаем, что x = x₀ + Δx. В результате точка М (мы можем написать) имеет координаты (x₀ + Δх, f(x₀ + Δх)). Если известны две координаты на прямой, то легко определяется и угловой коэффициент этой прямой, Δx не равно 0 в этом случае, конечно. Угловой коэффициент секущей М₀М находится как отношение приращения функции в точке x₀ к приращению аргумента.

Нам сейчас придется воспользоваться известным уравнением из элементарной математики – уравнением прямой, которая задается угловым коэффициентом и точкой, через которую она проходит. Итак, такое уравнение имеет вид (см. видео). Давайте воспользуемся этим уравнением и составим уравнение секущей М₀М. Помним, координаты точки М₀ мы знаем, и угловой коэффициент этой прямой к секущей мы только что нашли. Итак, уравнение секущей в этом случае имеет вид (см. видео).

Сейчас, чтобы получить касательную, мы должны точку М перемещать к точке М₀ по кривой, по графику функции. Очевидно, при этом x будет стремиться к нулю. Что же будет происходить с уравнением секущей? Посмотрите, в нем будет изменяться только угловой коэффициент. Точка М₀ остается фиксированной, меняется только угловой коэффициент, и, если Δx стремится к нулю, то предельным значением углового коэффициента является значение производной в точке x₀.

Что нам остается? Заменить к секущей на данное предельные значение. Мы получаем: предельное положение секущей задается следующим уравнением (см. видео). По определению это и есть касательная. Формула доказана.

И еще важный термин – нормаль. Что такое нормаль к кривой? Это прямая, проведенная через точку касания перпендикулярно касательной. Чтобы написать уравнение нормали, нам нужно снова воспользоваться фактом из элементарной математики: две прямые с угловыми коэффициентами перпендикулярны, если произведение угловых коэффициентов равно минус единице. Ну и поскольку уравнение касательной мы знаем, нормаль проходит через ту же самую точку (x₀, f(x₀)), изменяется только коэффициент, и, если значение производной не равно нулю, то мы получаем следующее уравнение нормали (см. видео).

Возникает логичный вопрос: а если производная равна нулю? Как мы воспользуемся таким уравнением? В этом случае этим уравнением пользоваться нельзя. Если прямая горизонтальна (это касательная), то перпендикулярная прямая будет вертикальной, проходящей через ту же самую точку, и тогда логично мы получаем следующие выводы. Если производная равна нулю, то касательная и нормаль – это прямые, проходящие через точку касания параллельно координатным осям.

Итак, выводы. Первое. Поскольку мы в ходе доказательства выяснили, что угловой коэффициент касательной – это f‘(x₀), то мы всегда помним, что геометрический смысл производной таков: производная – это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке (x₀, f(х₀)). Второй важный пункт. Поскольку угловой коэффициент любой прямой, не только касательной, определяется как тангенс угла наклона этой прямой к оси Оx, то и для производной функции в точке х₀ этот факт остается также верным.