Математика. Материалы курса

Тема сегодняшней лекции «Характеристическая функция случайной величины». Мы познакомимся с таким понятием, как характеристическая функция, и поймем, каким же образом характеристическая функция помогает нам при изучении случайных величин. На первой лекции мы научимся считать характеристические функции и узнаем свойства характеристической функции. На второй лекции мы посмотрим композицию случайных величин, также посмотрим, чем же еще полезна характеристическая функция.

Характеристической функцией случайной величины ξ называют неслучайную функцию параметра t – Ψ_ξ(t), которая равна математическому ожиданию функции е^itξ, где i – это мнимая единица. То есть Ψ – это некоторая функция, которая в качестве аргумента принимает действительные числа, а значениями ее будут комплексные числа. При этом если с наша случайная величина ξ имеет дискретное распределение, то есть принимает значение x_k с вероятностью p_k, то характеристическая функция данной случайной величины может быть вычислена как сумма, приведенная на слайде. Если же случайная величина – непрерывная, то есть ее закон распределения задается плотностью распределения, то характеристическая функция будет задана как преобразование Фурье. Обратите внимание, оно также приведено на слайде. Мы знаем, что если у нас известно преобразование Фурье некоторой функции, то достаточно легко восстановить саму функцию. То есть, если известно характеристическая функция непрерывной случайной величины, то по ней легко восстановить плотность распределения, достаточно лишь использовать обратное преобразование Фурье. Для тех, кто не знаком с преобразованием Фурье, советую посмотреть литературу, то есть мы подробно на свойствах преобразования Фурье останавливаться не будем. При этом, так как у нас распределение случайной величины однозначно восстанавливается по ее характеристической функции, то у случайных величин, имеющих одинаковое распределение, будут одинаковые характеристические функции. Это верно и наоборот. Если у случайных величин одинаковые характеристические функции, то и распределения у них будут одинаковыми.

Рассмотрим, какими же свойствами обладает характеристическая функция случайной величины. Первое свойство говорит о том, что у любой случайной величины характеристическая функция определена в любой точке, при этом модуль значения характеристической функции никогда не будет превосходить 1. Вспомним, что значения характеристической функции – комплекснозначные, и это свойство означает, что все значения характеристической функции будут лежать внутри или на границе единичного круга. Докажем этот факт для непрерывных случайных величин, аналогичное доказательство можно применить и для дискретных случайных величин. Модуль интеграла всегда не превосходит интеграла от модуля. При этом внутри у нас под модулем стоит плотность распределения, которая является действительнозначной и неотрицательной, а значит, ее можно вынести из-под модуля, и под модулем останется функция е^itх. По формуле Эйлера е^itх можно представить, как cos(tx)+i*sin(tx). У данного комплексного числа модуль равен cos²(tx)+sin²(tx). А мы знаем, что значение этого выражения всегда равно 1. Это значит, что модуль нашей характеристической функции никогда не будет больше 1. Значит, утверждение доказано.

Рассмотрим следующее свойство. В точке 0 любая характеристическая функция примет значение 1. В этом легко убедиться. Просто подставить выражение t=0, тогда е^itх превратится в 1. И мы получим интеграл от плотности распределения, который, как мы знаем, в силу верности условия нормировки, равен 1.

Следующее свойство. Для четных плотностей распределения характеристическая функция окажется действительнозначной. То есть рассмотрим сопряженное характеристической функции. Опять же докажем для непрерывных случайных величин. Сделаем замену в интеграле. Пусть у=-х, тогда dy=-dx. Подставим эту замену. Причем обратим внимание, что если x стремится к -∞, то у будет стремиться к +∞ и наоборот. Тогда у нас будет минус интеграл от +∞ до -∞: е^itу, умноженное на плотность распределения в точке –y. При смене границ, то есть у интеграла поменяем верхний и нижний предел, минус уйдет. Так как плотность распределения является четной, то минус также уйдет у аргумента. А значит, мы получим характеристическую функцию величины ξ. Получим, что сопряженное значение в точке t совпадает со значением функции в точке t, а значит, в данной точке мнимая часть отсутствует. Это верно для любых значений t. Это значит, что у всех значений характеристической функции отсутствует мнимая часть, то есть функция является действительнозначной.

Следующие свойство. Чтобы его рассмотреть, мы сначала продифференцируем равенства по переменной t. Сделаем это k раз. Таким образом, мы получим что k-ая производная характеристической функции может быть вычислена способом, который представлен на экране (см. видео). Заметим, что если в качестве переменной t подставить значение 0, то в правой части е^itх превратиться в 1. Мы получим ни что иное, как математическое ожидание ξ^k. Таким образом, k-ая производная характеристической функции в 0 будет равна i^k, умноженное на математическое ожидание k-ой степени случайной величины. А значит, из этого равенства можно вычислить это математическое ожидание. Выразим, получим формулу приведенную на слайде. Найдем основные числовые характеристики случайной величины. Как мы знаем это математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание получим при k=1, то есть это будет –i умножить на производную первой степени в 0. Если же мы хотим найти дисперсию, то здесь удобно вспомнить, что дисперсию можно посчитать по формуле: М(Х²) – (М(Х))². М(Х²) мы получим по верхней формуле, при подстановке k=2, и вычтем знакомое нам математическое ожидание, причем в квадрате, поэтому минусу уйдет. Если мы подставим k=2, то получим (–i)², это тоже самое, что i²=–1. Поэтому мы получим минус вторую производную в 0 характеристической функции и минус квадрат математического ожидания. Когда мы будем считать квадрат математического ожидания, у нас там будет (–i)², который также дает –1. Соответственно, минус умножить на минус, минус уйдет. Мы получим, что дисперсии можно вычислить, как квадрат первой производной характеристической функции в 0 минус вторая производная характеристической функции в 0.

На этом свойства, рассмотренные на текущей лекции, закончены, а на следующей лекции мы уже поговорим про последовательности случайных величин и характеристические функции, связанные с ними.