Математика. Материалы курса

Теория вероятностей и математическая статистика – это разделы науки, которые занимаются закономерностями, которые возникают в результате массовых случайных явлений. Исторически первые зачатки теории вероятностей появились в теории азартных игр, когда необходимо было предсказать, как игроку лучше действовать в той или иной ситуации. Далее теория вероятностей широко применялась в теории страховых компаний, а в современном мире теория вероятностей и математическая статистика применяются практически во всех областях знаний. Цель теории вероятностей – сформулировать законы для массовых явлений и сделать прогноз.

Основными терминами теории вероятностей и математической статистики являются термин опыт – это некоторое воспроизведение совокупности условий, в которых фиксируется тот или иной результат.

Сначала мы рассмотрим случайные события. Но перед тем как рассмотреть случайное событие, нужно сформулировать термин "элементарный исход". Пространством элементарных исходов называется множество, которое содержит все возможные результаты опыта. Вот эти результаты мы будем называть элементарными исходами.

Например, самым простым опытом является подбрасывании правильной монеты. Когда мы говорим правильная, мы подразумеваем, что это симметричная монета, которая равна вероятно падает обеими сторонами. То есть примерно в половине случаев мы получим орла, и примерно в половине случаев мы получим решку. Элементарным исходом в данном случае будет выпавшая сторона. Мы предполагаем, что монета обязательно упадет, причем упадет не на ребро. Тогда множество элементарных исходов состоит из двух, в данном случае, равновероятных исходов, так как монета симметрична. Если мы будем рассматривать не симметричную монету, то данные исходы будут уже не равновероятны. Это нам понадобится чуть позже.

Второй пример, который также можно рассмотреть. Дальше мы на данном примере рассмотрим некоторые понятия – подбрасывание игральной кости, то есть игрального кубика. Когда мы подбрасываем игральный кубик, то у нас выпадает от 1 до 6 очков. Таким образом, множество элементарных исходов состоит из шести различных исходов. На слайде они обозначены цифрами от 1 до 6.

Рассмотрим более сложный опыт. В коробке лежат белый, синий и красный шары. Опыт состоит в вынимании двух шаров из этой коробки. Дальше обязательно нужно описать, каким образом происходит опыт. Случай номер один. Достается набор из двух шаров одновременно. В этом случае множество элементарных исходов – это просто неупорядоченная пара. Таких пар всего три: (белый, синий), (белый, красный ), (синий, красный). Если же мы будем извлекать шары по очереди, при этом откладывая их, не возвращая обратно в коробку, то тогда уже нам будет важен порядок этих шаров. Тогда множество элементарных исходов будет состоять уже из шести элементов, перечисленных на слайде. Такая выборка называется выборкой без возвращения. Если же после того, как мы посмотрим цвет шара, мы этот шар будем класть обратно, то множество элементарных исходов увеличится до 9. Так как добавятся элементарные исходы, где оба раза извлекался белый, оба раза извлекался синий или оба раза извлекался красный шар. Множество элементарных исходов также приведено на слайде.

Дадим определение термина «событие». Если омега – это множество элементарных исходов некоторого опыта, то событие – это некоторое подмножество множества омега. На самом деле, если множество омега более чем счетно, то не любое подмножество множества омега будет событием. Об этом мы скажем чуть позже.

В опыте с подбрасыванием игральной кости на диаграммах Эйлера-Венна изображено множество всех элементарных исходов в виде белого прямоугольника. Красным овалом изображено множество А, состоящее из элементарных исходов 2, 4 и 6. Словами это событие можно описать так: выпало четное число. Множество В (зеленым овалом обведено) – выпало простое число. Это подмножество множества омега, состоящее из элементарных исходов 2, 3 и 5. Ну и синим цветом – выпала единица. Событие С изображено, также является событием, одновременно являясь и элементарным исходом.

Виды событий. Если у нас событие состоит из всех элементарных исходов, то такое событие называется достоверным. Если же событие – это пустое подмножество, то есть оно не содержит ни одного элементарного исхода, то такое событие называется невозможным и обозначается символом пустое множество. Остальные события называются случайными, то есть это некоторое нетривиальные подмножество множества элементарных исходов.

В опыте с подбрасыванием игральной кости событие А = «выпадение четного числа очков» и В – «выпадение простого числа очков» будут случайными, событие D = «выпадет число меньше и 7» будет достоверным, а событие Е = «выпадет 0» будет невозможным, так как 0 нет среди элементарных исходов, рассмотренных ранее.

Дадим также понятие отношения между событиями. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. То есть это два подмножества, которые не пересекаются. Если же подмножество благоприятных данным событиям имеет общий элементарный исход, тогда события называются совместными. На рисунке красный овал и синий овал не пересекаются, то есть событие А=«выпало четное число» и событие В= «выпала 1» являются несовместными. А вот события «выпало простое число» и «выпало четное число» являются совместными, так как могла выпасть двойка, которая является и четным, и простым числом.

Еще одно отношение, которое может быть между событиями. «Влечет за собой». Событие А влечет за собой событие В, если всегда, когда происходит событие А, мы можем гарантировать, что события В также произошло. То есть множество элементарных исходов, благоприятных событию А, является подмножеством множества элементарных исходов, благоприятных событию В. На рисунке событие А= «выпала двойка» влечет за собой событие В = «выпало простое число». На рисунке обозначены синим и зеленым цветами соответственно.

Операции над событиями соответствует операции над множествами Основными операциями являются сумма, произведение и отрицание. Суммой двух событий А и В или объединением, по-другому, называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А или В, или оба вместе. Произведением событий А и В называется такое событие D, которое происходит тогда и только тогда, когда произошли оба события, то есть и А, и В. На рисунке на диаграмме Эйлера-Венна желтым цветом обозначены соответственно сумма и произведение двух событий.

Приведем несколько примеров. Если рассмотреть событие А= «выпало четное число», а событие В= «выпало простое число», обозначенные на рисунке, то событие А + В будет состоять из элементарных исходов 2, 3, 4, 5 и 6, а событие А*В будет состоять из элементарного исхода 2. D= «выпала двойка»

Еще одна операция над событиями. Это уже унарная операция – отрицание события А или, по-другому, противоположное событие, обозначается А с чертой. Это дополнение подмножества элементарных исходов, благоприятных событию А до множества всех элементарных исходов на рисунке обозначено желтым. В качестве примера можно рассмотреть случай опять же с подбрасыванием игральной кости. Если событие А = «выпало четное число очков», то событие не А = «выпало нечётное число очков». Оно будет состоять из элементарных исходов 1, 3 и 5.