Математика. Материалы курса

На данном занятии мы рассмотрим ряд задач, в которых требуется составить уравнения прямой по некоторым данным. Также решим задачи на выяснение взаимного расположения двух прямых.

Мы рассматриваем прямые, заданные в трехмерном пространстве. Пусть в трехмерной системе координат известны координаты трех точек А(1; 2; -2), В(2; 3; 4) и С(-4; 1; 2). Составим уравнение прямой, которая проходит через точку А параллельно вектору ВС.

Сделаем схематичный рисунок (см. видео): есть три точки А, В и С. Наша прямая должна проходить через точку А и иметь направление ВС или СВ, то есть в качестве направляющего вектора мы можем взять любой вектор, коллинеарный ВС. Давайте найдем его координаты, зная координаты его конца и начала: вектор ВС(-6; -2; -2). При этом может взять коллинеарный ему вектор, например, поделив все координаты на -2. Получим вектор а, который также является направляющим для требуемой прямой: а(3; 1; 1). Нам требуется составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; 2; -2), параллельно вектору а(3; 1; 1).Так как координаты направляющего вектора ненулевые, то мы можем записать уравнение в каноническом виде. Напомним, что для этого надо сделать. Уравнение представляет собой равенство трёх дробей, в знаменателе находятся координаты направляющего вектора, в числителе стоят выражения вида х минус первая координата точки, у минус вторая координата, z минус третья координата. Очевидно, что если мы так сделаем, то точка А, с указанными координатами, будет удовлетворять данному равенству. Во всех частях уравнений мы получим нели. Итак, подставляем координаты: (х-1)/3=(у-2)/1=(z+2)/1 – требуемая прямая задана таким уравнением, каноническим уравнением прямой. Итак, пункт а) выполнен, уравнение найдено.

Давайте теперь составим уравнение прямой, которая приходит также через точку А и через точку, которая является серединой отрезка ВС. Как мы знаем, прямая по двум точкам определяется однозначно. Нам осталось найти вторую точку, а именно середину отрезка ВС. Вспомним, как находится середина отрезка. В нашем случае, точка М. Находим полусуммы соответствующих координат, получаем: М(-1; 2; 3). Чтобы прямая проходила через данные точки - М(-1; 2; 3), А(1; 2; -2), она должна иметь направление АМ или МА. Соответственно, мы опять можем легко найти направляющий вектор. Например, для вектора МА находим координаты и получаем одну интересную особенность: вторая координата будет нулевой, потому что у точек вторые координаты одинаковые, МА(2; 0; -5). Так как направляющий вектор имеет нулевую координату, то если мы будем записывать уравнения так, как делали в предыдущем пункте, у нас возникнет 0 в знаменателе. Чтобы такого не произошло, зададим прямую с помощью параметрических уравнений. У нас есть точка, через которую проходит прямая, например, точка М и направляющий вектор. Значит, координаты точек прямой имеют следующий вид: (см. видео). Сразу сделаем заготовку, запишем левые части параметрических равенств. Теперь запишем общий вид каждой из трех координат. Считаем, что прямая проходит через точку М параллельно вектору МА, значит, x выразится как -1+2t, где t принимает произвольное значение. Дальше, аналогично, будет 2+0t, то есть просто 2 – вторая координата у прямой всегда равна двум. И наконец, z – это есть 3-5t. Параметр t принимает произвольное действительное значение, то есть принадлежит множеству R. Обратите внимание, что при t, равном нулю, мы как раз получаем координаты точки (-1, 2, 3), через которую проходит данная прямая. Итак, полученная система равенств задает нашу прямую. Говорят, что прямая задана параметрически.

Давайте решим следующую задачу. Выясним взаимное расположение двух прямых (х+2)/2=(у-4)/-6=(z-2)/-8, (x-1)/-1=(y+5)/3=(z-k)/-4. Обе прямые заданны каноническими уравнениями, причем первая прямая определена однозначно, а во второй прямой имеется параметр k. Нам необходимо при всевозможных значениях этого параметра выяснить, как соотносятся между собой две данные прямые.

Чтобы выяснить взаимность расположения, выпишем направляющие векторы этих прямых. Эти направляющие векторы задаются числами, стоящими в знаменателях дробей. Первая прямая имеет направляющий вектор a(2, -6, -8), вторая прямая имеет направляющий вектор b(-1, 3, 4). Посмотрите на координаты и убедитесь, что они пропорциональны. Если координаты вектора a разделить на -2, мы получим строку координат вектора b. Значит, векторы а и b коллинеарны. Следовательно, прямые имеют одно и тоже направление. О чем это говорит? Прямые либо параллельны, в том плане, что они не имеет общих точек, тогда у них направляющие векторы коллинеарны, либо возможен второй случай – прямые могут совпадать, то есть любая точка одной прямой является также точкой другой прямой.

Нам надо выяснить, какой из этих двух вариантов имеет место быть, а, может быть, могут быть верным оба варианта, при разных k. Как выяснить, совпадают прямые, либо не совпадают?

Зная уравнение прямых, мы сразу можем назвать по одной точке, которые на этих прямых лежат. Тогда, если у нас прямые различные, то вектор образованный данными точками уже не будет коллениарен направляющему вектору данных прямых. Если же прямые совпадают, тогда рассмотрев такой же вектор, мы получим, что все три вектора коллинеарны. Тем самым, мы сможем определить, какой из двух вариантов имеет место быть.

Какая точка принадлежит первой прямой? Смотрим на числители дробей. Первая прямая задается точкой М₁ с координатами (-2; 4; 2). Обратим внимание, что первая координата -2, потому что здесь стоит выражение x+2. Для второй прямой, точка, которая лежит на ней, имеет координаты (1; -5; k). Давайте, запишем вектор М₁М₂ и, в зависимости от его коллинеарности или неколлинеарности векторам а и b, сделаем вывод.

Находим координаты по известному правилу. Получаем, координаты вектора М₁М₂(3; -9; k-2). Давайте подумаем, могут ли все три вектора быть коллинеарны? Посмотрим на первые две координаты, они известны. Если мы поделим на -3, то, как раз, получим первые две координаты вектора b, то есть первые две координаты пропорциональны. Для того, чтобы и третьи координаты имели тот же коэффициент пропорциональности, надо чтобы k-2 было равно 4*(-3). В этом случае все три вектора будут коллинеарны. То есть каждая координата вектора М₁М₂ равняется координате вектора b, умноженной на -3. Таким образом, делаем вывод. Если k-2=-12, то есть k=-10, все три вектора коллинеарны, а значит, имеет место второй вариант: прямые совпадут. Итак, при k = -10 прямые совпадают. Если же k не равняется -10, то в этом случае векторы а и b коллинеарны, но вектор М₁М₂ уже не будет им коллинеарен, поэтому имеет место первый случай: прямые не имеют общих точек. Для всех k не равных -10 прямые параллельны, в том плане, что не имеют ни одной общей точки, но при этом лежат на одной плоскости, потому что у них одинаковое направление.

Таким образом, независимо от параметра k прямые обязательно имеют одинаковое направление, при -10 они совпадают, для любого другого k они параллельны (не имеют общих точек).

Решим подобную задачу. Даны две прямые, причем они заданы разными уравнениями. Первая прямая задана каноническим уравнением (x-2=y+1=z), вторая прямая параметрическим (x=-3, y=5, z=1+t). Поймем, как соотносятся в этом случае данные прямые и найдем угол между ними.

Обратите внимание двойное равенство, которым задана первая прямая, это также каноническое уравнение прямой, просто в этом равенстве нет знаменателей из-за того, что направляющий вектор имеет единичные координаты. Мы легко можем записать указанное уравнение в следующем виде: (x-2)/1=(y+1)/1=z/1. Значит, направляющий вектор первой прямой имеет координаты а(1; 1; 1). А точка, через которую проходит прямая, имеет координаты M₁(2; -1; 0).

Про первую прямую мы получили полную информацию, смотрим на вторую прямую. Она задана параметрически. Первые два равенства имеют интересный вид: в них нет параметра t. Мы всегда можем записать комбинацию +0t. Значит, вторая прямая проходит через точку M₂ с координатами (-3; 5; 1). Эта точка соответствует нулевому значению параметра. Запишем теперь координаты направляющего вектора этой прямой, они находятся по коэффициентам при параметре: b(0; 0; 1). Обратите внимание, этот вектор коллинеарен оси Oz, то есть вторая прямая параллельна третьей координатной оси, оси аппликат.

Теперь, когда нам про прямые все известно, мы можем составить вектор M₁M₂, и понять лежат ли прямые в одной плоскости. В отличие от предыдущей задачи векторы а и b уже не будут коллинеарны, поэтому здесь параллельности не будет. Возникают два варианта либо прямые пересекаются, либо они скрещиваются. Чтобы это выяснить, составим вектор M₁M₂, он имеет координаты (-5; 6; 1). Теперь все определится координатами трех векторов: а, b и M₁M₂. Если они некомпланарны, прямые скрещиваются, если же они копланарны, значит, прямые пересекаются. Для того, чтобы выяснить будут ли векторы компланарными или нет, давайте составим из них определитель и поймем равен он нулю, либо не равен. Причем вектор b напишем в третью строчку, в начале координаты вектора а, затем координаты вектора M₁M₂: (см. видео). Обращаем внимание, нам не надо находить точное значение этого определителя, нам важно понять равен он нулю, либо не равен. Для этого, что можно сделать? Можно, например, разложить по последней строке, так как здесь есть два нуля, тем самым получим определитель второго порядка. Учитывая знак, (третья строка третий столбец) сумма индексов чётная, значит, 1 умножается на определитель |(1, 1), (-5, 6)|. Так как у матрицы второго порядка строки непропорциональны, значит, она невырожденная. Нам неважно, чему равен определитель, главное, что это не ноль. Значит векторы не компланарны, то есть не параллельны одной плоскости. Что отсюда вытекает? А то, что прямые скрещиваются. Итак, прямые заданные указанными уравнениями является скрещивающимися, то есть лежат в разных плоскостях. Задача решена.

И наконец, задача на нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости. Вычислите расстояние h от точки М(2; 3; -1) до прямой l, заданной параметрическими уравнениями (x=1+t, y=2+t, z=13+4t). На плоскости мы выводили формулу, позволяющая найти указанное расстояние. Там получается простой алгоритм в виде формулы. В пространстве задача решается немного сложнее. Формула имеет достаточно сложный вид.

Давайте изначально поймем, каким образом, какие этапы надо выполнить, чтобы решить эту задачу. Имеется прямая, неважно как заданная, у нас прямая задана параметрически. Давайте сразу же найдем точку, которая лежит на этой прямой, подставим t, равное нулю, и получим M(1, 2, 13), направляющий вектор имеет координаты a(1, 1, 4). Сразу отложим на рисунке от точки K. Отметим точку M(2, -3, 1), она находится где-то вне этой прямой.

Предлагаю найти вектор KM. Давайте найдем его, а потом поймем, как эти векторы помогут нам для решения нашей задачи. Обозначим вектор KM буквой b. Один вектор у нас – вектор а, второй – вектор b, который мы отложим от той же точки K. Находим вектор KM(1; 1; -14).

Теперь давайте поймем, как же найти расстояние от точки до нашей прямой. Что такое расстояние? Это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую. Векторы а и b задают параллелограмм, мы неоднократно с ним работали. Данная высота (длина её обозначена h) является высотой данного параллелограмма и входит в известную формулу площади. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна произведению высоты на длину стороны, к которой она проведена, то есть на модуль вектора а: S=h*|a|. Вектор a у нас есть, значит, его длину мы найдём, h неизвестно, его требуется найти. Осталось найти, чему равно S. Зная S, легко выразим h, но это снова известная задача: найти площадь параллелограмма, построенного на двух векторах. Ее можно решить либо через скалярное произведение, либо через векторное. Давайте найдем площадь параллелограмма, используя векторное произведение. Напоминаю, что площадь численно равна модулю векторного произведения a на b, а само векторное произведение вычисляется по следующей формуле: см. видео. После чего раскладываем определитель по первой строке и получаем разложение данного вектора по базису. Надеюсь, вы помните, как это делается. Итак, закрываем первую строчку, мысленно вычеркиваем, и дальше постепенно находим 3 определителя второго порядка. Первый из них будет равен 18, второй – тоже 18, потому что первые две строки одинаковые, но возникает знак минус, вспомните почему. И коэффициент перед k равен 0, то есть 0k. Значит, векторное произведение имеет координаты (18; -18; 0). Для того чтобы проще посчитать, вынесем 18 за скобку и получается, что векторное произведение может быть записано следующим образом: 18 умноженное на вектор с координатами (1; -1; 0). Правильнее было бы сказать, мы отождествляем эту линейную комбинацию с координатами, 18 вынесли за скобку остаются коэффициенты (1; -1; 0). Очевидно, что длина этого вектора, векторного произведения а на b, – это и есть длина вектора с такими координатами, умноженная на 18. Длина вектора равна √2, умноженному на 18, значит, площадь нашего параллелограмма это 18√2.

Осталось подставить в равенство S=h*|a| и выразить высоту h. Давайте это сделаем и получим ответ: 18√2=h√18. У вектора а нашли его длину по известной формуле: квадратный корень из суммы квадратов координат. Получается √18 или, если вынести девятку из-под знака корня, то 3√2. После этого легко выразить h. Высота параллелограмма равна 6. Значит, расстояние точки M до заданной прямой равно 6. Задача решена.

Итак, обратите внимание на алгоритм. Используя данный алгоритм, вы всегда сможете решить подобную задачу. Неважно, как задана прямая, главное, найти у нее направление и точку. Дальше составляете подобную конфигурацию и находите требуемое расстояние.