Математика. Материалы курса

Уважаемые студенты и слушатели. Я прочитаю вам небольшую вводную лекцию по курсу математики. Этот курс предназначен студентам всех научных и инженерных направлений подготовки. Он содержит необходимый минимум теоретических знаний и практических умений для успешного овладения своей профессией. Курс подразделяется на 3 модуля: это математический анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия, а также теория вероятности и математическая статистика.

Слово «математика» с древнегреческого языка переводится как «учусь через размышления». И действительно, для понимания математики необходимы логика и интуиция, то есть строгое логическое мышление и интуитивное представление, знакомые ассоциации, геометрические образы, пространственное воображение.

Объектом изучения математики служит количественное отношение и пространственная форма окружающего нас мира, то есть реальность, и их обобщения. Математики исследуют различные конкретные и абстрактные математические структуры. Математика широко применяется в других науках и приложениях, благодаря гипатетико-дедуктивному методу, математическому моделированию и, в современных условиях, различным компьютерным технологиям. Математика сначала развивалась как преднаука, то есть набор правил и предписаний «делай то-то», «делай так-то» при счете, вычислениях, измерениях, необходимых уже и в то время при обмене, торговле, земледелии, при наблюдении звездного неба, кораблестроении, навигации, производстве орудий труда и предметов быта.

Далее в VI веке до нашей эры в древнегреческих философских школах Фалеса Милецкого и Пифагора Самосского уже зародилась математика как наука, как дедуктивная наука и доказательная наука. Первые математические знания за два с половиной столетия были подытожены в знаменитом труде Евклида «Начала». Так что математике, как и всей европейской науке, можно считать, две с половиной тысячи лет, даже две тысячи пятьсот пятьдесят лет. Количественное отношение, категория количество в математике проявляется в понятии числа. Развитие понятия числа красной линией проходит по всей истории математики, начиная с первых натуральных чисел (1, 2, … много, говорили) через целые числа, рациональные числа, действительные числа к комплексным числам, кватернионам, кардинальным и порядковым числом В алгебре изучались также числоподобные объекты: матрицы, многочлены, различные ряды, их совокупности. И тем самым развитие понятие числа через эти арифметику, теорию чисел элементарную традиционную алгебру привело к современной абстрактной алгебре. В основе, конечно, лежит система действительных чисел. Вы из школы знаете, что действительные числа изображаются точками числовой прямой, действительные числа естественным образом делятся на рациональные числа, это дроби целых чисел вида m/n, например, там число -15/7 и остальные числа, которые не представляются в виде дробей – это иррациональные числа. Первым таким числом был корень квадратный из 2 как диагональ единичного квадрата, был открыт в школе Пифагора. Также действительно числа делятся на алгебраические числа (это корни многочленов с целыми коэффициентами) и остальные числа – трансцендентные числа, среди которых вы знаете числа е и Пи. е – это основание натурального логарифма, пи определяется как отношение длины окружности к диаметру окружности. Надо заметить, что с помощью параллельного программирования число Пи вычислено уже до 43 триллионов знаков, что, конечно, раньше было невозможно.

Первый модуль – математический анализ. Система действительных чисел – это основа классического математического анализа, объектом которого служат числовые функции, то есть функции f: RàR, построение их графиков и различные свойства. Наиболее важными возможными свойствами функций является свойства непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и измеримости функции. Все они определяются через понятие предела функции в точке. Фундаментальная идея предельного перехода пронизывает весь математический анализ. В курсе изучается основы дифференциального и интегрального исчисления. Центральными понятиями здесь являются производная и дифференциал, неопределенный интеграл, как совокупность первообразных, которые отличаются друг от друга на константу, и определенный интеграл. Дифференцируемость числовой функции y=f(x) в точке х₀ означает существование производной этой функции в точке х₀, то есть f’(х₀). Наглядно это выглядит как гладкость графика функции или кривой y=f(x) вблизи точки х₀, без каких-то там изломов и выступов. С наперед заданной точностью можно заменить кусок кривой в точке х₀ на отрезок касательной, проведенной в этой точке к графику функции y=f(x). Вы знаете еще со школы, что производная в точке х₀ функции у=f(х) – есть тангенс угла наклона этой прямой – касательной к оси Ох. На рисунке это выглядит вот таким образом. Касательная имеет уравнение или у=kx + b, где k как раз есть производная от функции f(x) в точке х₀. Если функция y = f(x) положительна и непрерывна на отрезке [a, b], то существует определенный интеграл этой функции в пределах от а до b, который по формуле Ньютона-Лейбница равен разности F(b) - F(a), где F(a) и F(b) – первообразные функции f на отрезке [a, b], то есть F’(x)=f(x). Он равен площади фигуры, заключенной между прямыми линиями (это ось Ох, прямые х=а, х=b) и кривой y=f(x), что наглядно вы можете посмотреть на рисунке – это площадь криволинейной трапеции ABCD.

В первом модуле рассматриваются также дифференциальное исчисление функции двух и нескольких переменных, двойной интеграл, криволинейные интегралы. Аппарат математического анализа хорошо приспособлен для описания различного вида движения и изменений, в частности описанию природных, различных технологических производственных процессов, эффективен в применениях.

Второй модуль начнем с аналитической геометрии. Здесь рассматривается категория формы, и пространственные формы воплощаются в математике в понятие «геометрическая фигура». Геометрическая фигура – это множество точек какого-то пространства, ну, скажем, евклидовой плоскости П. 

Если на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат xОy, то точке А ставится в соответствие упорядоченная пара координат (x, y), x – это проекция точки а на ось Ох, у – проекция этой точки на ось Оу. В частности началу координат будет ставиться в соответствие пара (0, 0), самой плоскости – множество всех пар действительных чисел, то есть может быть R*R, а фигуре F ставится в соответствие множество пар действительных чисел, соответствующих точкам этой фигуры. То есть можно считать, что F множество пар действительных чисел.

Множество решений линейного уравнения ах+by=c с действительными коэффициентами задает фигуру на плоскости П. Если а равно 0, b не равно нулю, а С не равно нулю, то решения это уравнение не имеет, значит, фигура – пустое множество. Если все числа а, b, c равны нулю, то получаем всю плоскость, поскольку любая пара чисел удовлетворяет этому уравнению. Если один из коэффициентов перед неизвестными a либо b не равен нулю, то мы получаем прямую линию.

Множество решений квадратного уравнения, ну скажем x^2+y^2=4 задает на плоскости окружность радиуса 2 с центром в начале координат – точке О. На рисунке это выглядит следующим образом. Вот прямая с коэффициентом а=1/2, если у перенести в правую часть, у него коэффициент будет равен -1, если с переносим, будет с равно 1, если так написать, в виде ах+by=c, мы видим окружность, с центром в точке О радиуса 2.

Идея координатизации геометрического пространства, его точек и фигур лежит в основе аналитической геометрии, открытой в 16-17 веках французским математиком и философом Рене Декартом. Параллельно над созданием аналитической геометрии работали и другие математики, в частности, Ферма. В трёхмерном евклидовом пространстве (это уже куб) R*R*R плоскости задаются линейными уравнениями с тремя неизвестными Ax+By+D=0, а прямые – системами из двух таких линейных уравнений, как пересечение двух плоскостей. Рассматриваются также кривые второго порядка, это эллипсы, параболы и гиперболы, если в трехмерном пространстве рассматривать, получаем поверхности – эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды. Связь между фигурами и числами уже явственно проявилась в древности в тригонометрии. «Тригон» это треугольник, и каждому треугольнику можно поставить в соответствие длины его сторон или величины углов, периметр и площадь, радиус вписанной или описанной окружности.

Линейная алгебра – это теория исследования методов решения системы линейных уравнений, ну у нас с числовыми коэффициентами, при том действительными. Общим методом решения систем уравнений является метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. Изучение свойств матриц и их определителей также относятся к линейной алгебре.

Можно рассмотреть пример трех уравнений с тремя неизвестными. Здесь мы обозначаем их x₁, x₂, x₃, а не x, y, z. Коэффициент, например, а_23, что означает, коэффициент второго уравнения перед неизвестным x₃, b₁, b₂, b₃ – свободные члены. Но удобнее работать не с системами, выписывая неизвестные, а с матрицами. Вот матрица – это основная матрица этой системы, составленная из коэффициентов перед неизвестными. Ей ставится в соответствие число, ее определитель, который играет важную роль в линейной алгебре. В общем случае мы рассматриваем n уравнений с n неизвестными. Вот давайте посмотрим геометрически, какие возможны здесь случаи. Каждое из этих уравнений, если оно не тривиально, задает плоскость, и мы имеем три плоскости в обычном трехмерном пространстве евклидовом пространстве, а система – это их пересечение. Как они могут располагаться друг относительно друга? Если первая плоскость параллельна, скажем, второй плоскости, но они не совпадают, то решений нет, они не пересекаются. Если они совпадают, то мы рассматриваем второе и третье уравнения, то есть две плоскости, и там может быть какая ситуация? Опять-таки они параллельны – решений нет, совпадают – бесконечно много решений и пересекаются по прямой – тоже бесконечно много решений. Но если две первая и вторая плоскости пересекаются, не параллельны, то они пересекаются по прямой, и мы уже имеем расположение прямой относительно плоскости, заданной третьим уравнением. Если опять-таки прямая параллельна плоскости, не содержится в ней, то решения нет. Если содержится – бесконечно много. Если прямая пересекает плоскость, то получаем единственное решение. Тем самым мы видим, что решением системы линейных уравнений, вот на этом примере трех уравнений с тремя неизвестными, может быть 0, решений нет, система несовместная. Одно единственное решение – система определенная, совместная. Бесконечно много решений – система называется неопределенной, совместной. Здесь тесная связь с определителями: она говорит о том, что определитель отличен от 0 тогда и только тогда, когда система имеет единственное решение. Аппарат и алгоритмы линейной алгебры применяются вот многих областях математики: в геометрии, теории дифференциальных уравнений, вычислительной математике, во множестве приложений. Линейная алгебра математически формализует фундаментальную идею линейности, о которой мы говорили, когда рассматривали производную функции в точке.

Переходим к третьему разделу – Теории вероятности и математической статистики. Здесь изучаются математически выраженные концепции вероятности и случайности. Рассматриваются различные события из пространства событий, и каждому событию ставится в соответствие действительное число из отрезка [0, 1], то есть неотрицательное, меньшее либо равное единице. Часто вероятность выражается в процентах, тогда надо умножить это на 100 процентов. События делятся на возможные и невозможные, достоверные … Невозможное событие – это событие с вероятностью 0, оно никогда не произойдет. Достоверное событие стопроцентно произойдет, оно имеет вероятность единицу. Рассмотрим для иллюстрации простейшую задачу. Подбрасывается игральная кость – это кубик с числом очков на одной из шести граней от 1 до 6. Какова вероятность события А, означающего, чтобы выпавшее число очков будет составным? Но мы знаем, что всего исходов такого испытания будет 6 – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Все они равновероятны (если мошенники и аферисты одну из граней, которая находится против числа 6, не утяжелили, тогда будет часто у них выпадать 6, они тогда всегда будут побеждать). Эти числа от одного до шести делятся на три группы: простые числа (имеют ровно 2  натуральных делителя), это числа 2, 3, 5, составные числа, имеющие больше двух делителей или раскладывающиеся в произведение чисел, меньших их (это 4 = 2 * 2,  6 = 2 * 3), и число 1 стоит особняком, она имеет ровно 1 делитель. По классическому определению вероятности вероятность  события А равна числу благоприятных исходов, деленное на число всех равновероятных исходов. В нашем случае составных чисел 2, всего 6, 2 разделить на 6, результат 1/3.

В этом модуле изучается свойства и формулы вероятностей, дискретные и непрерывные случайные величины, их важнейших числовые характеристики, такие так математическое ожидание и дисперсия, среднеквадратичное отклонение. Ну и начала математической статистики. В основе теории вероятности лежит комбинаторика, это уже видно будет и в задаче при подбрасывании двух игральных костей. Какие там исходы, какая сумма чисел наиболее вероятна, там уже простейшие комбинаторные вещи встречаются. Методы математической статистики широко применяется в социологии, при проведении различных опросов населения, при анализе в научных исследованиях.

Надо сказать, что математика – это развивающаяся наука, она продолжает быстро развиваться. Возникают новые ее разделы. Сейчас можно назвать, наверное, десятки, если не сотню математических дисциплин. Мы начинаем с арифметики, элементарной алгебры, элементарной геометрии, затем пошла высшая математика, высшая алгебра, геометрия, математический анализ. Сейчас вы знаете, что существует и дискретная математика, теории игр теория вероятностей и математическая статистика, существует математическая логика и теория алгоритмов, дифференциальная геометрия и т.д.

Остаются нерешенными некоторые задачи древности, например проблема близнецов. Близнецами называют два простых числа, отличающиеся на 2, например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13 и так далее. До сих пор не известно, существует ли бесконечно много таких пар, или с какого-то места их не встречается в натуральном ряду от 1 и так далее до бесконечности. Но задачи, которые долго стояли перед математиками, перед человечеством, не так давно, в последнюю четверть 20 века, были решены, была доказана великая теорема Ферма Эндрю Уайлсом, окончательно решена в 1995 году, 25 лет назад. Теорема Ферма заключается в том, имеет ли решение в натуральных числах уравнение x^n+y^n=z^n, где n>2. Если n=2, то это так называемые пифагоровы тройки, мы уже знаем, что 3^2+4^2=5^2 по теореме Пифагора. Для более высоких показателей решения нет, и это было доказано в 1995 году. Другая задача: гипотеза Пуанкаре, которая стояла около ста лет, была решена российским математиком Григорием Перельманом в 2003 году. Так что задачи решаются. Но много задач не решённых. Одна из таких важных, философских, можно сказать, проблем, которые будут решаться и, безусловно, математическими методами – это насколько возможно развитие искусственного интеллекта, где его границы, как он согласуется с интеллектом человека, может ли он покрыть интеллект человека, то есть создать роботов, неотличимых от человека. Мне кажется, что такое невозможно, но приближение к этому при развитии современных компьютеров, которые, повторю, уже посчитали 43 триллиона вещественных знаков числа Пи, они хорошо развиваются, и мы можем ожидать развитие искусственного интеллекта, робототехники, но, тем не менее, человеческий разум – это все-таки нечто божественное, никакими программами не запрограммировать. Спасибо за внимание.