Математика. Материалы курса

Сегодня на занятии отработаем тему «Кривые второго порядка», решив несколько задач на уравнение эллипса. Другие кривые, такие как гипербола и парабола, будут рассмотрены на следующем занятии.

Итак, первая задача на отработку канонического уравнения эллипса. Эллипс задан вот таким уравнением: 4x² + 25y² = 100. Обратите внимание, что это уравнение само по себе еще не является каноническим, требуется его привести к каноническому виду, далее найти основные параметры a, b, c, определить фокусы и эксцентриситет.

Построим указанный эллипс. Для того чтобы данное уравнение привести к каноническому виду, поделим обе части уравнения на 100, в этом случае справа получится единица, а слева как раз таки нужное нам выражение: x²/25 + y²/4 = 1. Получили уравнение, которое уже является каноническим, при этом параметры а и b находятся через знаменатели полученного выражения, а именно 25 – это а², 4 – это b². Общее уравнение эллипса в канонической форме имеет вот такой вид: x²/a²+ y²/b² = 1, значит параметр а = 5, параметр b = 2, при этом a и b – числа положительные, напоминаем, что а является большей полуосью, b – малая полуось, значит, а = 5, b = 2. Зная а и b можно легко найти межфокусное расстояние c, точнее межфокусное расстояние = 2с, а c – это расстояние от начала координат до каждого фокуса, при этом параметры c, a, b связаны таким соотношением c² = a² – b², значит c² = 25 – 4 = 21, то есть c – это √21. Итак, в канонической системе координат отметим начало координат и два фокуса – F1 и F2, расстояние от начала координат до каждого фокуса – это и есть параметр c, межфокусное расстояние в 2 раза больше, значит, фокус F1 располагается в точке (–√21;0), второй фокус F2 имеет координаты (√21; 0). Примерно, конечно, можно оценить, чему равно значение c, именно приближённо, т.к. точно корень не извлекается, это получается где-то 4.5, в квадрате получается 20,25.

Итак, фокусы найдены, параметр c найден, необходим эксцентриситет. Напомним, что параметр, называемый эксцентриситетом, позволяет оценить степень сжатия эллипса. То есть при различных значениях этого числа, у нас эллипс, получается, имеет разную степень сжатия, причем для случая эллипса e всегда меньше 1. Если e = 0, то эллипс превращается в окружность. Для того, чтобы найти это значение надо разделить параметр c на параметр a: e = c/a, в нашем случае получается √21 делим на 5, а это и будет значение эксцентриситета e. То есть приближенно значение e = 0.9, но точное значение у нас найдено – это есть √21/5. Итак, основные параметры известны, есть каноническое уравнение, давайте приведем рисунок. Зафиксируем себе уравнение, все параметры и посмотрим на картинку (см. видео). Итак, фокусы F1 и F2 имеют значения примерно равные -4.5 и 4.5, большая полуось = 5, малая полуось = 2. Эллипс в канонической системе координат имеет вот такой вид (см. видео), эксцентриситет примерно равен 0.9.

Давайте рассмотрим другую задачу. В первом случае у нас с вами было дано уравнение эллипса, сейчас задача обратная, и известны некоторые условия. От нас требуется составить каноническое уравнение эллипса, то есть найти параметры а и b, и записать уравнение эллипса в нужной форме.

Что нам известно? Известен его эксцентриситет, то есть отношение параметра c к параметру а, далее известно в каких точках находятся фокусы. Итак, межфокусное расстояние = 12, то есть 2c = 12, параметр c = 6, во-вторых эксцентриситет e = c/a =2/3, c мы знаем, подставим в данное соотношение c, 6/a = 2/3, отсюда легко найдем параметр а: 6∙3/2 = 18/2 = 9. Обратите внимание, зная отношение c/a, мы еще не можем однозначно сказать чему c и a равны, неправильно считать, что раз двойка стоит в числителе, значит она равна c, то есть неправильно было бы сделать вывод, что с = 2, а a = 3, отношение равно 2/3, но при этом c у нас в три раза больше чем 2, значит и а в три раза больше чем 3, то есть, а = 9. Итак, a = 9, давайте найдем b. У нас есть c² = a² – b², b обладает подобным же соотношением: b² = a² – c², зная a и c, легко найдем b: b² = 81 - 36 = 45, а значит b – это √45, можно вынести девятку и записать, как 3√5, но нам в уравнении потребуется не b, а b², также вместо a, мы записываем а². Значит, уравнение имеет такой вид: x²/81 + y²/45 = 1.Итак, каноническое уравнение эллипса найдено, задача решена.

Еще одна задача. В ней имеется уравнение некоторой кривой, нам необходимо убедиться, что это уравнение задает эллипс, и требуется построить данную кривую. До этого мы рассматривали каноническое уравнение эллипса, то есть эта кривая была задана в канонической системе координат, здесь же уже система координат такова, что уравнение имеет другой вид. Если мы вспомним лекцию, то должны понимать, при необходимости мы можем в общем виде составить некоторые определители, и понять какую именно кривую задает наше уравнение. С другой стороны, после того, как мы это выясним, возникает вопрос: как эллипс построить? Для этого, поскольку у нас нет слагаемых с произведением x на y, мы можем так преобразовать нашу систему координат, а точнее, в качестве преобразования мы можем выполнить перенос осей так, чтобы новая система координат уже стала канонической. Давайте распишем это уравнение в полном виде, учитывая коэффициент перед x и y, который равен нулю, и перебросим свободный член в левую часть: 4x² + 0xy + 9y² – 16x + 18y – 11 = 0. Итак, если посчитать определитель, составленный из первых коэффициентов a, b, c – это ((4 0) (0 9)), то мы получим число 36, оно больше 0. Это и говорит о том, что наша фигура либо является эллипсом, либо вырождается в точку (получается такой вырожденный эллипс), либо имеет пустое множество решений. То есть в общем случае, можно сказать, что получается эллипс, который вырождается в точку, либо получается так называемый мнимый эллипс, но так или иначе фигура может быть названа эллипсом. В том, что фигура – невырожденная, предлагаем вам убедиться самостоятельно, составив определитель, используя все коэффициенты. Методика его составления отмечена в лекции.

А мы сейчас постараемся преобразовать данное уравнение таким образом, чтобы было понятно, как этот эллипс построить. А для этого, поскольку у нас отсутствует слагаемое с произведением переменных, давайте сгруппируем слагаемые, в которых содержится только переменная x, и слагаемые, в которых имеется только переменная y, далее используем методику выделения полного квадрата. Коэффициент 4 вынесем за скобки, в скобках получается x²–4x, для двух других слагаемых сделаем подобное преобразование, 9 вынесем, остается y² + 2y и равно все 11: 4(x² - 4x)+ 9(y² + 2y) = 11. Далее, чтобы получить полный квадрат, добавим необходимые слагаемые, именно + 4, в этом случае получаем полный квадрат, который мы в дальнейшем запишем в таком виде (см. видео): но обратите внимание, мы прибавили в скобочках + 4, учитывая множитель 4 прибавили16, чтобы ничего не изменилось надо вычесть 16. Аналогичную операцию произведем со вторым слагаемым, также выделим полный квадрат, говорят, дополним до полного квадрата, + 1, учитывая коэффициент 9, мы прибавим 9, значит, вычтем 9, чтобы ничего не изменилось, и получим квадрат выражения (y + 1): 4(x² - 4x + 4) – 16 + 9(y² + 2y + 1) – 9 =1. Свободные члены перенесем в правую часть:4(x – 2)² + 9(y + 1)² = 36. 36. Теперь уже мы получили знакомый вид, поделив на 36, получаем (x – 2)²/9 + (y + 1)²/4 = 1. Итак, если мы теперь переобозначим (x – 2) через x’, (y + 1) через y’, мы получим в точности каноническое уравнение эллипса: x’²/9 + y’²/4 =1. Каноническая система координат имеет другое начало, скажем Q, и другие оси координат, но они получены из данных осей параллельным переносом.

Для того, чтобы построить наш эллипс, мы можем построить такой эллипс, а затем сделать необходимый перенос. Посмотрите, что получится в этом случае. Так, давайте посмотрим, какие у нас здесь параметры для нашего эллипса, параметр a не изменяется, он равен 3, параметр b равен 2, большая полуось – 3, малая полуось – 2, а межфокусное расстояние вычисляется: c² = a² – b² = 5 Þ c = √5. Вот что должно получиться (см. видео). Давайте я запишу на этом слайде уравнение, которое мы там имели в системе координат Oxy: (x – 2)²/9 + (y + 1)²/4 = 1. Обратите внимание, что если мы сдвинем ось Оx вниз на одну единицу, а ось Оy вправо на 2 единицы, то в новой системе координат у нас как раз получается каноническое уравнение эллипса, которое было записано на предыдущем слайде. Итак, большая полуось – 3, малая полуось – 2, и вот сам эллипс (см. видео).

Итак, в системе Qx`y` он выглядит таким образом (см. видео), в исходной системе координат он получается переносом на вектор с координатами (2; –1). Задача решена.