Математика. Материалы курса

Практическое занятие «Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса».

Основной формулой, который мы будем пользоваться на данном занятии будет формула условной вероятности. Пусть у нас было какое-то пространство Ω, и мы знаем, что не все элементарные исходы данного пространства элементарных исходов могут быть. То есть событие А произошло, то есть мы знаем неточно, какой элементарный исход случился, а лишь группу элементарных исходов, которые случились. Хочется узнать, вероятность какого-то события В. То есть априорная вероятность события В (до опыта в пространстве элементарных исходов Ω). А нам хочется узнать вероятность этого же события, при условии того, что мы знаем, что событие А произошло. Мы это будем обозначать так: вероятность события В, вертикальная черта – при условии, что А произошло. Иногда А пишут нижним индексом, то есть это после опыта, апостериорная вероятность события А. По факту мы просто перешли от одного пространства элементарных исходов к другому. Так вот, вероятность В при условии А равна отношению вероятности произведения этих событий к вероятности события А. То есть вот эта доля во всем событии А – это и есть новая вероятность.

Рассмотрим пример. Пусть вероятность поражения первой мишени для данного стрелка равна 2/3, но у него есть и вторая мишень, выстрелить по которой ему разрешается, если он попал по первой мишени. То есть первая мишень М1 и вторая мишень М2. При этом нам известно, что вероятность того, что стрелок попадет по обеим мишеням равна 0,5. Интересно, а чему же равна вероятность попадания по второй мишени, если бы первого попадания не было. Давайте запишем то, что нам дано. Что такое 2/3? Это вероятность попадания по первой мишени. Пусть событие А = «стрелок попал по первой мишени», а событие В = «стрелок попал по второй мишени». Здесь мы пока не смотрим, попал ли он по первой мишени или не попал. Здесь ему просто дали выстрелить по второй мишени, вот В = «попал по второй мишени», тогда нам дана вероятность события А (это 2/3), а еще нам дана вероятность поражения обеих мишеней. Но по второй мишени стрелок будет стрелять только, если по первой попал. Это означает, что на известную вероятность произведения (по первой попал и по второй попал) – 0,5, а требуется найти вероятность события АВ. При этом можно понять, что так как выстрелы на самом деле независимы, то вероятность события В при условии А будет также равна вероятности события В. Но тогда вот эта вероятность равна вероятности произведения, деленной на вероятность события А. Вероятность произведения на вероятность события А, на 2/3, то есть ¾. 3/4 – это вероятность «попасть по второй мишени».

Следующий пример. Здесь с первого взгляда не очень понятно, причем тут условная вероятность. Статистические результаты вот: антитабачный закон одобряет сейчас 66 процентов всего населения, причем 42 процента курильщиков его одобряет, и 75 процентов некурящих граждан. Пусть мы выбрали случайного человека. Какова вероятность того, что он курит? Или, по-другому, сколько процентов курящего населения среди всех? Как это решать?

Давайте опять же запишем условие. Введем два события: А = «выбранный человек одобряет антитабачный закон», тогда сразу видим, что нам дана вероятность события А. Раз 66 процентов населения одобряют, вероятность этого события А равна 0,66. Пусть событие В = «человек курит». Тогда на самом деле нам нужно как раз найти вероятность события В. То есть мы ее не знаем. Давайте поймем, что нам дано еще? 42 процента курильщиков одобряют антитабачный закон, то есть человек одобряет антитабачный закон при условии, что он курит – это вероятность события А при условии В, вот это 0,42. Давайте сразу это буквой Р обозначим. Еще нам дано 75 процентов некурящих граждан. Вероятность того, что человек одобряет при условии, что человек не курит. Давайте запишем оба равенства. То есть вот эта условная вероятность равна вероятности произведения АВ, делённой на вероятность В. Мы это обозначили – Р. В свою очередь вероятность произведения АВ пока оставим. А вот это – вероятность произведения А на вероятность события не В, которая равна 1 – вероятность В. Выразим вот эти вероятности из уравнений. Вероятность события АВ равна 0,42. А вероятность события А на не В равна 0,75(1-Р). Вот, что можно заметить: события АВ и события А и не В являются не совместными, а значит сумма их вероятностей равна вероятности их суммы. Сделаем картинку. Это у меня АВ. Красным нарисую АВ – это пересечение, а зеленым – А и не В (это вот этот кусочек), То есть, если мы сложим два этих события, мы получим событие А. То есть вероятность события А мы можем представить как 0,42Р+0,75(1-Р). Вероятность события Р нам известна, это 0,06. Сейчас получилось уравнение с одной неизвестной. Предлагаю вам решить его самостоятельно. Тут линейное уравнение решается хорошо.

Рассмотрим другой пример. Тоже на применение условной вероятности. На формулу полной вероятности. У нас есть группа из 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегунов. То есть всего в этой группе 30 человек. Случайно выбранный человек пытается выполнить квалификационную норму. Известно, что, если это лыжник, то вероятность выполнить – 0,9, велосипедист выполняет норму с вероятностью 0,8 и бегун – с вероятностью 0,75. Найти вероятность того, что случайный человек выполнит норму.

Давайте нарисуем множество всех элементарных исходов Ω. Выбранный человек. Заметим, что у нас сразу же все это множество разбито на три группы. Первая группа, самая большая, состоит из 20 человек. Это лыжники, велосипедисты и бегуны. Тут 6, тут 4. Надо найти вероятность того, что выбранный спортсмен выполнит норму.

Назовем А= «спортсмен выполнил норму». Давайте еще ведем: вот это h1, h2, h3. То есть что нам дано? Нам дано: вероятность выбора лыжника – 20 из 30, это 2/3, вероятность выбрать велосипедиста 6 из 30 – 1/5, вероятность выбрать бегуна – 4 из 30, это 2/15. А нам нужно найти вероятность события А. Но нам ещё известна вероятность того, что человек выполнит норму при условии, что он лыжник. Она равна 0,9. А вероятность того, что человек выполнит норму при условии, что он велосипедист, равна 0,8. Ну а третья вероятность – 0,7. Заметим, что у нас есть все данные для того, чтобы воспользоваться формулой полной вероятности. Вычислим вероятность события А, (напомню, формула полной вероятности – это сумма в нашем случае от одного до трех, у нас три гипотезы, которые образуют полную группу несовместных событий Н1, Н2, Н3). Вероятности этих гипотез – вероятности события А при условии, что мы находимся в рамках этой гипотезы. Три слагаемых: 2/3 на 0,9 плюс 1/5 на 0, 8 и плюс 2/15 на 0,75. Итого, получим 0,86 – вероятность того, что случайно выбранный спортсмен выполнит норму.

Довольно часто задача ставится наоборот. То есть нам уже известно, что спортсмен выполнил норму. Хочется понять, что данный спортсмен, например, велосипедист. Тогда опять же у нас есть события А=«спортсмен выполнил норму». Сразу же воспользуюсь тем, что мы в предыдущем случае посчитали, что вероятность этого события 0,86. Нам надо найти вероятность того, что это велосипедист. То есть нам надо найти вероятность Н2 при условии А, то есть при условии того, что он уже выполнил норму. По формуле условной вероятности – это вероятность того, что А и Н2 А на вероятность события А. Вероятность Н2, вероятность А при условии Н2. Вероятность события А. Так вероятность того, что велосипедист – 1/5, вероятность того, что выполнит норму велосипедист 0,8, поделить на 0,86, то есть 16/86, ну или 8/34. Данная формула называется формулой Байеса. Можно приступать к решению задач.