Математика. Материалы курса

Лекция «Повторные независимые опыты и формула Бернулли».

Рассмотрим схему Бернулли. Пусть у нас есть пространство элементарных исходов некоторого опыта Ω и события А для данного опыта. Будем повторять этот опыт многократно. При этом назовем успехом ситуацию, что событие А произошло, и неудачей, что событие А не произошло. При этом буквой р обозначим вероятность события А и буквой q обозначим вероятность события не А (вероятность неудачи). Тогда схемой Бернулли будем называть последовательность независимых в совокупности одинаковых опытов, в каждом из которых будем рассматривать лишь успех и неудачу.

Рассмотрим испытания до первого успеха. Наиболее часто рассматриваются испытания либо до первого успеха, либо фиксированное количество испытаний.

Случай 1. Схема Бернулли до первого успеха.

Обозначим – А_i –успех произошел в i-ом опыте, а буквой τ номер первого успешного испытания. Тогда τ=k будет обозначать, что было проведено ровно k испытаний до первого успеха. Эту вероятность можно представить как вероятность произведения, в первые k-1 опыт мы получали неудачу, и только в k-ом опыте случился успех. Так как опыты независимы, то вероятность произведения этих опытов будет равна произведению вероятностей. При этом вероятность каждого А_i всегда равна р, а вероятность отрицания всегда равна q. Поэтому получим, что вероятность события τ=k,  равна q^k-1. Данной формулой можно пользоваться. При этом важное свойство таких испытаний: если мы уже провели несколько неудачных опытов, то про них можно забыть. То есть условная вероятность того, что будет проведено больше чем n+к опытов при условии, что n опытов уже неудачных, будет равна вероятности того, что у нас будет еще k неудачных опытов, то есть без предыстории. А вот если мы рассмотрим повторение n опытов, то там уже так не сделать.

Пусть у нас было проведено n независимых опытов, и вероятность успеха, по-прежнему, р, вероятность неудачи – q. Обозначим буквой ξ количество успешных опытов из n, буквой k будем обозначать само число, «ξ=k» обозначает – событие произошло, есть ровно k успехов, тогда вероятность этого события можно подсчитать по формуле, приведенной на слайде, где n по k это число сочетаний из n по k.

Докажем эту формулу. Для удобства будем в дальнейшем записывать эту вероятность как P_p(n, k). Покажем. Пусть А_i – это «в i-ом опыте был успех», тогда события «ξ=k» можно представить как сумму несовместных событий, где среди последовательности m результатов ровно k успехов и n - k неудач. То есть у нас получится всего n по k слагаемых. То есть любые k опытов могут оказаться успешными, остальные n-k неудачными. Тогда вероятность события «ξ=k» можно представить как сумму вероятностей вот этих произведений. Найдем вероятность самого первого произведения. Так как опыты независимы, вероятность этого произведения равна произведению вероятностей. При этом для всех А_i их вероятность равна p, для всех не А_i вероятности равны q, а, значит, вероятность первого равна p^k *у^n-к_.

Заметим, что, так как всегда будет ровно k успехов и ровно n - k неудач, то вероятности слагаемых будут одинаковыми, а, значит, вероятность их суммы будет равна сумме их вероятностей, одинаковых вероятностей, и будет вычисляться по формуле Бернулли, приведенной ранее.

Рассмотрим свойства формулы Бернулли. Первое. Посмотрим, чему же равна сумма всех вероятностей, когда k пробегает все значения от 0 до 1. То есть у нас один успех, или ноль успехов, или два успеха, или три успехов и так далее, или k успехов. Понятно, что хотя бы какое-то число успехов произойдет. А значит вот эти события «ξ=0», «ξ=1», «ξ=2» и так далее, «ξ=n» – это полная группа несовместных событий, а, значит, их сумма есть событие достоверное, а так как они не совместные, то вероятность суммы равна сумме их вероятностей. Мы получим, что сумма вероятностей этих событий равна вероятности достоверного события, то есть 1.

Еще одно свойство, которое пригождается при решении задач – наивероятнейшее число успехов. Например, у нас проводится некоторый опыт. Нам нужно найти, какое количество раз с наибольшей вероятностью события произошло среди серии из n опытов. Воспользуемся формулой для соседних вероятностей, то есть выразим р с параметрами n и k + 1 через p с параметрами n и k, аналогично выразим параметр p с параметрами n и kчерез p с параметрами n и k-1 и отсюда выразим p с параметрами n и k-1. Так как k₀ наивероятнейшее, эта вероятность для него больше, чем вероятности соседних, то есть можно записать систему. Решив эту систему, мы получим, следующую систему неравенств. Заметьте, что промежуток от np-p до np + p имеет длину 1, а, значит, на данном промежутке может быть либо одно целое число, либо два целых числа. Поэтому наивероятнейших значений может быть либо одно, либо два.