Математика. Материалы курса

Тема «Непрерывные случайные величины». Мы ее рассмотрим, как на практическом занятии, так и на лабораторной работе. 

На практическом занятии решим стандартные задачи (на вычисление числовых характеристик, на получение плотности распределения). А на лабораторной работе мы закрепим полученные знания с использованием программы Microsoft Excel. Данный видеоролик посвящен практическому занятию.

Давайте рассмотрим первую задачу. Пусть у нас есть стержень длины 5 сантиметров, и он на удачу ломается на две части (будем считать, что слом ровный). ξ – это длина левой части. Требуется найти плотность распределения величины ξ и построить ее график. Когда мы хотим решить такого плана задачу, то сначала удобно найти не плотность распределения, а функцию распределения данной случайной величины. Поэтому зададим функцию распределения случайной величины ξ в точке x.

Давайте поймем: какие же значения случайные величина ξ может принимать? Если мы разломили очень-очень близко к левому краю, то она почти 0, если же мы разломи ли очень-очень близко к правому краю, то она практически 5. То есть на самом деле, случайная величина ξ принимает значения от 0 до 5. Но будем считать, что по 0 мы никак не разломим. Поэтому функция распределения равна 0 при x≤0, и 1 – при x>5, так как значения она принимает только из промежутка от 0 до 5.

Осталось найти значение функции распределения на промежутке от 0 до 5. Так как стержень ломается на удачу, то координата разлома x может равновероятно попасть в любую точку. Воспользуемся геометрической вероятностью. Вспомним, что функция распределения случайной величины не что иное, как вероятность того, что данная случайная величина приняла значение, меньшее x. Если x лежит на промежутке от 0 до 5, то вероятность того, что длина отрезка не превосходит x, равна отношению длины x к длине всего отрезка (5). Значит, здесь будет x/5 (см. видео). Найдем плотность распределения. Для этого функцию нужно продифференцировать. На данных промежутках (х не принадлежит (0, 5)) функция равна константам, поэтому там производная равна 0, и она равна 1/5, если x из промежутка (0, 5). Еще нужно построить график. Изобразим оси координат. По оси абсцисс откладываем значение случайной величины ξ, по оси ординат – f_ξ(х) (см. видео). В начале координат значение функции – 0. Отметим значение 1/5. Получим вот так. И дальше опять 0. То есть такая «полочка» получится (см. видео). Мы продемонстрировали случайно величину, имеющую равномерное распределение. Понятно, что в задачах не обязательно будут получаться такие случайные величины. Здесь мы показали, что в действительности очень часто встречается данные распределение.

Рассмотрим другой пример. Пусть дана плотность распределения вероятности некоторой случайной величины (см. слайд), но обратите внимание, она дана нам не полностью, у нас есть какая-то неизвестная константа c. Нужно найти эту константу и числовые характеристики. То есть нужно также найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Как же нам найти константу? Первое, что вспоминается, что не любая функция может быть плотностью распределения. Важное свойство плотности распределения состоит, во-первых, в том, что она не отрицательна. Сразу же понимаем, что значение c не могут быть отрицательным. И второе важное свойство «условие нормировки» говорит о том, что интеграл на всей числовой оси от плотности распределения равен 1. А раз он равен 1, то мы можем подставить данную функцию и получить значение константы с. Так как нули располагаются вне промежутка от 0 до 4, то получим интеграл от 0 до 4 (см. видео), который равен 1. Подставляем 4, получаем 8. Подставляем 0, получаем 0. Поэтому 8c = 1, то есть с = 1/8. Иначе можно было просто посчитать площадь под графиком. То есть наша функция – это некоторая линейная функция, а условие нормировки нам говорит о том, что площадь под графиком равна 1. Здесь у нас площадь треугольника с основанием 4 равна 1, значит высота этого треугольника – ½, здесь у нас точка (4, ½), а, значит, коэффициент – 1/8.

Найдём математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение для данной случайной величины. Давайте еще раз я перепишу. Плотность распределения данной случайной величины (на самом деле индекс ξ писать не обязательно, чаще всего его пишут, когда нужно различать случайные величины) будет равна 0, если x не принадлежит промежутку от 0 до 4; и 1/8*x, если x принадлежит данному промежутку (смотри видео). Тогда математическое ожидание данной случайной величины будем вычислять как интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности xf(x)dx. Вычисление интеграла (см. видео). Результат – 64/24 или 8/3.

Найдём дисперсию. При вычислении дисперсии для непрерывных случайных величин удобно пользоваться дополнительной формулой. Dξ=Мξ² – (Мξ)². Математическое ожидание мы уже знаем, это 8/3. Осталось найти (Мξ)². Вычисления (см. видео). 256 делим на 32, получаем 8. Итого получаем 8 – (8/3)². Получаем 8/9 – это дисперсия. Всегда проверяйте себя. Дисперсия случайной величины не может быть отрицательной, потому что это средний квадрат, квадрат всегда неотрицательный. Поэтому проверили, что отрицательное число мы не получили – хорошо. Но тогда среднеквадратичное отклонение σξ =√Dξ = 2√2/3. Таким образом, задача решена.

Иногда плотность распределения случайной величины задается не функцией, а графиком. В этом случае все то же самое, такой пример рассматривать не будем.

Рассмотрим пару задач на стандартное распределение, рассмотренное во второй лекции данного раздела (см. видео). Первое распределение, которое мы рассмотрим – показательное. Напомню, что случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром α, если ее плотность распределения задается следующей формулой: (см. видео). Вот, собственно, этим и воспользуемся. Нам известно, что вероятность того, что станок не откажет за 5 часов работы равна числу, приведенному на слайде. Если T – это время безотказной работы, то «станок не откажет за 5 часов» означает, что время работы будет больше пяти часов (Т>5). Дальше можно действовать двумя способами. Это интеграл от 5 до плюс бесконечности (или можно было из 1 вычесть интеграл от 0 до 5) от αе^-αxdx (обращаю ваше внимание, что α мы пока не знаем). Если проинтегрировать, то получим (см. видео) 1–е^-αх в границах от 5 до плюс бесконечности. И вот эта вероятность равна 0,63212. Тогда е^-5α = 1–0,63212=0,36788). Прологарифмируем. Получим, что -5α=-0,99998…, примерно 1. А значит, α примерно равно 0,2. Тогда мы понимаем, что наша случайная величина имеет показательное распределение с параметром 0,2.

Требуется найти дисперсию случайной величины. На лекции мы показали, что дисперсия такой случайной величины равна 1/α². То есть 1/0,2. Получим 25. Задача решена.

Рассмотрим последнюю задачу. Теперь у нас уже нормальное распределение. Давайте вспомним, что случайная величина имеет нормальное распределение, если ее плотность вычисляется по следующей формуле (см. видео), где а – это математическое ожидание (среднее значение нашей случайной величины), а σ² – это дисперсия (среднеквадратическое отклонение). При этом, нам известно, что а равно 25, то есть наша случайная величина имеет нормальное распределение с параметром 25. σ² пока неизвестно. Откуда же мы можем его найти? Например, из второго условия. Мы знаем, что вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 20 до 30 равна 0,2. Вот это (так как 25 – серединка этого интервала) мы можем записать, как вероятность того, что |ξ–25|<5. А я и запишу еще вот так: (см. видео). И вот эта вероятность равна 0,2. Величина (ξ–25)/σ имеет стандартное нормальное распределение. Поэтому мы знаем, как получить ответ (см. видео). А значит, ɸ(5/σ)=0,6. Дальше встает вопрос: найти аргумент функции ɸ по его значению. Как здесь быть? Варианта два. Так как функция ɸ, мы знаем, не записывается аналитически, то она является табличной, то есть все ее значения занесены в специальные таблицы. Единственное, на что нужно обращать внимание, это на то, какую функцию называют «функция Лапласа». Там есть свои нюансы. Следите, чтобы это был интеграл от минус бесконечности до x, тогда можно пользоваться выведенными на лекции формулами (если другая, то там все будет по-другому).

В данном задании воспользуемся MS Excel (я уже посчитала заранее). Обратите внимание, мы используем функцию НОРМ.СТ.ОБР параметром 0,6 (см. видео). ОБР означает «обратно», то есть мы по значению получаем аргумент. Тогда вот это значение (см. видео) равно примерно 0,25, а значит, σ примерно равно 20. Нам надо найти вероятность попадания на промежуток от 35 до 40. Также сведём к стандартной случайной величине, то есть вычтем 25 и поделим на σ = 20 (см. видео). Это можно вычислить через значение функции Лапласа в точке 0,75 минус значение функции Лапласа в точке 0,5. Снова воспользуемся MS Еxcel. Здесь уже наоборот, нам по аргументу нужно значение, поэтому используется функция НОРМ.СТ.РАСП. У нее два параметра, первый – это аргумент, второй – это интегральная или дифференциальная функция. Нас интересует интегральная функция, поэтому второй параметр здесь 1. Аналогично вычисляем значение функции Лапласа в точке 0,5. Ответ: примерно 0,773 и 0,691. Давайте я не буду считать, посмотрим в MS Excel, вычислена разность этих значений: примерно 0,082 – это вероятность попадания на интересующий нас промежуток. На этом задача решена. Аналогичные задачи будут на практическом занятии. Можно приступать к решению этих задач, ролик для лабораторной работы будет отдельно. Спасибо за внимание.