Математика. Материалы курса

Раздел «Основы математической статистики». Тема «Статистические оценки параметров генеральной совокупности»

Предлагаем мини-тест.

Вопрос 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупности различают…а) точечные и интервальные; б) зависимые и независимые; в) случайные и неслучайные; г) парные и множественные. Выберите верный вариант ответа.

 Вопрос 2. Точечная оценка параметра обладает следующими свойствами… а) несмещённость; б) состоятельность; в) эффективность; г) все вышеперечисленные. Выберите верный ответ.

Вопрос 3. Интервальной оценкой параметра является…. а) выборочная средняя; б) выборочная дисперсия; в) доверительный интервал; г) выборочное среднее квадратическое отклонение. Выберите верный ответ, по вашему мнению.

Проверим ваши ответы:Вопрос 1 – верный вариант ответа под цифрой 1; вопрос 2 – верный вариант ответа под цифрой 4; вопрос 3 – верный вариант ответа под цифрой 3.

Точечные статистические оценки можно найти с помощью Microsoft Excel, используя статистические функции: для нахождения среднего и СРЗНАЧ, для нахождения выборочной дисперсии ДИСП.В и для нахождения среднего квадратического отклонения СТАНДОТКЛОН.В.

Также можно найти с помощью статистических функций моду — это функция МОДА.ОДН, найти медиану выборочной совокупности с помощью функции МЕДИАНА и найти квартили – КВАРТИЛЬ.ВКЛ.

Также, с помощью статистических функций, мы можем найти эксцесс (ЭКСЦЕСС) и можем найти асимметрию (СКОС).

Также в Microsoft Excel мы можем найти доверительные интервалы. Для этого можем использовать статистические функции – ДОВЕРИТ.НОРМ или ДОВЕРИТ.СТЪЮДЕНТ, в зависимости от того, какой у нас дан интервал, и, какие у нас известны данные. Если у нас известно среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности, то мы будем находить доверительный интервал с помощью функции ДОВЕРИТ. НОРМ, если же у нас среднеквадратическое отклонение для генеральной совокупности неизвестно, то доверительный интервал для среднего значения мы будем находить с помощью статистической функции ДОВЕРИТ.СТЪЮДЕНТ. Кроме того, в Microsoft Excel мы можем найти все эти оценки, используя пакет анализа. Для этого необходимо зайти в панель инструментов, выбрать «Данные», «Анализ данных» и выбрать процедуру «Описательная статистика».

Предлагаю рассмотреть задачу в Microsoft Excel. У нас представлены данные (см. видео). Значение x — это первый столбец. Сейчас вычислим статистические функции с помощью соответствующих функций, для того чтобы позднее найти среднюю дисперсию, отклонение, моду, медиану, эксцесс, асимметрию и доверительный интервал, а также мы найдем соответствующие оценки, используя пакет анализа.

Итак, найдём среднее значение. Заходим для этого в «функции статистические» и выбираем функцию СРЗНАЧ. Здесь можно выбрать весь столбец данных, и найденное значение является средним значением для нашей выборочной совокупности.

Найдем дисперсию для нашей выборочной совокупности. Для этого зайдем в категорию «статистические», выберем функцию ДИСП.В. Здесь также выберем диапазон данных.

Далее найдем среднеквадратическое отклонение. Для этого зайдем в функции, категория «Статистические» и выберем СТАНДОТКЛОН.В. Введём наши данные и получим в соответствующей ячейке значение среднего квадратического отклонения.

Мода. В категории «Статистические» найдем функцию МОДА.ОДН. Также введем диапазон данных. Здесь мода не определилась, так как все значения встречаются по одному разу, то есть моды здесь нет.

Далее найдем медиану. Зайдем в функции, категория «Статистические», выберем МЕДИАНА. Для этого введем диапазон данных и получим значение 16.

Сосчитаем эксцесс. Зайдем в функции, категория «статистические» и выберем функцию ЭКСЦЕСС, введем диапазон данных. Получили значение.

Далее найдем асимметрию. Для этого зайдем в функции, категория «Статистические», выберем функцию СКОС, введем диапазон данных и получим соответствующее значение асимметрии ячейки С8.

Высчитаем доверительный интервал. Так как здесь среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности неизвестно, поэтому у нас будет высчитываться доверительный интервал Стьюдента для среднего значения. Для этого зайдем в функции, категория «Статистические» и, соответственно, выберем ДОВЕРИТ.СТЪЮДЕНТ. Здесь уровень значимости выберем 0,05, соответствующий пяти процентам ошибки. Значит, стандартное отклонение у нас здесь высчитано, введем. Соответственно, размер выборки — это у нас количество объектов. В нашем случае количество объектов представляет собой 7, то есть это мы можем вручную ввести и можем ввести еще и используя функцию, которая будет искать объем выборки – это функция СЧЕТ, категории «Статистические». Здесь вводим диапазон данных, и наше значение, очевидно, 7.

Сейчас мы с вами построим таблицу данных и, я предлагаю для этого воспользоваться пакетом данных. Заходим на ленту, выберем «Данные», «Анализ данных» и выберем здесь «Описательная статистика». Входным интервалом будет диапазон первого столбца, галочку ставим в Метках, так как у нас есть заголовок этого столбца, не забудьте поставить галочку, где итоговая статистика, уровень надежности. Выходной интервал выберем соответственно вот эту ячейку. Значение у нас даны по столбцам, то есть это оставляем. Итак, получили таблицу, если внимательно мы посмотрим, то увидим, что имеем абсолютно идентичные данные. Что для среднего, что для дисперсии, что для эксцесса, что для асимметрии. Здесь еще помимо минимума, высчитывается максимум, счет автоматически высчитывается, сумма, и вот он доверительный интервал – самое последнее значение.

Обратите внимание на стандартную ошибку. Стандартная ошибка указывает на ошибку выборочной средней.

Таким образом, сделаем вывод, что оценки точечные и интервальные целесообразнее высчитывать с помощью Пакета анализа. И, соответственно, можно оценивать по получившийся таблице. Посмотрите, пожалуйста, как выглядит наш доверительный интервал для среднего значения. Среднее значение у нас 17. Соответственно, мы к 17 прибавляем то, что мы получили в уровне надежности – 4,27, то есть доверительный интервал имеет вот такой вид: 17±4,27. Это можно записать еще иначе, то есть – (17 - 4,27; 17 + 4,27). Если мы это посчитаем, то у нас получается (12,73; 21,27). Это доверительный интервал для нашей задачи. Иными словами, генеральное среднее с надежностью 95 % находится в интервале от 12,73 до 21,27.

Предлагаю задачи для самостоятельного решения. (см видео).

Успешного решения! Спасибо за внимание.