Математика. Материалы курса

На этой лекции рассмотрим частные случаи распределений случайных величин.

На практике часто встречаются определенные виды случайных величин.

Для дискретных случайных величин мы рассмотрели такие распределения, как альтернативное распределение, биномиальное распределение, распределения Пуассона.

Для непрерывных случайных величин также есть наиболее популярные распределения, и первое распределение мы уже рассматривали ранее - это равномерное распределение.

Случайная величина имеет равномерное распределение, если все ее значения лежат на промежутке [а, b], и плотность распределения на этом промежутке равна константе, за пределами данного промежутка плотность будет равна нулю.

При этом математическое ожидание такой случайной величины будет равно середине отрезка, а дисперсия будет равна (b – a)² / 12. Доказательство приведено на слайде (см. видео).

Также достаточно часто на практике встречается показательное распределение, например оно, является основой теории надежности.

Случайная величина имеет показательное распределение, если ее значения неотрицательны, и плотность распределения равна ae^-ax,где a (альфа) - это некоторое положительное число, a является параметром экспоненциального распределения, то есть для разных систем этот параметр будет различен.

Важное свойство показательного или экспоненциального распределения - это отсутствие памяти, такое же свойство мы замечали у геометрического распределения, когда рассматривали дискретные случайные величины.

Предлагаю это свойство вам доказать самостоятельно.

Также нужно рассмотреть некоторые преобразования случайных величин, дающие экспоненциальное распределение: 1) Пусть x ~ E(a), η = ax, тогда η ~ E(1); 2) Пусть x ~  R(0, 1), η = (-1/a)Inx, тогда η ~ E(a), также они приведены на слайде (см. видео).

Совокупность этих двух преобразований дает нам возможность получить случайную величину, имеющую экспоненциальное распределение, когда мы можем сгенерировать лишь равномерно распределенное случайное число. Это нужно для моделирования работы некоторых технических устройств.

Найдем же математическое ожидание и дисперсию. Предлагаю все вычисления провести самостоятельно. То есть, так как значения лежат на промежутке от 0 до +∞, то интеграл будет именно в этих пределах. Вычислите интегралы самостоятельно, вспомнив свойства интеграла из математического анализа.

И третье распределение называется нормальным. Оно так называется именно потому, что оно наиболее часто встречается в реальности. Более того, нормальное распределение является предельным для биномиального, которое появляется в результате проведения повторных независимых одинаковых опытов. Поэтому очень часто, когда мы будем рассматривать математическую статистику, мы будем вспоминать именно нормальное распределение и его производные.

Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами a и σ², при σ > 0, если ее плотность распределения имеет вид, приведенный на слайде (см. видео). Функция достаточно сложная, поэтому ее необходимо запомнить. При этом если мы возьмем нормальное распределение с параметрами 0 и 1(x₀ ~ N(0, 1)), то мы получим стандартное нормальное распределение. Его формула плотности приведена на слайде (см. видео).

Случайная величина, имеющая нормальное распределение может принимать любые действительные значения, при этом плотность распределения имеет вид, приведенный на слайде (см. видео). То есть, она имеет достаточно большие значения в некоторой ограниченной области и практически равна нулю за ее пределами. Чем больше σ², тем более плоской является плотность. Давайте поймем с чем это связано чуть позже.

Введем функцию Лапласа. Функцией Лапласа называется функция, имеющая следующий вид (см. видео). У этой функции рассмотрим некоторые свойства: 1) Ф(0) = 0,5 (в нуле данная функция равна 0,5).Так как подынтегральная функция не отрицательна, то Ф(x) возрастает при увеличении x, при этом, при x, стремящемся к -∞, Ф(x) стремится к нулю, а при x стремящемся к +∞, Ф(x) стремится к единице. 2) Ф(-x) = 1 – Ф(x). Еще одно полезное свойство, которым мы будем пользоваться, оно также нам пригодится в дальнейшем при вычислении вероятности.

Если нам необходимо найти значение функции Ф(x), то можно в MS Excel воспользоваться функцией НОРМ.СТ.РАСП, при этом у нее есть два параметра: 1) аргумент – точка, в которой мы хотим посчитать значение;2) ноль или единица.

Если мы хотим вычислить функцию Лапласа, то нужно указать параметр единица, если мы хотим посчитать дифференциальную функцию Лапласа, то есть без интеграла, тогда указываем ноль. Заметим, что данная функция - это интеграл от плотности распределения нормальной случайной величины, то есть функция распределения стандартной нормальной случайной величины не что иное, как функция Лапласа. Тогда вероятность попадания на промежуток для данной функции можно вычислить как разность значений функции Лапласа в точках b и a.

Довольно часто встречается задача нахождения вероятности отклонения от нуля, то есть вероятность того, что стандартно распределенная случайная величина отклоняется от нуля не более чем на некоторое значение e.

Воспользуемся вторым свойством функции Лапласа, получим, что эта вероятность вычисляется как 2Ф(e) – 1, то есть нам важно, что значения в точках e и -e связаны. Если же мы рассмотрим в общем виде, давайте введём случайную величину (x-a)/σ, то можно заметить, что данная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Тогда ее функция распределения будет функцией Лапласа с параметром (x- 1)/σ, а вероятность попадания данной случайной величины на промежуток (a; b) будет вычисляться по формуле, приведенной на слайде (см.  видео).

Аналогично, отклонение от мат. ожидания не более чем на x, можно посчитать как 2Ф(x/σ) – 1. Иногда удобно пользоваться сразу этой формулой, иногда удобно сводить случайную величину к стандартной случайной величине. Нетрудно показать, что для нормального распределения параметр а - это математическое ожидание, а параметр σ² - это дисперсия.