Математика. Материалы курса

Исследование свойств функций по определению

Рассмотрим решение практических задач, которые посвящены исследованию функции. При работе будем пользоваться только определениями.

Давайте рассмотрим очень простой пример функции - квадратичная функция f(x)= x²-4x+3. Мы хорошо знаем, что графиком является парабола. Нам необходимо выполнить следующие задания.

1.  Исследовать функцию на чётность, нечётность.

2.  Доказать, что функция строго убывает на промежутке (-∞;2], строго возрастает на промежутке [2; +∞).

3.  Доказать, что функция ограничена снизу.

4.  Для сужения функции на (-∞;2] найти обратную функцию.

Для начала, давайте посмотрим на график и увидим, что все эти свойства легко читаются по графику. Четность, нечетность: мы видим, что график не симметричен относительно оси О_у - чётности нет. Не является центрально симметричным относительно точки начала координат - не является нечётным. Возрастания, убывания связано с тем, как ведет себя функция при движении слева направо. Ограниченной снизу означает, что есть горизонтальная прямая, ниже которой точек графика функции нет. С обратной функцией мы разберёмся попозже.

Перейдем к решению задач. Итак, первая задача - исследовать функцию на чётность,  нечётность. В школе использовали такое определение: f(-x)= f(x)-для чётной функции и f(-x)= -f(x)-для нечётной функции. Давайте обратим внимание, в каждом из этих равенств, речь идет о равенстве функций. Две функции равны, если выполнены два условия: во-первых, равны их области определения и, во-вторых, во всех точках области определения значения функции совпадают.  Вот эти два пункта (см. видео) в точности означает то, что было сказано ранее. Будем пользоваться строгим определением понятия равенство функций.

Давайте разбираться. По первому пункту заметим, что область определения рассматриваемой функции - это множество всех действительных чисел - множество симметрично относительно точки 0. Первый пункт выполнен, как для четной, так и для нечётной функции. Пункт два в определении говорит, что в симметричных точках относительно точки 0, чётная функция имеет равные значения, а нечётная функция имеет значения с противоположным знаком.  

Как доказать, что функция не является ни чётной, ни нечётной? Возьмём пару симметричных точек, например,  х₁=1, х₂= -1. Найдём значение функции в этих точках, f(x₁)= 0 и f(x₂)= 8. Заметим, что значение в точке -1 не равняется значению в точке 1, значит, функция не является чётной. С другой стороны, эти два числа и не противоположны по знаку, делаем вывод, что функция не является нечётной. Итак, было проведено строгое обоснование факта.

Переходим к следующей задаче. Необходимо доказать, что функция убывает на некотором множестве. Если мы хотим доказывать по определению, то это определение мы с вами записываем и действуем в соответствии с этими указаниями (см. видео). Возьмём произвольные точки  х₁,  х₂ из указанного множества (-∞;2], такие что х₁ < х₂. Докажем, что f(x₁) > f(x₂).

Проще всего это можно сделать, рассмотрев разность f(x₁) - f(x₂). В ходе рассуждения и преобразования получаем, что f(x₁) - f(x₂) > 0, по определению это означает, что функция строго убывает на рассматриваемом промежутке (-∞;2].

Перейдём к следующей задаче. Требуется доказать, что функция ограниченная снизу. По определение (см. видео) нужно найти число а, такое что все значения функции больше либо равны этому числу,  то есть надо сделать оценку f(x). Для этого выполним преобразования, которые хорошо знакомы нам под названием выделение полного квадрата. После чего, заметим, что нашлось действительное число а=-1, такое, что для всех х из области определения, значения функции будет больше или равно а. Установили, что функция ограниченная. Если обратимся к графику, то установленный факт значит следующее: ниже прямой у=-1, проходящей через вершину параболы, точек графика данной функции нет.

Следующая задача связана с понятием обратимости. В качестве сужение рассмотрим служение функции на промежутке (-∞;2]. Мы  доказали,  что на указанном промежутке функция строго убывает. Если функция строго монотонна, то она обратима. Следуя алгоритму нахождения обратной функции, выражаем х через у (см. видео). И после переобозначения переменных, имеем обратную функцию g(х).

Надо помнить, что функция f(x) неинъективна, необратима, а полученая функция g(х) строго монотонна, инъективна и обратима.  Эта функция для инъективного сужения функции f(х) на указанный промежуток.

Задача решена.