Математика. Материалы курса

На данном занятии разберем решение некоторых задач, в которых фигурирует уравнение плоскости. Начнем с задачи, в которой нужно составить уравнение плоскости по исходным данным, а затем рассмотрим задачу на поиск расстояния от точки до плоскости.

Итак, допустим, нам известна точка M(1; 2; -1), которая принадлежит плоскости, и известны два направляющих вектора с координатами (2; 0; 3) и (-2; 3; 0). Необходимо составить уравнение этой плоскости. При этом требуется составить общее уравнение. Для этого мы вначале запишем каноническую форму через определитель, а затем перейдем к общему уравнению плоскости.

Чтобы решить данную задачу, нужно просто вспомнить лекционный материал. Формулу мы с вами выводили. Если известна точка и два направляющих вектора, то плоскость задается уравнением следующего вида (см. видео), составляется определитель, две строки которого совпадают с координатами направляющих векторов плоскости, а одна строка имеет следующий вид: (x-1, y-2, z+1) (из каждой переменной мы вычитаем соответствующую координату). Обратим внимание, как легко запомнить, почему именно такую строку нужно записывать. У нас точка лежит на плоскости, а значит, она должна удовлетворять данному уравнению. Если мы подставим ее координаты, мы получим нулевую строку, значит, независимо от других строк указанный определитель будет равен нулю, и мы получим верное числовое равенство.

Итак, первая строка имеет такой вид (см. видео), остальные строки (2, 0, 3) и (-2, 3, 0) (они совпадают с координатами направляющих векторов). Автоматически получается требуемое уравнение, которое называется каноническим уравнением плоскости: (см. видео).

Чтобы перейти к общему уравнению, разложим данный определитель, например, по первой строке. Раскладываем по первой строке: x-1 (знак плюс перед элементом) умножается на определитель, получаемый вычёркиванием первой строки первого столбца, вычисляем его 0-9, значит, умножаем на -9. Далее, второй элемент нам даст второе слагаемое, но его номер 3, сумма индексов нечетная возникает знак минус (не забываем про это). y-2 умножается на определитель (вычеркиваем строку столбец получается определитель) |(2 3) , (-2 0)|. Вычисляем, получается 6. И наконец, третье слагаемое со знаком плюс, z+1 умножается на определитель |(2, 0), (-2, 3)| (потому что мы вычеркиваем третий столбец и третью строку), он равен 6. Итак, еще раз параллельно вспомнили, как раскладываются определители, в нашем случае третьего порядка. Далее осталось раскрыть скобки, привести подобные: (x-1)(-9)-(y-2)*6+(z+1)*6. То, что содержит переменные: -9x-6y+6z, и дальше – свободный член. Попытайтесь вычислить самостоятельно, затем сверьте с тем, что получится у меня. Аккуратно найдите свободный член, а затем, возможно, придется провести сокращение. Проверяем: свободный член – +27. В принципе уравнение составлено, но для простоты записи имеет смысл поделить на общий множитель, в нашем случае на –3. Получается уравнение, равносильное данному, то есть плоскость не меняется, это просто уравнение приобретает более простой вид. Таким образом, общее уравнение выглядит так: 3x+2y-2z-9=0. Обратите внимание, себя можно легко проверить, не ошиблись ли вы где-нибудь, подставив в уравнение точку M. При подстановке должно получиться верное числовое равенство. Проверьте самостоятельно. Задача решена.

Еще одна подобная задача. Зададим плоскость аналитически, зная одну из ее точек М(5; -3; 0) при условии, что эта плоскость перпендикулярна указанной прямой (см. видео). Нетрудно понять, что плоскость задается такими условиями однозначно. А именно, есть точка, есть прямая, через точку можно провести ровно одну плоскость, перпендикулярную данной прямой. При этом, если у этой прямой рассмотреть направляющий вектор, то коль скоро прямая перпендикулярна плоскости, то и направляющий вектор у этой прямой является нормальным вектором для нашей плоскости.

Итак, получается, что точка лежит в плоскости, а вектор, который определяет направление прямой, есть нормальный вектор для нашей плоскости. Давайте найдём его координаты. У нас прямая задана каноническим уравнением, значит числа, стоящие в знаменателе определяют вектор а(1; 2; -2). Это и есть нужный нам вектор, который является нормальным для плоскости. Все! Можно составлять уравнение плоскости. Точка, которой задается прямая, нам абсолютно не важна. Она не обязана быть точкой, в которой плоскость пересекает прямую, это какая-то другая точка. И к нашей задаче, повторяю, она не имеет никакого значения.

Итак, составляем уравнение плоскости, которая проходит через точку M и имеют нормальный вектор a. Для того чтобы такое уравнение получить, записываем координаты вектора, как коэффициенты перед выражениями. Что из себя представляют эти выражения? Это есть те же самые выражения, что мы составляли в предыдущей задаче: 1(x-5)+2(у+3)-2(z-0), (то есть из координат переменных мы вычитаем соответствующие координаты точки M). Далее приравниваем выражение к нулю. Опять же не трудно понять, почему именно так. Если подставить координаты точки M в данное равенство, все слагаемые обнулятся, и мы получим верное числовой равенство, то есть точка M лежит в нашей плоскости. Итак, а коэффициенты 1, 2, -2 – это координаты нормального вектора. После преобразований мы получим общее уравнение следующего вида: x+2y+2z+1=0. Все. Задача решена, общее уравнение получено. Причем, обратите внимание, координаты, точнее коэффициенты при переменных – 1, 2, -2 – это и есть координаты нормального вектора данной плоскости.

Ну, а теперь перейдем к заявленной ранее задаче о поиске расстояния от точки до плоскости. Обращаю внимание, что подобную задачу мы рассматривали в теме «Уравнение прямой на плоскости». Там мы искали расстояние от точки до прямой, при этом данная задача решается аналогично той.

Давайте вспомним основные шаги ее решения и запишем подобную формулу. Имеется некоторая плоскость, заданная общим уравнением ax+by+cz+d=0, есть точка M(x₀, y₀, z₀,), мы ищем расстояние, то есть длину перпендикуляра, опущенного из точки на данную плоскость. В чем заключается идея? Давайте, расстояние обозначим буквой d, то есть длина отрезка MH, так вот это расстояние находится из следующей формулы. Вспоминаем, что у плоскости есть нормальный вектор, его координаты n(a, b, c). Так как отрезок MH перпендикулярен плоскости, то векторы MH и n – коллинеарны, а значит, их скалярное произведение равняется либо произведению длин этих векторов, если они сонаправлены, либо произведению со знаком минус, если они имеют противоположные направления, потому что вектор n может быть вполне направлен и вниз для данного рисунка. Поэтому модуль скалярного произведения – это произведение длин |MH*n|. Длина MH это d, ну и длина вектора n запишется так: |n|. Дальше, раз вектор n имеет координаты (a, b, c), значит, его длина найдется как квадратный корень из суммы квадратов его координат: √(a²+b²+c²).

Нам останется найти лишь модуль скалярного произведения. Для этого предлагаю вам самостоятельно найти координаты вектора MH. Для этого запишите координаты точки H (x,y,z), координаты точки M(x₀, y₀, z₀). Далее перемножьте скалярно эти два вектора, раскройте скобки, у вас будет выражение. В этом выражении у вас появится следующая сумма ax+by+cz, она будет равна -d. После этого левая часть преобразуется к следующему виду |ax₀+by₀+cz₀+d|, если вдруг у нас под модулем появятся знак минус во всех слагаемых, мы можем все поменять на плюс. Должно получиться ax₀+by₀+cz₀+d. Повторяю, что подобную процедуру мы с вами подробно выполняли на одной из предыдущих практик. Пока я записываю, вы уже можете у себя проделать некоторые преобразования и убедиться в том, что получится именно такое выражение. Повторяю, расписываете координаты вектора MH, умножаете на вектор n скалярно, приводите подобные и пользуетесь тем, что точка H лежит в плоскости, а значит, удовлетворяет данному уравнению. Из этого равенства легко выразить требуемое расстояние d. Для этого надо левую часть равенства поделить на квадратный корень.

Итак, запишем формулу, можете вспомнить, если уже записали его себе в тетрадь, как выглядит подобная формула для расстояния от точки до прямой на плоскости и сравнить: d=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²). Выражение получается абсолютно аналогичным, единственное, что за счет третей координаты, добавляется по одному слагаемому. Однако, если мы хотим найти расстояние от точки до прямой, заданной в пространстве, там уже подобной хорошей формулы нет, однако, как находить указанное расстояние, мы рассматривали на соответствующем практическом занятии. То есть, в итоге, вы должны знать и уметь вычислять расстояние от точки до прямой, заданной на плоскости, используя подобную формулу, расстояние от точки до прямой в пространстве и, что мы сейчас вывели, расстояние от точки до плоскости.