Математика. Материалы курса

Тема сегодняшнего занятия  «Случайные величины».

Большую часть времени мы уделим частному случаю случайной величины - дискретным случайным величинам, но для начала введем понятие случайной величины.

Случайная величина - это некоторая функция, которая в результате опыта принимает некоторое значение, то есть, когда проводится опыт (например, подбрасывается игральная кость), то в результате опыта мы можем получить некоторое число (например, выпавшую грань) - это и будет случайной величиной. Там же можно вводить и другие случайные величины. Символом Ω_x (омега с индексом кси) будем обозначать множество всевозможных значений случайной величины x. Здесь нужно быть всегда аккуратным и не путать множество значений случайной величины и множество всех элементарных исходов некоторого опыта, потому что это не всегда одно и то же.

Случайные величины можно разделить на три вида:

1) Дискретные. Дискретные случайные величины - это те случайные величины, когда множество значений конечно или счётно (счётно, то есть можно перенумеровать натуральными числами).

2) Непрерывные. Случайные величины называются непрерывными, если множество значений этой случайной величины является интервалом или набором интервалов.

3) Смешанные. Все остальные случайные величины будут смешанными, про них мы говорить не будем, то есть в нашем курсе мы остановимся только на дискретных и непрерывных случайных величинах.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть опыт - это бросается игральная кость, то рассмотренное нами множество значений Ω_x = {1,2,3,4,5,6} - это значение некоторой случайной величины x. Если в качестве случайной величины мы возьмем не количество выпавших очков, а количество выпадений шестерки, то тогда случайная величина будет принимать значения 0 или 1 (значение 0 будет в случае, если выпала не шестерка, значение 1, если шестерка выпала).

Другой опыт. Пусть монета бросается до первого выпадения герба. Мы это уже рассматривали, когда изучали повторные независимые опыты. Тогда, в качестве случайной величины x мы можем, например, рассмотреть количество бросаний монеты до первого выпадения герба. Нам может повезти с первого раза (т.е. хоть минимум один бросок будет), а может не повезти с первого раза, и повезти, например, со второго раза и так далее. То есть может быть сколь угодно много неудач, поэтому множество значений такой случайной величины совпадает с множеством натуральных чисел.

Еще примеры. Пусть точка бросается на отрезок [a,b], при этом мы считаем, что любая точка отрезка может быть равновероятно получена. Если мы рассмотрим случайную величину - координату данной точки, то множество значений этой случайной величины уже будет отрезком от a до b. Обратите внимание, что если в предыдущих случаях множество значений конечно или счётно, то уже в данном случае множество значений является отрезком. Таким образом, данная случайная величина уже не будет дискретной, она и будет являться непрерывной.

 Рассмотрим второй пример для непрерывной случайной величины. Пусть некоторое устройство работает, и мы хотим понять, сколько же времени пройдет до его первого прерывания (то есть, до того момента, когда оно тем или иным образом сломается, каким-то образом появится сбой и так далее). Будем считать, что прямо в момент включения устройство сломаться не может, и между моментом включения и моментом сбоя пройдет какой-то маленький промежуток времени (он может быть очень маленьким, но он будет), при этом устройство может сломаться через любое время, и при этом оно может работать сколь угодно долго. Таким образом, множеством значений данной случайной величины будет отрезок (0; +∞), в некоторых случаях мы можем предполагать и (-∞; +∞) значения случайной величины.

Когда будем рассматривать непрерывные случайные величины, будем брать именно всю числовую ось. Когда же мы говорим про дискретные случайные величины, то будем задавать их рядом распределения. Давайте сначала поймем, что это такое.

Так как дискретная случайная величина имеет конечное или счётное множество значений, то есть её значения дискретны, то каждому значению мы сопоставим вероятность. Мы вводили дискретное вероятностное пространство на второй лекции. Если каждому значению сопоставить вероятность, то мы получим таблицу, которая называется «ряд распределения» (см. видео). В ряде распределения принято упорядочивать значения по возрастанию, во второй строке указываются нужные вероятности.

Давайте поймем. Случайная величина приняла значение x₁, случайная величина приняла значение x₂ и так далее, случайная величина приняла  значение x_n. Эти события будут образовывать полную группу событий, так как несколько значений одновременно она принять не может, при этом она обязана принять хотя бы одно из этих значений, а это означает, что сумма этих событий будет являться событием достоверным, и вероятность такого события равна единице. Но так как эти события несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей, а значит, p₁ + p₂ +…+p_n будет равно единице (см. видео).

Рассмотрим пример. Пусть у нас опытом является бросок игральной кости, при этом мы рассмотрим нестандартную случайную величину, а количество выпадений шестерки. Тогда случайная величина может принимать значения 0 или 1, как мы уже сказали. Вероятность того, что она примет значение 0, означает вероятность того, что шестерка не выпадет - эта вероятность равна 5/6. Соответственно вероятность того, что шестерка выпадет, будет равна 1/6. Проверим, что 5/6 + 1/6 будет равно единице. Ряд распределения приведен на слайде (см. видео), то есть мы эти значения просто записали в табличку.

Если мы рассматриваем какое-то событие, и случайная величина - это количество раз, в котором это событие произошло в одном опыте, то такая величина называется индикатором случайного события. Но у этой величины есть еще другие названия, иногда ее называют распределением Бернулли, а иногда называют альтернативным распределением, поэтому если в литературе встретятся другие обозначения, не пугайтесь.

Рассмотрим другой пример. Пусть игральная кость подбрасывается не один раз, а целых n, и также будем смотреть за выпадением шестерки. То есть случайная величина x будет количеством выпадения шестерки, тогда значение она может принимать от нуля до n (Ω_x = {0,1,2,…,n}), либо все разы выпала шестерка, либо ни одного раза, либо какие-то выпадала, какие-то не выпадала. Тогда вспомним, что вероятности данной случайной величины можно посчитать по формуле Бернулли, так как подбрасывание игральной кости не что иное, как повторные независимые опыты. Таким образом, мы пришли к биномиальному распределению.

 Если у нас проводится n независимых опытов, где вероятность успеха равна p, а случайная величина, которую мы рассматриваем - это количество успехов в n опытах, то тогда мы можем говорить, что наша случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. При этом обозначается буквой B, а в скобках указываются параметры: B(n, p). Тогда множество значений Ω_x = {0, 1, 2,…,n}, а вероятности считаются по формуле Бернулли (см. видео).

Предельным к биномиальному распределению, является распределение Пуассона. Случайная величина x имеет распределение Пуассона с параметром λ (лямбда), (т.е. уже один параметр, обозначается p(λ), p - греческая буква), если ее множество значений это множество неотрицательных целых чисел, а вероятности считаются по формуле P(x = k) = e^-λ ∙ λ^k / k! (см. видео).

Несложно показать, что если мы в формуле Бернулли n устремим к бесконечности, а np к λ, то тогда вероятности в формуле Бернулли будут стремиться к вероятностям, вычисляемым по данной формуле. Это доказать достаточно несложно, предлагаю вам сделать это самостоятельно. И последнее распределение, которое мы рассмотрим - это геометрическое распределение. С ним мы тоже уже сталкивались, когда говорили про случайные события.

Пусть, опять же, проводятся повторные независимые опыты, но теперь мы будем в качестве случайной величины брать количество опытов до первого успеха. Такая случайная величина имеет геометрическое распределение, обозначается G(p), где p – вероятность успеха.

Множество значений - это множество натуральных чисел, a вероятности данной случайной величины будут считаться как P(x = k) = p∙q^k-1, где p - вероятность успеха, q -вероятность неудач, x = k - это случайная величина x приняла значение k.