Математика. Материалы курса

Практическое занятие "Повторные независимые опыты. Формула Бернулли".

Вспомним, что схема Бернулли – это повторение одного и того же опыта независимо друг от друга. При этом мы в каждом опыте изучаем событие А, вероятность которого равна р, при этом если событие А произошло, то мы говорим, что у нас случился успех, а если события А не произошло, то случилась неудача. Наиболее часто рассматривается схема Бернулли либо до первого успеха, либо при фиксированном количестве повторений опытов изучается вероятность того, что произошло заданное число успехов. Рассмотрим эти примеры.

Первый пример. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность того, что при одном выстреле он попадет в мишень, равна 0,7. Какова же вероятность того, что ему придется делать ровно 4 выстрела.

Пусть А_i - успех в i-опыте. Тогда событие В – «стрелок сделал ровно 4 выстрела», можно представить как в первый раз неудача, во второй раз неудача, в третий раз неудача и в четвертый раз произошел успех. Так как все эти события независимы, то вероятность события В – это произведение вероятностей. Первый раз неудача, во второй раз – неудача, в третий раз – неудача, в четвертый – успех. Также мы договаривались обозначать буквой q=1-р, то есть вероятность неудачи. Тогда вероятность нашего события В будет p*q³. В нашем случае р= 0,7, тогда q=0,3. Здесь вероятность будет равна 0,7*0,3³. Результат можете посчитать на калькуляторе.

Следующая задача. Здесь уже известно, что стрелок делает 4 выстрела по мишени, при этом опять же считаем, что выстрелы относительно друг друга независимы. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Нужно найти вероятность того, что стрелок ровно 2 раза промахнется.

Что такое «два раза промахнется»? То же самое, что два раза попадет. Тогда можно воспользоваться формулой Бернулли, то есть если у нас р=0,8, то есть успех – это попадание в мишень, тогда q=0,2. Тогда нам нужно найти вероятность того, что, при вероятности 0,8, из 4 выстрелов будет 2 попадания (см. видео). Результат можете посчитать самостоятельно. Другой вариант. Промахнется не менее двух раз, то есть это означает, что промахов будет – 2, 3 или 4. Можно посчитать честно. То есть что такое: количество промахов – 2, 3 или 4? Это значит, что попаданий – 2, 1 или 0. Значит, нам нужно найти следующую сумму: вероятность того, что из четырех выстрелов два попадания, плюс вероятность того, что из четырех выстрелов одно попадание и три промаха, плюс вероятность того, что четырех выстрелов 0 попаданий. Индексом пишем вероятность, иногда это опускается. Опять же воспользуемся формулой Бернулли (см. видео). Можно это все вычислить на калькуляторе и получить ответ. А если бы у вас всего выстрелов было не 4, а, например, 10, тогда вероятность того, что стрелок промахнется не менее 2 раз, нужно было бы считать, что он промахнется 2, 3, 4, 5, …, 10. Считать много. Иногда удобнее считать не вероятность самого события, а вероятность его дополнения, то есть читать вероятность того, что стрелок промахнется менее двух раз, то есть ноль или один – это значит, что попадет он 3 или 4 раза, и уже полученную величину вычитать из 1. Запишем просто: 1-(Р_0,4(4,3)+Р_0,8(4,4)). В данном примере результат считать не будем, посчитайте самостоятельно. Проверьте, что оба результата получается одинаковыми. Мы с вами проверяли на лекции, что сумма всех вероятностей по формуле Бернулли, когда мы число k от 0 до n, равна 1. Поэтому верна эта формула.

Следующая задача. Студент опаздывает на лекцию с вероятностью 0,9. На потоке всего учатся 25 студентов. Требуется найти наивероятнейшее количество студентов на лекции.

Наивероятнейшее количество – это количество студентов, которое с максимальной вероятностью окажется на лекции. То есть мы записали вероятность того, что из n придет 0 студентов, вероятность того, что из n студентов 1 придет на лекцию, …, вероятность того, что из n студентов все придут. Из этих чисел нам нужно найти самое большое k.

Заметим, что вот эти вероятности ведут себя следующим образом: они сначала возрастают, потом убывают, поэтому у нас либо одно, либо два таких числа. На лекции мы показали, что это наивероятнейшее число k₀ лежит в границах (np-q) и (np+q). То есть нам не надо вычислять все эти вероятности и искать среди них максимальную. Нам достаточно лишь оценить границы. На промежутке длины 1 (p + q = 1) может быть либо одно, либо два целых числа, k₀ обязательно целое. В нашем случае оно целое. В нашем случае n=25, p – это вероятность того, что студент придет, эта вероятность 0,1, минус вероятность того, что он опоздает равна 0,9. Тогда мы получим, 25*0,1-0,9=1,6. Тогда на промежутке [1,6; 2,6] лежит только одно целое число – это 2. Значит, наивероятнейшее количество студентов пришедших на лекцию к началу равно 2. Здесь, конечно, такая смелая вероятность 0,9.