Математика. Материалы курса

Практическое занятие 1. Классическая вероятность.

Для начала разберём несколько стандартных примеров по данной теме. Напомню, что если у нас есть пространство элементарных исходов «омега» и множество А, которое является подмножеством множества «омега», А – это будет некоторое событие, то в случае, если «омега» конечно, при этом, все элементарные исходы пространства «омега», вследствие некоторых предположений, можно считать равновероятными. Равновероятность может возникать либо из симметрии, либо из каких-то особенных условий проведения опыта, то можно использовать классическую вероятность. Пусть число N – это количество элементов. Количество элементарных исходов множества «омега», а число mА – это количество элементов, элементарных исходов, в множестве А. Множество благоприятных исходов, событию А. Тогда вероятность события А, можно вычислить как отношение количества благоприятных исходов к количеству всех исходов. Часто обозначают как mA/N. Вот именно этой формулой будем пользоваться на следующих примерах.

Первый пример: пусть в урне находится 10 пронумерованных шаров. И опыт состоит в извлечении одного шара из данной урны, тогда в данном опыте элементарным исходом считать номер извлеченного шара. То есть элементарный исход – это номер шара. Тогда множество «омега», оно будет состоять из чисел от 1 до 10. Номера вынутых шаров. То есть всего элементарных исходов 10. Почему в данном случаи мы может считать все исходы равновероятными? Мы говорим, что мы на удачу извлекаем шар из урны, то есть равновероятно мы можем вытянуть любой шар. Таким образом, здесь может использоваться классическая вероятность.

Задание следующее: перечислить элементарные исходы, благоприятствующие событию А – появление шара с нечетным номером.

Если записать множество элементарных исходов, благоприятных событию А, это будет один 1, 3, 5, 7, 9, таких исходов 5, то есть mA равно 5, а значит вероятность события А равно 5/10 или ½.

Второе событие, событие B – появление шара с четным номером, здесь можно либо перечислить также элементарные исходы, которые благоприятны данному событию, либо понять, что событие B, можно записать как отрицание события А. То есть неверно, что шар с нечетным номером, а значит по свойствам вероятности, вероятность события B мы можем найти: единица минус вероятность события А, то есть 1- ½ . То есть ½.

Ну и событие C – появление шара, с номером больше, чем 3. Соответственно, множество С состоит из элементов 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Таких элементов, как можно видеть, 7, значит вероятность события С можно вычислить как 7, деленное на 10, равно 0,7.

Рассмотрим следующий пример: теперь в урне уже не разноцветные шары, а 8 черных шаров. По-прежнему из урны извлекается шар. Первая задача, которую нужно решить это что же считать элементарным исходом данного опыта.

Первая мысль, которая приходит обычно, это взять элементарный исход – цвет шара, то есть множество элементарных исходов, состоящее из двух исходов: белый шар, черный шар. Но так как черных шаров больше, понятно, что черный шар будет появляться чаще, чем белый. А значит эти два элементарные исходы не будут равновероятными. Вследствие чего, классическую вероятность использовать здесь будет нельзя.

Но если мы пронумеруем шары таким образом и возьмем пространство элементарных исходов, состоящие из двух белых шаров, то есть б1, б2, будем считать, что на всех шарах поставлены какие-то точки, черный 1, черный 2, и так далее, черный 8, тогда любой шар будет попадаться нам равновероятно. Так как мы вытягиваем абсолютно наугад. Значит, теперь мы получили множество элементарных исходов, где все элементарные исходы равновероятны. А значит, если событие А – был извлечен белый шар, то данному событию благоприятные элементарные исходы равны б1 и б2. Таких элементарных исходов два, значит вероятность события вычисляется как два к десяти. Так как количество элементарных исходов в множестве «омега» 10.

Рассмотрим чуть более сложный пример: теперь у нас, по-прежнему, в урне находится 2 белых и 8 черных шара, но теперь одновременно вытягивается 3 шара, то есть у нас была какая-то урна с 10 шарами, и мы наугад берем 3 шара, что в данном случаи можно считать элементарным исходом?

Элементарный исход – это будет множество 3 шаров, при этом нам не важно в каком порядке в этом множестве элементы идут. Всего таких множеств 10 по 3. Если вычислить, это будет 10 * 9 / 3!. Будет 120. Всего элементарных исходов 10 по 3 или 10*9*8 / 3! , то есть 120.

Давайте в данном опыте рассмотрим некоторые утверждения. 1 утверждение: среди выбранных нет белого шара, будет событие, когда 3 шара будут все черными, но количество элементарных исходов, благоприятных событию А – это количество наборов из черных шаров, так как черных шаров 8, то это будет 8 по 3 или 8*7*6 / 3!, то есть 56. Тогда мы можем вычислить вероятность события А, так как мы абсолютно наугад выбираем тройку, то мы можем считать, что все тройки равновероятны. Поэтому вероятность события А мы можем вычислить по формуле классической вероятности – это количество благоприятных исходов, деленное на количество всех исходов.

Рассмотрим второе утверждение: белый шар извлекли первым. Здесь уже нужно подумать: а будет ли это утверждение событием?

Все элементарные исходы – это множество, неупорядоченные наборы, значит никакой шар не может оказаться первым. А, значит, В не будет событием в данном пространстве элементарных исходов.

Следующее: белый шар извлекли раньше черного, по той же самой причине не будет событием в данном пространстве. D: белых шаров извлекли больше, чем черных. Это будет событием, в том случае, если среди трех извлеченных шаров два или три белых шара, остальные черные. Значит утверждение D: белых шаров извлекли больше, чем черных будет событием в данном опыте, при этом ему благоприятны будут те элементарные исходы, где среди трех выбранных шаров будет два или три белых. Но так как всего шаров белых у нас два, то в выборке не может быть трех белых шаров, значит благоприятны событию D те выборки, где два белых и один черный шар. Значит благоприятны событию D те элементарные исходы, где два белых и один черный шар. Значит количество благоприятных исходов событию D равно два из двух, выбираем белых, один из восьми черных, получается восемь. А значит вероятность события D равна 8/120.

Ну и осталось третье утверждение: извлекли три белых шара. Так как всего шаров белых два, то ни один элементарный исход не будет благоприятен данному событию, но утверждением событием будет являться, ему будет соответствовать пустое множество. А значит вероятность события Е, как невозможного события, будет равна 0.

Рассмотрим еще один пример: все тоже самое, в урне по-прежнему 2 белых и 8 черных шаров, но шары вынимаются по очереди. То есть сначала один шар, потом еще один из оставшихся и потом из оставшихся восьми шаров достается еще один шар.

В данном случаи элементарный исход – это последовательный набор из трех шаров. Упорядоченный набор из трех шаров. Всего таких наборов 10*9*8, то есть 720, вот в данном случае все пять утверждений будут событиями их вероятности. Количество исходов, благоприятных событию А, среди выбранных нет белого шара, то есть все шары черные будет равно 8*7*6, тогда вероятность события А будет равно 8*7*6 / 10*9*8, сокращаем, получаем 7/20.

Событие B: белый шар извлекли первым, это значит, что в первый раз извлекли белый шар, а дальше в общем-то могли извлекать какие угодно. То есть нас устроят варианты: белый, белый, черный; белый, белый, белый быть не может, потому что белых всего два; белый, черный, белый и белый, черный, черный. То есть для B. В этом случае мы получим благоприятных исходов: ББЧ 2*1*8 ; БЧБ 2*8*1, значит тут 16 и тут 16 благоприятных исходов, и в последнем случае БЧЧ 2*8*7, то есть 112 благоприятных исходов. Соответственно, всего событию В благоприятно 32+112=144 элементарных исхода, ну а значит вероятность события В – это 144/720.

Белый шар извлекли раньше черного – это значит, что нам подходят все рассмотренные ранее случаи: ББЧ, БЧБ, БЧЧ, а также утверждение С – белый шар извлекли раньше черного, это значит, что белый шар извлекли первым.

А значит событие С и событие В – это одно и то же событие, соответственно их вероятности равны.

Событие D: белых шаров, извлекли больше, чем черных. Так же, как и в предыдущем случае, нам подойдут те наборы, в которых два белых шара, а значит это будут наборы ББЧ, БЧБ, ЧББ. Наборов первого вида 2*1*8, второго 2*8*1 и третьего 8*2*1. То есть наборов каждого вида будет по 16, всего наборов 48. Соответственно, тогда вероятность события В можно посчитать как 48/720.

И событие Е, по-прежнему, будет невозможным, то есть его вероятность будет равна 0. На этом рассмотренные примеры закончены, можно приступать к выполнению практических задач с листочка.