Математика. Материалы курса

Мы открываем курс математики первым разделом, который посвящен вопросам математического анализа. Центральным понятием математики как науки и, в частности, этого раздела является функция и ее свойства. И мы начинаем лекцию с понятия с основного определения функции.

Итак, пусть X и Y множество элементов произвольной природы. Функцией или отображением, мы не различаем эти понятия, называется такой закон f, по которому каждому элементу из множества X ставится в соответствие единственный элемент из множества Y. Обратите внимание, что ключевыми словами в этом определении являются «каждому» и «единственный». Для обозначения функции используют вот такие символы. Первое из них вам хорошо знакомо.

Основные понятия, которые связаны с определением функций.

Пусть дана функция f из множества X во множество Y, множество X в этом случае нам называют областью определения функции f и обозначают символами. Если при отображении f элементу x соответствует элемент y, то y называется образом элемента x, а x прообразом элемента y при отображении f. Множество всех образов функций называется ee множеством или областью значений и обозначается также знакомыми вам символами.

Если X и Y - это числовые множества, то есть составлены из действительных чисел, то функция f называется числовой. Мы иногда будем опускать это прилагательное, но математический анализ изучает как раз числовые функции.

Частный случай числовой функции - это числовая последовательность. Итак, что же такое числовая последовательность? Это числовая функция, областью определения которой является множество всех натуральных чисел. Это множество мы обозначаем буквой N большое.

Функции f и g называются равными, если выполнены два условия. Первое - области определения этих функций совпадают и, во-вторых, в любой точке области определения значения функций f и g равны. Обратите внимание, что во многих определениях, связанных с понятием функций присутствуют два пункта: первый относится к области определения, а второй - к значениям функции.

График функции. График числовой функции - это множество точек плоскости (x, y) - это пара чисел, изображается как точка плоскости, в которой x - первый элемент, это области определения, а вторая компонента - y - это значение функции в указанной точке x.

Не всякая линия на плоскости является графиком функции. Давайте рассмотрим такой пример. На что нужно обратить внимание? График функции обладает важнейшим свойством - любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке. Почему окружность не является графиком функции? Давайте вспомним определение. Если мы проведём вертикальную прямую, вот, например, так, то мы видим что x₀ соответствует два значения: y₁ и y₂. А мы помним ключевое слово - значение функции должно быть единственным. Итак, эта кривая не является графиком функций.

Важное понятие, связанное с функцией, - это вид функции или вид отображения. Надо сказать, что вид отображения, этот термин, мы используем не только в курсе математического анализа, виды отображения мы рассматриваем во многих разделах математики.

Первый термин - инъективное отображение. Итак, f из X в Y - это отображение, оно называется инъективным, если любым двух различным элементам множества X соответствуют разные элементы множества Y. Логическая запись этого определения выглядит следующим образом, а иллюстрация вам показывает, что инъективность отображения означает, что никакие две различные точки не могут быть прообразами одной, Не может быть, чтобы из двух различных точек стрелочки соединялись в одной точке. Итак, это как раз означает, что отображение является инъективным.

Понятие сюръективного отображения. Отображение f из X в Y называется сюръективным, если множество Y все является множеством значений функции f. Что это означает? Что какую бы точку y из множества Y вы не взяли, всегда найдется прообраз во множестве X - такое x, что y - это значение функции в точке x.

И последний термин, связанный с видами отображения - понятие биекции. Но мы все знаем, приставка «би» означает «два». Так вот, отображение f из X в Y называется биекцией или взаимно однозначным соответствием, если оно удовлетворяет двум условиям - оно инъективно и сюръективно.

Чтобы разобраться в этих понятиях, давайте разберем такой пример.

Итак множества X и Y заданы перечислением элементов. Множество X состоит из трех символов – {a, b, c} – три буквы, а множество Y – числовое, состоит из трех чисел {1, 2, 3}. Попробуем охарактеризовать эти соответствия. Рассмотрим соответствие f. Выясним для начала является ли это соответствие отображением или функций. Итак, элементу a из множества X соответствует единственный элемент – единица. Что же мы скажем про элемент b? Стрелочки в b выходит как из точку 2, так и из точки 3. Получается, что элементу b соответствуют два разных элемента. Это противоречит определению функции. Итак, это не отображение.

Рассмотрим соответствие б. Элементу а соответствует единственный элемент – единица, элементу b - единственный элемент – 3, элементу c - единственный элемент - тоже 3. Итак, это функция или отображение. Выясним, какими свойствами обладает это отображение. Почему это отображение не является инъективным? Потому что есть две точки разные – b и c, которым соответствует одно значение – 3. Итак, это не инъективное отображение. Что же касается сюръективности, множество Y не является множеством значений. Почему? Точка 2 элемента множества Y не является концом никакой из стрелочек, то есть не имеет прообраза. Итак, это соответствие является отображением, которое в свою очередь не инъективно, не сюръективно, ну, а значит и не биекция.

И последний пример- охарактеризовать соответствие h. Нетрудно заметить, что это отображение: каждому элементу из множества X соответствует единственный элемент из множества Y. Любым двум разным элементам множества X соответствуют разные элементы множества Y. Это отображение инъективно и множествоY является областью значений. Итак, это соответствие является отображением, которое инъективно, сюръективно и биективно.

Перейдём к следующему вопросу - способы задания функции. Начнем с того, что значит «задать функцию». Это значит, во-первых, нужно определить, где она задана - область определение. Это первый пункт. А второй момент – определить, как вычисляются значения в каждой точке.

Итак, первый, самый распространенный, способ задания функции – аналитический. Термин «аналитически» означает, что мы задаем функцию с помощью формул. Обычно это выглядит так – y малое равно, и справа находится некоторое выражение аналитическое, содержащее переменную x. «Аналитическое выражение» - это означает, что среди операций находятся сложение, вычитание, умножение и деление, ну, а также знаки основных, символы основных элементарных функций. Какова здесь особенность? Может быть формула одна, а функции при этом оказаться неравными. Давайте рассмотрим такой пример. В первом примере функция задана формулой и область определения здесь вовсе не указана, при этом она находится совершенно однозначно. В этом случае область определения - это множество тех элементов x, в которых значение функции определяется. Вот и термин область определения. То есть вычисляется, находится, существует. Не трудно найти, такие задачи вы умеете решать, что область определения в этом случае - луч замкнутый от 2 до плюс бесконечности. Второй пример. Взгляните - формула таже самая, только x сказано – те, которые больше, либо равные 3. Это означает что областью определения этой функции служат все точки числовой прямой, которые больше либо равны 3. Формула та же самая, область определения другая, функции не равны. Среди функций, заданных аналитически, мы рассматриваем такие, которые заданы формулами разными на разных промежутках. Для некоторых из них есть даже обозначения. Вот, например, такая очень хорошо известная функция, как знак числа - такое ее название.

Следующий способ – описательный. Это значит что мы задаем множество X (область определения) и описываем, как вычисляются значения функций. Таких примеров очень много. Мы разберем те, которые для нас важны в курсе математического анализа. Итак, понятие целой части действительного числа. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число и обозначаем его, обратите внимание, x в квадратных скобках, которое не превосходит данное число x. Из этого определения следует, что действительное число x, для которого мы находим целую часть, находится между двумя целыми числами: слева - меньше либо равно, чем x - это целая часть x, и следующее целое число находится правее, чем число x. Поэтому посмотрите, как вычисляется значение этой функции. Мы такую функцию рассмотрим для разных действительных чисел: для числа 5,1 - это 5, для числа -3,7-  это не -3, а это ближайшее слева число -4, для целого числа целая часть равна самому числу.

Дробная часть числа определяется как разность x и целой части x. Нетрудно заметить, что дробная часть любого действительного числа больше либо равна 0 и меньше единицы. И из формулы, которая вводит дробную часть легко получается равенство - любое действительное число является суммой своих целой и дробной частей. Ну, и дробная часть этих же самых действительных чисел здесь вычисляется, показано как. Итак, для иллюстрации взгляните на графики этих функций. Как функция задается. Как целая часть числа. Как дробная часть числа и графики. Ну, и еще давайте рассмотрим функцию Дирихле, про которую можно тоже сказать, что она задана описательно. Ее значения равны нулю во всех иррациональных точках и равны единице во всех рациональных точках. Это очень важная функция, которая служит источником большого количества контрпримеров в математическом анализе и позволяет нам избегать логических ошибок в наших рассуждениях.

Следующий способ задания функций – табличный. Наверное чаще всего этот способ возникает в экспериментальной работе у физиков и химиков, ну, и мы тоже иногда в своей работе используем такой способ. Итак множество X состоит из четырёх элементов {1, 2, 3, 4} - числа один, два, три, четыре а значение функции указаны в нижней строке.

Четвертый способ - графический способ задания функции. Этот способ мы используем очень часто в математическом анализе для иллюстрации понятий, для доказательства теорем, для того, чтобы добавить наглядности к нашим рассуждениям. Рисунок нам показывает если задана кривая, как находится значение функции. Единственное, о чем мы не должны забывать, что линия, которая служит иллюстрацией функции, графика функции, должна обладать свойством графика - любая вертикальный прямая должна пересекать линию не более чем одной точке.