Математика. Материалы курса

Предыдущие две лекции были посвящены случайным величинам, на них мы дали определение случайной величины, показали, что бывают дискретные случайные величины (их мы рассмотрели подробно), непрерывные случайные величины и смешанные.

Сегодняшнюю лекцию посвятим непрерывным случайным величинам. Давайте поймем, что непрерывная случайная величина имеет множество значений, которое является либо промежутком, либо набором некоторых промежутков. Тогда множество значений случайной величины имеет мощность континуум, то есть оно более чем счётно, его нельзя пересчитать натуральными числами.

Если у нас каждое значение лежит на промежутке, тогда вероятность попасть в конкретную точку на самом деле равна нулю. Это не сложно проверить, посчитав вероятность попадания на промежуток и устремив величину этого промежутка к нулю, то есть, сведя отрезок к одной точке. Таким образом, непрерывные случайные величины рядом распределения задавать нельзя. Что же делать?

Давайте для начала введём универсальный способ задания случайной величины - это функция распределения. Функция распределения - это такая функция, которая каждому числу на числовой оси задает вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем это число. На рисунке показан промежуток, вероятность попадания в котором задается для числа x (см. видео). Таким образом, функция распределения случайной величины задана на всем множестве действительных чисел, при этом, так как это вероятность, то ее значения могут быть от нуля до единицы.

Рассмотрим пример. Пусть некоторая точка наугад бросается на отрезок [0; 1], либо в общем случае – [a, b]. Тогда, если в качестве случайной величины (мы с вами говорили, что случайные величины в одном и том же опыте можно рассматривать разные) мы рассмотрим координату точки, тогда это точка равновероятно может попасть в любую точку отрезка.

Как же найти функцию распределения? Функцию распределения можно найти, используя геометрическую вероятность - это будет отношение длины отрезка левее нашей точки к длине всего отрезка. Такая величина называется равномерно распределенной на отрезке, так как все точки с равной вероятностью могут быть получены.

Первое свойство мы уже проговорили: 0 ≤ F(x) ≤ 1 (значение функции распределения может быть от нуля до единицы, так как эта вероятность). При этом давайте поймем, что вероятность попадания на больший промежуток не меньше, чем вероятность попадания на меньший промежуток, поэтому функция F(x) является не убывающей.

Так как F(x) - неубывающая, то при x, стремящемся к -∞, она принимает либо наименьшее значение, либо стремится к не которому самому маленькому значению. Для функции распределения обязательно это будет 0, так как F(x) будет стремиться к вероятности невозможного события x < -∞, а это не что иное, как 0. Если же мы x устремим к +∞, то здесь наше событие x < x будет стремиться к достоверному, поэтому вероятность будет стремиться к единице, а значит, функция распределения на бесконечности стремится к единице.

Если значения случайной величины распределены в некотором промежутке (то есть мы знаем, что значения случайной величины не могут быть меньше числа a, и не могут быть больше числа b), то на промежутке (-∞; a) функция распределения этой случайной величины равна нулю, [a; b] - она возрастает или не убывает к единице, и на промежутке (b, +∞) – она обязательно будет равна единице, так как все значения будут меньше любой точки для этого промежутка.

Следующее свойство. Давайте поймем, как же найти вероятность попадания этой точки на отрезок [x₁; x₂)? Найдем вероятность попадания данной точки на промежуток [x₁; x₂). Обратите внимание на расстановку знаков неравенства, если мы говорим про дискретную случайную величину, то это важно. Для непрерывной случайной величины, так как вероятность попадания в точку равна нулю, знаки можно расставить и по-другому, то есть нестрогое неравенство заменить на строгое, и наоборот. Представим наш промежуток как разность двух полуосей: 1 полуось – это x < x₂ и 2 полуось – это x < x₁, тогда вероятность попадания на промежуток - это будет разность вероятностей попадания на эти полуоси. По определению - это F(x₂) – F(x₁).

И последнее свойство, которое мы рассмотрим, говорит нам о том, что функция распределения непрерывна слева. Если же говорим про непрерывные случайные величины, то функция распределения будет абсолютно непрерывной, то есть случайная величина непрерывна тогда и только тогда, когда ее функция распределения также непрерывна.

Но функция распределения хорошо задает случайную величину, но достаточно плохо позволяет соотнести вероятности появления разных точек. Например, и там, и там – 0, но какая же из этих двух точек будет появляться чаще? Ряд распределения очень четко нам дает ответ на этот вопрос, а вот функция распределения уже не дает такого ответа, поэтому для непрерывных случайных величин чаще всего рассматривается дифференциальная функция распределения, или плотность распределения, которая позволяет сравнивать частоту появления того или иного значения.

Плотностью распределения случайной величины назовем производную функции распределения, причем функцию распределения можно посчитать как интеграл от -∞ до x, от плотности распределения. Заметим, что плотность распределения тем больше, чем плотнее появляются точки на малой окрестности изучаемого значения, поэтому мы можем сравнивать, как часто встречается то или иное значение.

Рассмотрим пример. Пусть некоторая точка бросается на промежуток [a; b], а случайная величина по-прежнему, это координата данной точки. Найдем плотность распределения этой случайной величины. Продифференцируем функцию: F¢_x(x) = (x - a) / (b –a) = 1 / (b - a). Обратите внимание, что это значение плотность вероятности принимает только на промежутке от a до b, за пределами данного промежутка плотность распределения равна нулю. Так как функция распределения за пределами этого промежутка постоянна, при значениях от -∞ до a - функция распределения была равна нулю, поэтому его производная также равна нулю, a на промежутке от b до +∞ - функция распределения была равна единице, значит, ее производная будет также равна нулю.

Таким образом, для равномерно распределенной случайной величины плотность распределения является константой, которая равна единице, деленной на длину отрезка: 1 / (b – a), за пределами данного отрезка плотность распределения равна нулю.

Свойства плотности распределения.

1) f(x) ≥ 0 (плотность распределения не отрицательна). Это следует из того, что функция распределения неубывающая.

2) Интеграл от -∞ до +∞ от f(x)dx = 1 (интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения равен единице). То есть в какую-то точку мы обязательно попадем. Это можно также доказать, используя равенство, что функция распределения равна интегралу от -∞ до x от плотности распределения, и верхний предел мы можем устремить к +∞. Тогда мы получим в пределе значение функции распределения в точке +∞, а это значение равно единице. Данные условия позволяют нам проверять себя при решении задач и решать некоторые другие задачи.

3) P(x₁ ≤ x < x₂) = интеграл от x₁ до x₂ f(t)dt (вероятность попадания на промежуток вычисляется как интеграл от x₁ до x₂ от плотности распределения).

Иногда важно понять, каким же образом из одной случайной величины можно получить другую. То есть, если у нас есть какая-то случайная величина, функционально зависящая от первой, при этом функция j действует из множества действительных чисел в множество действительных чисел, либо она может действовать не из всего множества действительных чисел, а только лишь из множества, которое накрывает область значений случайной величины x, такой вариант нам тоже подойдет. Тогда данная функция называется функцией случайной величины, при этом обратите внимание, что j – не случайная функция.

Часто перед нами стоит задача найти закон распределения случайной величины η, если закон распределения случайной величины x уже известен. Это задача в общем случае не решается, можно решать для каждой задачи отдельно, используя функцию распределения, либо для некоторых классов эта задача решена, например, в общем виде можно получить закон распределения для линейного преобразования случайной величины. Попробуйте сделать это самостоятельно, алгоритм нахождения закона распределения приведён на слайде (см. видео). То есть мы записываем функцию распределения новой случайной величины и заменяем эту новую случайную величину на исходную.

Обратите внимание, что при преобразовании непрерывной случайной величины мы не всегда получим также непрерывную случайную величину. Например, если функция j кусочно-постоянная (например, sng – сигнум, или аналогичные ей), тогда преобразование непрерывной случайной величины может быть и дискретным.

Рассмотрим числовые характеристики непрерывных случайных величин.

На прошлой лекции мы сказали, что основными характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия, где математическое ожидание - это среднее значение случайной величины, для дискретных величин - это среднее арифметическое взвешенное, то здесь это будет просто интеграл. То есть мы рассмотрим предел суммы, а это есть не что иное, как интеграл. Поэтому математическое ожидание непрерывной случайной величины можно вычислить как интеграл от -∞ до +∞ от xf_x(x)dx, где f_x(x) - эта плотность.

Если нам нужно найти математическое ожидание не самой случайной величины, а какого-то ее преобразования η = j(x), тогда это математическое ожидание можно вычислить как интеграл от j(x)∙f(x), где f(x) - это плотность случайной величины x (довольно часто эта формула удобна на практике).

Вторая числовая характеристика, которую мы рассматривали - это дисперсия (средний квадрат отклонения или по-другому математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины).

Для непрерывных случайных величин она вычисляется как интеграл, или мы можем использовать формулу, которую также выводили на предыдущей лекции, она приведена на слайде (см. видео).