Математика. Материалы курса

 

На лекции рассмотрим способы составления уравнения прямой на плоскости и в трехмерном пространстве, а также обсудим варианты взаимного расположения прямой и плоскости.

Вначале поговорим о том, каким образом можно задать фигуру. Отметим, во-первых, что фигурой на плоскости или в пространстве мы будем называть любое множество точек пространства или плоскости. В качестве примера давайте рассмотрим известную нам фигуру – окружность. Эта фигура представляет собой множество точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки, которую называют центром окружности, а расстояние, на которые удалены точки окружности, называют радиусом. Будем считать, что фигура F задана некоторым уравнением. Для плоскости это будет уравнение с двумя переменными. Точка M(x, y) принадлежит фигуре тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют данному уравнению, то есть при подстановке координат точки вместо переменных мы получаем верное числовое равенство.

Для трехмерного пространства имеем аналогичное утверждение. Единственное различие: уравнение будет содержать три переменные.

Давайте составим уравнение окружности. Итак, пусть нам дана окружность, которая задана геометрически точкой O, и радиусом r, тогда произвольная точка M(x, y) будет лежать на окружности тогда и только тогда, когда расстояние от точки M до точки O будет равно заданному числу r. Вспомним, как находится расстояние между двумя точками, запишем это выражение: √((x-x₀)²+(y-y₀)²), и возведем его в квадрат, тем самым получим, что r² = (x-x₀)²+(y-y₀)². Учитывая, что r, x₀, y₀ – это постоянные числа, мы имеем уравнение с двумя переменными, которое представляет собой уравнение на плоскости.

Часто фигуру задают с помощью, так называемой, системы уравнений с параметром. Давайте допустим, что у нас имеется некоторая переменная t, которая принимает произвольное значение из заданного промежутка [a₁, a₂], В зависимости от значения t из данного промежутка, мы можем вычислить координаты точки x и y. Параметр t мы можем мыслить, как временной параметр, то есть в зависимости от момента времени t точка находится в некотором месте плоскости, параметр t описывает время движения точки с координатами x и y. Если параметр t изменяется из промежутка от a₁ до a₂, то левая граница промежутка – это начальный момент времени, правая граница – это конечный момент времени. Выражения, которые определяются переменными x и y, являются числовыми функциями, зависящими от параметра t.

Для примера предлагаю записать уравнение окружности с помощью параметрических уравнений. Будем считать, что центр окружности находится в начале координат, и окружность имеет радиус r. Давайте сделаем чертеж. Изобразим окружность с центром в точке O, возьмем на ней произвольную точку M(x, y) и запишем необходимую систему уравнений. Итак, точка M будет лежать на окружности тогда и только тогда, когда выполняется следующая система равенств: x = r∙cos(t), y = r∙sin(t), tÎ[0, 2p]. Эта система вытекает из определений тригонометрических функций от угла t, то есть параметр t мы здесь мыслим, как угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором точки M. Итак, окружность может быть задана указанной системой параметрических уравнений.

Теперь подобным образом обсудим, каким образом можно аналитически задать прямую с помощью уравнения. Итак, допустим, что на плоскости задана некоторая система координат, в этой системе координат каждая прямая задается линейным уравнением с двумя переменными: ax + by + c = 0 (об этом мы с вами уже говорили на предыдущих лекциях, когда рассматривали понятие линейного уравнения). При этом данное равенство будет задавать прямую тогда, когда хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю. Такое уравнение называют общим уравнением прямой. Тот факт, что какой-то параметр a или b не равен нулю, равносильным образом можно записать в виде выражения, означающего, что (a² + b²) ¹ 0. Итак, в дальнейшем, когда будем рассматривать общее уравнение прямой, всегда будем иметь указанную оговорку, что какой-то один коэффициент отличен от нуля. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если у нас оба параметра не равны нулю одновременно, то в этом случае имеем прямую, которая пересекает обе оси, и ось абсцисс, и ось ординат.

Для примера на рисунке изображена прямая, она задается указанным уравнением, при этом оба параметра а и b не равны нулю (см. видео). Допустим, что параметр a равен нулю, в этом случае получаем, что прямая будет параллельна оси абсцисс. Например, если а = 0, b =1, с = -2, то получаем прямую y = 2, которая проходит через точку с координатами (0, 2) и параллельна оси абсцисс. Если же параметр b = 0, в этом случае прямая будет параллельна оси ординат. На рисунке такой пример приведен (см. видео).

Итак, возьмем общее уравнение прямой на плоскости. Давайте допустим, что параметр b ¹ 0, в этом случае это уравнение легко преобразовать, выразив переменную y. Коэффициент при x и свободный член, давайте обозначим буквами k и m, тем самым получим, что уравнение прямой преобразуется к виду y = kx + m. Параметр k называется угловым коэффициентом данной прямой, при этом данное уравнение задает линейную функцию. Ее графиком, как известно, является прямая, коэффициент k называется угловым, так как он связан с углом, который образует данная прямая с осью абсцисс. Во-первых, отметим, что эта прямая пересекает ось координат в указанных точках, и теперь давайте отметим угол a между прямой и осью абсцисс. Для рассмотренного примера угол острый, в этом случае тангенс угла наклона будет > 0, так вот, тангенс угла наклона как раз и равен коэффициенту k. Если же у нас прямая будет параллельна оси абсцисс, то есть угол = 0, тогда и коэффициент k будет равен нулю. Равенство нулю коэффициента k означает, что параметр a равен нулю (и как мы знаем, в этом случае получаем прямую, параллельную оси абсцисс). Также возможен вариант, когда угол a будет тупым, то есть > 90°, в этом случае tg этого угла <0, а значит и коэффициент k будет отрицательным.

Итак, резюмируем тот факт, что если прямая задана как график линейной функции, то коэффициент k равен тангенсу угла наклона между прямой и осью абсцисс.

Если нам задана точка, лежащая на прямой, и задан угловой коэффициент, то мы легко можем записать уравнение прямой, представив его вот в виде: y–y₀ =k(x–x₀). Таким образом, зная точку и угловой коэффициент, мы однозначно задаем прямую аналитическим путем, то есть через уравнение.

Теперь допустим, что у нас имеются две прямые, каждая из них заданных общим уравнением, и давайте теперь поговорим про общие точки этих прямых. Как известно, две прямые на плоскости могут иметь только одну общую точку, либо точек бесконечно много, либо совсем не иметь общих точек.

Если есть общие точки, то они является решениями системы, составленной из данных уравнений. Для того, чтобы прямые пересекались, надо чтобы эта система имела ровно одно решение, чтобы выполняется тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.

Для того, чтобы прямые совпадали, то есть чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы определить ∆ был равен нулю, и при этом строки, составленные из коэффициентов данных уравнений, были пропорциональны, включая свободный член.

Если же ∆ будет равен нулю, а строки, составленные из коэффициентов, будут непропорциональны, то система не будет иметь решения, то есть прямые не будут иметь общих точек.

Теперь поговорим о том, каким образом можно задать прямую, и для каждого случая составим алгоритм построения, соответствующего уравнению данной прямой. 1) Прямая на плоскости может быть задана двумя различными точками. 2) Некоторой точкой, лежащий на прямой, и направлением.

Направление можно по-разному определить, например, мы уже знаем, что направление задается через угол между прямой и осью Ox, то есть через угловой коэффициент, во-вторых, чтобы задать направление можно указать вектор, который параллелен данной прямой. Ненулевой вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором, обозначим его той же буквой, что и прямую, только со стрелочкой, подчеркивая, что это вектор. И, наконец, направление можно задать, указав вектор перпендикулярный прямой, такой ненулевой вектор называют нормальным вектором данной прямой.

Теперь более подробно рассмотрим случай, когда прямая задается точкой и направлением. Итак, считаем, что направление у нас задано через угловой коэффициент, пусть прямая l₁ имеет коэффициент k₁, прямая l₂ - коэффициент k₂, каждый коэффициент определяет угол, между соответствующей прямой и осью абсцисс. Поэтому, если прямые будут параллельны, то это означает, что углы a₁, a₂ равны, то есть равны и угловые коэффициенты. Таким образом, параллельность прямых означает равенство их угловых коэффициентов.

Теперь допустим, что прямые не параллельны, и рассмотрим алгоритм поиска угла между прямыми. Давайте вспомним, что понимается под углом между прямыми. Если две прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший угол, который образуется при пересечении этих прямых, если же прямые параллельны, то в этом случае угол считается равным нулю.

Итак, рассмотрим две прямые и для иллюстрации приведем вот такой рисунок (см. видео). Обратите внимание, что угол между прямыми не может быть тупым, то есть он либо острый, либо прямой. Допустим, что угол острый, то есть прямые не перпендикулярны, тогда из двух разных углов между прямыми выбираем наименьший, обозначим его b. Из рисунка видно, что угол b может быть выражен через углы a₁ и a_2. В данном случае a₂ – это внешний угол треугольника, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, то есть угол b = a₂–a₁. Если угол b получится тупым, то есть внутренний угол треугольника будет тупым, то тогда угол между прямыми будет равен 180° минус этот угол, то есть он будет являться смежным углом к углу b, поэтому тангенс внутреннего угла треугольника может быть меньше нуля. Для того чтобы минус убрать, мы берем знак модуля. Итак, тангенс угла между прямыми равен модулю тангенса разности углов a₁, a₂.

Теперь, применяя тригонометрическую формулу тангенса разности углов, мы можем расписать указанное выражение через угловые коэффициенты, таким образом, зная угловые коэффициенты прямых, мы легко сможем отыскать тангенс угла между прямыми (см. видео). Обратите внимание, что в знаменателе стоит выражение единица плюс произведение тангенсов углов a₁, a_2. Если это выражение, стоящее в знаменателе будет равно нулю, то угол b будет прямым, то есть в этом случае данную формулу применять нельзя, а равенство нулю указанного выражения дает нам критерий перпендикулярности прямых.

Давайте проведем более подробное рассуждение. Итак, допустим, что угол b прямой, в этом случае связь a₂ и a₁ имеет вот такой вид a₂ = p/2+a₁, то есть они отличаются на угол p/2, и в этом случае, перемножая тангенсы, мы как раз таки получаем в произведении минус единицу, другими словами, знаменатель в предыдущей формуле равен нулю. Итак, две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов = -1.

Теперь допустим, что две прямые заданы точкой и направляющим вектором. Итак, для прямой l₁ – направляющий вектор l₁, для прямой l₂ свой направляющий вектор. Также рассмотрим для каждой прямой нормальный вектор n₁ и n₂, и постараемся описать алгоритм поиска угла между прямыми через данные векторы. Опять же вначале рассмотрим случай, когда прямые параллельны. В этом случае их направляющие векторы – коллинеарны, а как мы знаем, коллинеарность означает пропорциональность их координат.

Теперь давайте вместо направляющих векторов рассмотрим нормальные векторы. Для параллельных прямых нормальные векторы также будут параллельны.

С другой стороны, если прямые пересекаются, то в этом случае, чтобы найти угол между ними, вначале следует отыскать косинус угла между векторами. В качестве этих векторов можно взять направляющие векторы. Давайте посмотрим на картинку (см. видео), и поймем, что угол между векторами и между прямыми может быть равен, в случае, если угол между векторами окажется острым, если же угол кажется тупым, как на рисунке, то угол между прямыми опять же будет являться дополнением угла между векторами до 180°, поэтому косинус угла между прямыми будет равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

Как искать угол между векторами мы должны знать. Это делается через скалярное произведение, тем самым получаем вот такую формулу, косинус угла между прямыми имеет следующий вид: модуль выражения (см. видео), в числителе которого стоит скалярное произведение векторов, а в знаменателе произведение их длин.

Аналогичный результат можно получить через нормальные векторы. Давайте построим для данных прямых два нормальных вектора, при этом получаем аналогичную взаимосвязь, угол между нормальными векторами, если он острый, будет равен углу между прямыми, но если же он будет тупым, то дополняем этот угол до развернутого, поэтому снова получаем, что косинус угла между прямыми – это модуль косинуса угла между их нормальными векторами. Тем самым имеем еще один аналогичный результат.

Итак, для поиска угла между прямыми следует найти либо нормальные векторы, либо направляющие, и воспользоваться указанными формулами.

Наконец, критерий перпендикулярности прямых. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Аналогично для нормальных векторов.

Теперь поговорим о том, каким образом мы можем задать прямую аналитически, то есть составить ее уравнение. Напомним, что геометрически прямая однозначно задается точкой и направляющим вектором. Давайте постараемся составить уравнение такой прямой, то есть задать прямую аналитически. Произвольная точка M с координатами (x, y) будет лежать на данной прямой тогда и только тогда, когда вектор M₀M будет коллинеарен направляющему вектору, а значит, этот вектор можно выразить через направляющий. Распишем левую и правую часть данного векторного равенства через координаты, и, сравнивая координаты, получаем такую систему равенств, зависящую от параметра t, тем самым получаем систему параметрических уравнений прямой l. Итак, если нам задана точка, и задан вектор l, то мы можем задать прямую указанной системой равенств (см. видео). С другой стороны, коллинеарность векторов равносильна тому, что определитель, составленный из их координат, равен нулю. Этот факт мы с вами уже вспоминали неоднократно, таким образом, расписав данный определитель, получим следующее равенство, которое и является уравнением прямой. Его называют каноническим уравнением. При этом если координаты вектора направляющего вектора отличны от нуля, то это равенство можно записать в виде равенства двух дробей (x-x₀)/l₁ = (y-y₀)/l₂. Именно это равенство часто используют при составлении уравнения прямой.

Теперь допустим, что прямая задана точкой и нормальным вектором, в этом случае можно воспользоваться только что выведенной формулой. Для этого нам необходим направляющий вектор, то есть тот, который прямой параллелен, нормальный же вектор прямой перпендикулярен. Вспомним, что для критерия перпендикулярности прямых у нас имеется хорошее свойство: скалярное произведение векторов должно обратиться в ноль. Учитывая это свойство, мы легко можем найти координаты как раз таки направляющего вектора. Итак, запишем это равенство в произведении векторов nl, то есть векторы перпендикулярны, значит, направляющий вектор может быть задан координатами (–b, a), потому что, если мы перемножим скалярный вектор l и вектор n, мы получим в точности ноль. Ну, а зная направляющий вектор и точку, мы легко составляем уравнение указанной прямой, получается вот такое равенство: a(x–x₀) + b(y–y₀) = 0. Если же раскрыть скобки, то мы легко получим общее уравнение прямой, при этом коэффициенты при переменных а и b будут являться координатами нормального вектора. Имеет место обратное утверждение. Если у нас задана прямая с помощью общего уравнения, то в этом случае коэффициенты a и b при переменных, задают нормальный вектор, а числа –b, a являются координатами направляющего вектора. Эти факты полезно запомнить, они часто помогают при решении задачи.

Наконец вспомним, что прямую можно определить геометрически, указав две ее различные точки.

Итак, допустим, что нам известны координаты двух точек на плоскости, опишем каким образом можно получить уравнение прямой. Для этого нам потребуется направляющий вектор, который легко получается из данных точек. Например, вектор M₀M₁ является направляющим, значит, записывая каноническое уравнение прямой по точке и направляющему вектору, мы получаем уравнение, в котором фигурируют две заданные точки. Если координаты заданных точек будет попарно различны, то данное равенство легко преобразуется к следующему виду: (x-x₀)/(x₁-x₀) = (y-y₀)/(y₁-y₀), то есть к равенству двух дробей.

Также отметим, что если прямая пересекает координатные оси в двух точках, то ее уравнение может быть записано в указанном виде: x/m + y/n = 1 (см. видео), такое уравнение называют уравнением прямой в отрезках.

Итак, мы с вами подробно описали алгоритмы составления уравнения прямой на плоскости, теперь давайте перейдем к пространству.

В пространстве ситуация во многом аналогична. Прямую можно задать либо двумя точками, двумя различными точками она задается однозначно, во-вторых, точкой и направляющим вектором, а также в трехмерном пространстве прямую можно определить, как пересечение двух плоскостей, (то есть если две плоскости у нас пересекаются, как известно, то они пересекаются по прямой).

Давайте рассмотрим каждый из этих случаев более подробно. Итак, пусть прямая задана точкой и направляющим вектором. Если провести точно такие же рассуждения как на плоскости, мы можем легко получить указанную систему параметрических уравнений (см. видео). Каждое уравнение зависит от значения параметра t, который принимает любое значение. Также можно получить каноническое уравнение прямой, если координаты направляющего вектора не равны нулю, то это уравнение запишется в виде двойного равенства. Обратите внимание, мы получаем уже не одно линейное уравнение, а систему двух уравнений, если расписать равенства по отдельности.

Теперь допустим, что прямая задается двумя различными точками M₀ и M₁, опять же эти две точки задают направляющий вектор. И так же как для плоскости легко можно получить систему параметрических уравнений, в которых каждое равенство зависит от параметра t, а также если координаты заданных точек попарно различны, мы можем записать каноническое уравнение прямой в трехмерном пространстве.

Наконец, прямую можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Более подробно о плоскости мы поговорим на следующей лекции, но мы уже с вами знаем, что плоскость в пространстве задается линейным уравнением с тремя переменными.

Итак, допустим, что нам даны две плоскости, тогда множество решений системы уравнений и даёт нам множество точек, лежащих на прямой l, таким образом, данная система определяет прямую l. При этом отметим, что направляющий вектор этой прямой может быть найден как векторное произведение векторов, составленных из коэффициентов при переменных. Также, если мы решим данную систему, то есть запишем общее решение, найдём любые два решения данной системы, тем самым легко получим, например, каноническое уравнение прямой l.

Теперь поговорим о взаимном расположении двух прямых. Взаимное расположение однозначно определяется тремя векторами, во-первых направляющими векторами данных прямых l₁ и l₂, а также вектором M₁M₂, который получен из точек, через которые проходят данные прямые. Если прямые будут скрещиваться, то эти 3 вектора не будут параллельны одной плоскости, то есть будут не компланарны, а это значит, что определитель, составленный из их координат, будет не равен нулю, другими словами, их смешанное произведение будет отлично от нуля. Если же прямые пересекаются, это означает, что три данных вектора компланарны, а направляющие векторы данных прямых – неколлинеарны. А вот если же у нас направляющие векторы будут коллинеарные, но при этом не коллинеарны вектору M₁M₂, это означает, что наши прямые параллельны. И наконец, если все три вектор коллинеарны, то есть l₁, l₂, M₁M₂, то мы получим, что прямые совпадают, так как, будучи отложенные от одной точки, эти три вектора дадут нам одну прямую.