Математика. Материалы курса

Практическое занятие «Дискретные случайные величины»

Вспомним, что дискретные случайные величины имеют дискретное множество значений, то есть конечное или счетное. При этом дискретная случайная величина задается рядом распределения, то есть у нас есть некоторое множество значений, и закон распределения задается просто присваиванием этим значения вероятностей р₁, р_2, …, р_n. Если мы все эти вероятности запишем в табличку – значения и вероятностей, то получим ряд распределения. Вспомним, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1, так как события вида ξ =x_i и образуют полную группу событий.

Приступим к решению задач. Рассмотрим следующий пример. Пусть у стрелка есть три пули, и он стреляет мишень до первого попадания, при этом если стрелок попал, то дальше он стрелять не будет. Требуется найти количество промахов, то есть построить ряд распределения. Промахов может быть от 0, если он попал в первого раза, до 3, если он ни разу не попал. Построим сразу табличку (см. видео). Когда бывает 0 промахов? Когда стрелок попал в первого раза. Вероятность попадания равна 0,6. Значит здесь вероятность 0,6. Когда будет 1 промах? В первый раз стрелок должен промахнуться, а во второй попасть. Тогда вероятность промаха 0,4. Вероятность того, что во второй раз он попадет, 0,6. Всего получается 0,4*0,6=0, 24. Вычисления лучше делать отдельно, а в таблицу уже записывать конечное значение. Когда будет 2 промаха? Первый раз должен промахнуться, второй раз промахнуться и только в третий раз попасть. Мы получим 0,4²*0,6=0,96. И последние три промаха в случае, если все три раза стрелок промазал, это будет 0,4³= 0,064. Давайте проверим, что мы все хорошо посчитали, то есть нигде не ошиблись. Мы помним, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Тогда 0,6+0,24+0,096+0,064=1. Значит, вероятность того, что мы посчитали правильно, высока, то есть не забывайте себя проверять при решении задач, очень часто такая проверка позволяет найти достаточно много ошибок.

Рассмотрим другой пример. Пусть дискретная случайная величина загона рядом распределения. Он приведен на слайде. Нам требуется найти вероятность того, что она попала на промежуток от 1 до 2,5. Какие же значения попадают на данный промежуток? -1 не попадает, она меньше единицы, 1 попадает, а вот 5 уже не попадает. Поэтому вероятность того, что случайная величина попала на данный промежуток, равна вероятности того, что случайная величина приняла значение 1. А эта вероятность равна 0,3.

Второе, что от нас требуется, найти – это математическое ожидание случайной величины. Вспомним, что это – среднее взвешенное. В нашем случае, это будет -1*0,2+1*0,3+5*0,5=-0,2+0,3+2,5=2,6. Это математическое ожидание.

Найдем дисперсию. Дисперсия случайной величины ξ – это квадрат центрированной случайной величины. В лекции мы использовали более удобную формулу, давайте здесь попробуем посчитать по определению. Для тех, кто хочет вторым способом, загляните в лекцию. То есть построим вот такую случайную величину (см. видео). Величина ξ принимает следующие значения: -3,6 с вероятностью 0,2. -1,6 с вероятностью 0,3. 2,4 с вероятностью 0,5. Получили следующий ряд распределения (см. видео). Нам нужен квадрат (ξ -Мξ)². Давайте считать (см. видео). 12,96 с вероятностью 0,3. 2,56 с вероятностью 0,3. 5,76 с вероятностью 0,5. Такой ряд распределения мы получили для квадрата центрированной случайной величины. Тогда дисперсия: 12,96*0,2+2,56*0,3+5,76*0,5=2,592+0,768+2,88=6,24. Это все можно считать, конечно, на калькуляторе.

Заметьте, что если бы мы дисперсию считали по формуле (см. видео), то количество вычислений было бы меньше, то есть вычисления сами были бы проще. Поэтому для ручных вычислений обычно используются последняя формула. Проверьте, что вы получите то же самое по этой формуле. А на компьютере чаще всего мы считаем по определению.

Рассмотрим следующий пример. Пусть вероятность решить задачу для первого студента 0,2, для второго 0,5, а для третьего 0,7. Одну задачу дали этим трем студентам. Студенты не общаются, будем считать, что они сидят разных комнатах. Найти среднее число студентов, решивших эту самую задачу. Опять же это число может быть нецелым.

Составим ряд распределений, где ξ – число решивших задачу. Никто не решил: 0,12. трое решили: 0,07. Один решил: 0,2*0,5+0,3+0,8*0,5+0,8*0,5=0,43. Вероятность того, что ровно двое решили, вам нужно вычислить самостоятельно. А я ее вычислю так 1 минус все, что у нас есть. Значит, 0,38. Мы получили ряд распределения.

А найти-то нам надо среднее число студентов, решивших задачу. Значит, нам надо найти математическое ожидание: 0*0,12+1*0,43+2*0,38+3*0,07=0,43+0,76+0,21=1,4.

Давайте посмотрим интересную закономерность. Что такое 1,4? Если возьмем 0,2; 0,5 и 0,7, сложим их и также получим 1,4. Это не случайно, так как мы можем рассмотреть вместо случайной величины ξ₁, Мξ₁=0,2. Случайную величину ξ₂ – это количество задач, решенных вторым студентом, ее математического ожидание = 0,5. И для третьего студента = 0,7. Тогда наша случайная величина ξ – это не что иное как сумма трех случайных величин ξ₁+ξ₂+ξ₃, а значит и ее математическое ожидание равно сумме математических ожиданий этих случайных величин.

Последний пример. Мы знаем, что случайная величина может принимать два значения x₁ и x₂, при этом обратите внимание что сами x₁ и x₂ мы не знаем. Давайте пока так и запишем. x₁ с вероятностью 0,3, x₂ с вероятностью 0,7. При этом мы знаем, что математическое ожидание = 2,7. x₁*0,3+ x₂*0,7=2,7 и дисперсия = 0,21. Давайте мы воспользуемся формулой x₁²*0,3 + x₂²*0,7-2,7² =0,21. Требуется найти x₁ и x₂. Чтобы их найти, достаточно решить вот эту систему (см.видео), где одно уравнение линейное, а второе квадратное. Решать эту систему достаточно просто выразить x и подставить во второе. Получится квадратное уравнение, которое имеет два корня. Но нам подойдет только один. То есть в одном случае x₁<x₂, а в другом случае x₁>x₂. Проверьте, что решение данной системы будет следующее: x₁=2, x₂ =3.

Можно приступать к решению задач с листочка. Часть практических заданий будет посвящена решению задач, другая часть будет посвящена вычислению в Еxcel, для этого будет отдельный ролик.