Математика. Материалы курса

Продолжаем говорить про характеристические функции. На прошлой лекции мы изучили понятие характеристической функции и рассмотрели несколько свойств. Давайте еще рассмотрим парочку свойств.

Первое свойство. Если у нас известна характеристическая функция некоторой случайной величины ξ, а случайная величина η является линейной комбинацией случайной величины ξ и константы, то есть η = a + b_ξ , тогда характеристическая функция величины η может быть вычислена следующим образом: Ψ_η(t) = M[e^itη] (это математическое ожидание е в степени itη). Заменим η на a + b_ξ. И заметим, что если у нас в степени сумма, то мы можем представить это, как e^ita e^itbξ. Далее заметим, что множитель e^ita – это не случайная величина, значит, ее можно вынести за знак математического ожидания. Таким образом, получим e^itaM[e^i(tb)ξ]. Теперь у нас уже вместо параметра t будет параметр tb. Таким образом, мы получим e^ita, умноженное  на характеристическую функцию случайной величины ξ в точке bt. Это мы используем при работе с нормальным распределением на практическом занятии.

Следующее свойство, которое мы рассмотрим, касается совокупности из m независимых в совокупности случайных величин. Напомню, что независимые совокупности означают, что закон распределения системы равен произведению частных законов распределения, то есть в данном случае нам попарной независимости (где любые две случайных величины независимы), будет недостаточно. Тогда характеристическая функция суммы, а это очень часто интересующая нас задача, будет вычислена, как произведение характеристических функций. Это не сложно доказать. Опять же подставим по определению, распишем η, как сумму, и разобьем на множители. Далее мы можем вспомнить, что раз случайные величины ξ₁, ξ₂ и так далее ξ_m являются независимыми, то и случайны величины e^itξ1, e^itξ2, и так далее e^itξm будут независимыми в совокупности, а значит математическое ожидание произведения будет равно произведению математических ожиданий.

Таким образом мы можем разбить на произведение математических ожиданий каждое из которых будет являться ничем иным, как характеристической функцией соответственной случайной величины, то есть Ψ_k(t) – это характеристическая функция величины ξ_k. Этим мы можем воспользоваться при доказательстве устойчивости распределения случайных величин.

Дадим сначала определение. Распределение F называется устойчивым относительно суммирования, если для любого набора независимых в совокупности случайных величин ξ₁, ξ₂, … ξ_m, имеющих распределения с различными параметрами, но то же самое распределение, их сумма также будет иметь это распределение. То есть, например, если у нас случайные величины имеют нормальное распределение, у каждой своей мат. ожидание, своя дисперсия, то их сумма обязательно будет иметь нормальное распределение. Это мы с вами докажем на практическом занятии.

А сейчас рассмотрим несколько других примеров.

Первый пример. Докажем, что распределение Бернулли не является устойчивым относительно суммирования.

Для этого посчитаем характеристическую функцию. Здесь подробно расписывать не буду. Напомню, что вычисления характеристической функции распределения Бернулли было подробно дано в практическом занятии 1 данного раздела. Далее, если у нас ξ₁, ξ₂ и так далее ξ_m это набор случайных величин, имеющих распределение Бернулли, то характеристическая функция их суммы по предыдущему утверждению будет выглядеть следующим образом (см. слайд). Мы видим, что данное произведение никак нельзя представить в виде e^itp + q, то есть тут будут разные степени у е фигурировать, поэтому распределение Бернулли не является устойчивым по суммированию. Но можно заметить, что при конкретном значении параметра р мы получим характеристическую функцию для биномиального распределения, она также будет получена на практическом занятии 2. Сумма распределения Бернулли окажется биномиальным распределением, если параметры одинаковые. Если параметры разные, то никакое хорошее распределение мы не получим.

Рассмотрим второй пример. Также на практическом занятии 1 в качестве примера мы разобрали нахождение характеристической функции для равномерного распределения. Докажем, что данное распределение устойчивым являться не будет.

На слайде приведена формула характеристической функции. Соответственно, если рассмотрим систему из m независимых в совокупности случайных величин, имеющих равномерное распределение, то распределение их суммы будет выглядеть следующим образом (см. видео). Опять же данное произведение мы никак не представим в виде последнего множителя (см. видео). А значит, мы можем утверждать, что распределение устойчивым не является. Попробуйте доказать этот факт без использования характеристической функции. Здесь можно воспользоваться геометрической вероятностью, если рассмотреть совокупность из 2х, 3х и более равномерных распределений.

Также характеристические функции применяются при доказательстве сходимости по распределению.

Так, последовательность случайных величин сходится по распределению к случайной величине ξ, если ее функция распределения в каждой точке сходится к закону распределения случайной величины ξ, где F_n – закон распределения случайной величины ξ_n, а F(x) – это закон распределения случайно величины ξ.

Тогда имеет место теорема о непрерывном соответствии. Пусть Ψ(t) – характеристическая функция величины ξ, где функция Ψ непрерывна в нуле, а Ψ_n(t) последовательность характеристический функция для величины ξ_n.

Тогда ξ сходится к величине ξ по распределению при n стремящемся к бесконечности тогда и только тогда, когда ее характеристическая функция поточечно сходится к характеристической функции величины ξ_. Данная теорема может быть использована при доказательстве закона больших чисел или центральной предельной теоремы, то есть данная теорема достаточно активно используется при доказательстве сходимости последовательности случайных величин. На этом теоретический материал закончен, переходите к практическому занятию 2.