Математика. Материалы курса

На данном занятии рассмотрим несколько задач, при решении которых можно применить понятие векторного и смешанного произведения векторов.

Начнем с такой задачи. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на двух указанных векторах: a+3b и 3a+b, где а и b – это единичные векторы, угол между которыми равен 30 градусов.

Вспомним, что площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю векторного произведения данных векторов. Рассмотрим векторное произведение векторов a+3b и 3a+b и постараемся упростить данное выражение, используя условия задачи, при этом будем пользоваться известными из лекции свойствами векторного произведения.

Раскроем скобки, в силу дистрибутивного закона мы имеем право раскрывать скобки обычным образом, и тем самым получим: (a+3b)x(3a+b)=a x 3a+a x b+3b x 3a+3b x b (знак х означает векторное произведение).

Далее, по свойствам, числовые коэффициенты можно вынести за знак векторного произведения. Например, в первом слагаемом (a x 3a) мы получим комбинацию: 3(a x a). Как известно, одинаковые векторы, дают в произведении нулевой вектор, так как они коллинеарные. Так же в последнем слагаемом 3b x b получится нулевой вектор. В силу соответствующего свойства, третье слагаемое 3b x 3a = -9ba. Таким образом, данная сумма равна -8a x b.

Итак, нам нужна площадь параллелограмма, а это есть модуль векторного произведения, которое мы преобразовали до вида: -8 a x b. Получается: S=|-8 a x b |. Числовой коэффициент можно вынести со знаком плюс: 8|a x b|. Надо отыскать модуль векторного произведения |a x b|. По определению, это есть произведение длин данных векторов на синус угла между ними (именно между векторами а и b, по условию угол – 30 градусов): 8∙|a| ∙| b|∙sin30. Таким образом, это выражение легко вычислить. Векторы единичные, поэтому получается: 8∙sin30= 8∙1/2=4. Итак, площадь параллелограмма, построенного на указанных вектора, равна 4. Ответ задачи: S =4. Вот таким образом мы воспользовались понятием векторного произведения, хотя изначально в задаче о нем нигде не говорится.

Рассмотрим следующую задачу. Допустим, что в пространстве задана прямоугольная система координат. Требуется найти неизвестный вектор h, при этом известно, что он ортогонален двум данным векторам а(2; 3; -2), b(2; 2; 0), и его длина равна двум: |h|=2.

Cнова вспомним понятие векторного произведения векторов. Если найти векторное произведение векторов а и b, то мы получим вектор ортогональный данным, а значит, коллинеарный вектору h. Мы знаем, что если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Таким образом, предлагаю вначале вычислить векторное произведение a x b, используя координатную формулу, а затем записать условие, накладываемые на координаты неизвестного нам вектора.

Итак, вспоминаем, что данное выражение можно записать как определитель: в первой строке стоят базисные векторы (i, j, k), а далее координаты данных (именно в том порядке, в котором мы находим произведение) (2; 3;-2), (2; 2; 0). Далее, чтобы вычислить требуемый вектор, раскладываем по первой строке, тем самым получаем линейную комбинацию векторов i, j и k: |(3, -2)(2, 0)|i-|(2, -2)(2, 0)|j+|(2, 3)(2, 2)|k. Вычисляем координаты: 4i-4j-2k. Итак, координаты произведения a x b равны (4; -4; -2). Давайте обозначим координаты неизвестного нам вектор h через (x; y; z) и найдем эти числа.

Как мы сказал ранее, вектор h коллинеарен векторному произведению a x b: h(x; y; z)|| (a x b). Значит, его координаты пропорциональны найденным координатам, то есть можно вести некоторые коэффициент и записать следующую систему равенств: x=4t, y=-4t, z=-2t, где t некоторое число, некоторый параметр. Теперь воспользуемся тем, что нам известна длина вектора h, |h|=2. Значит, квадрат длины равен четырем: |h|²=4. Квадрат длины вектора – это сумма квадратов его координат: |h|² = x²+y²+z². Подставим вместо x, y, z, выражение через t и упростим: |h|²=(4t)²+(-4t)²+(-2t)²=36t². По условию, квадрат длины равен четырем: 36t²=4, t²=1/9. Получается, t=1/3 или t=-1/3, то есть вектор h определён неоднозначно. Так, в качестве вектора h можно взять любой из векторов. Подставим t=1/3, получаем координаты h₁(4/3; -4/3; -2/3) – это первый вариант ответа. И второй вариант ответа, при t=-1/3: h₂(-4/3; 4/3; 2/3) – это вектор противоположный к вектору h₁. Получили два варианта ответа. Заметим, что, если бы у нас в условии было сказано, например, что ориентация векторов a, b и h положительна, то тогда мы бы выбрали лишь один вариант ответа. В этом случае, вектор h был бы сонаправлен с векторным произведением. Если бы ориентация a, b и h была положительной, то мы бы выбрали только первый вариант, который соответствует числу t со знаком плюс. Если такого условия нет, то в ответ идут оба вектора. Итак, задача решена.

Теперь рассмотрим задачу, в которой используется понятие смешанного произведения. Известно, что смешанное произведение трех векторов равно 3 (abc=3), требуется найти смешанное произведение векторов (а + b)(b + c)(с + а) и (а - b)(b - c)(с - а).

Здесь надо воспользоваться свойствами смешанного произведения. Вспомним, какие свойства у нас есть. Рассмотрим (а + b)(b + c)(с + а). Если обозначим две вторые суммы за p и q (р=(b + c), q=(с + а)), то мы можем раскрыть скобки, то есть внести это произведение в сумму, получится: арq+ bрq. Таким образом, имеем следующее выражение: а[(b + c)(с + а)]+ b[(b + c)(с + а)] (мы работаем с векторами, но в результате получится число). Сейчас подобную процедуру мы применим внутри квадратных скобок. Квадратные скобки уберем (это просто указание, что это один и тоже вектор) и, например, (b + c) обозначим за р, получаем следующее смешанное произведение: ap(с + а)+ bp(с + а). Снова раскрываем скобки и получаем: a(b + c)с + a(b + c)а + b(b + c)с + b(b + c)а. Получилось достаточно длинная сумма. Теперь последний шаг – раскроем последние скобки. Итак, посмотрим, что мы получим, после раскрытия скобок. Распишем подробно первое слагаемое, а потом поймем, каким образом упростятся следующие слагаемые. Итак, получится: a(b + c)с=abc+acc. Обращаю внимание, что если в смешанном произведении имеется два равных вектора, то оно равно нулю, как числу, потому что, если мы распишем смешанное произведение через определитель, в нем будут две одинаковых строки, значит он обнулится. Аналогично, если мы раскроем все остальные скобки, в тех слагаемых, которые будут иметь подобный вид, также обнулятся. Например, a(b + c)а=0, как бы мы не раскрывали, у нас будет два равных вектора а и а, значит это 0. Раскроем скобки b(b + c)с, получаем bbс + bcс, снова одинаковые векторы, опять 0. И наконец, расписываем последнее произведение: b(b + c)а= bbа + bcа=0 + bcа. Таким образом, мы видим, что из нашей большой суммы осталось лишь два ненулевых слагаемых abc и bcа. Ещё одно свойство – выполним циклическую перестановку: вектор а во втором слагаемом перенесём на первое место, порядок оставшихся векторов сохраним, получим abc. Как известно, циклическая перестановка никак не изменяет смешанное произведение. Получается, в нашем выражении два равных слагаемых: 2abc. Обратите внимание, мы знаем, чему оно равно, по условию, это 3. Значит, получаем значение 6. Итак, требуемое смешанное произведение найдено, оно равно 6.

Перейдём к следующему пункту. Конечно, можно сделать всё то же самое, достаточно долго, но провести процедуру можно. Единственное, что из-за знака минус где-то получаются отрицательные коэффициенты. Мы поступим по-другому, заметим, что в этом смешанном произведение третий вектор (с - а) - эта сумма первых двух: (а - b)+(b - c) =(с - а). Это говорит о том, что эти векторы линейно зависимы, так как один из них является линейной комбинацией двух других. Смешанное произведение линейно зависимых векторов, как известно, равно 0. Напоминаем, что линейно зависимая тройка векторов означает, что они компланарны. Таким образом, в первом пункте задачи ответ 6, а во втором пункт сразу можно записать, что ответ равен нулю, без дальнейших преобразований.

И наконец, еще одна задача, в которой также уместно применить изученное понятие. В треугольной пирамиде с вершинами А(1; 1; 1), В(2; 0; 2), С(2; 2; 2), D(3; 4; -3), вычислить высоту, опущенную из вершины D. Заметим, что в задаче нигде не фигурирует ни векторное, ни смешанное произведение, однако давайте постараемся применить необходимые формулы.

Что нужно, для того чтобы вычислить длину высоты? Это, конечно, можно сделать разными способами, один из вариантов заключается в том, чтобы использовать обычную формулу для объемов, в которой присутствует высота.

Есть некоторая пирамида, нам нужна высота из вершины D (обозначим – h), АВС будет основание (см. видео). Как известно, V – объем данной пирамиды равен 1/3hS, где h – высота, S – площадь основания (площадь треугольника АВС). Из этой формулы можно выразить h: h=(3V)/S. Итак, нам необходимо отыскать объем и площадь основания данной пирамиды.

Здесь снова возникает понятие векторного произведения. Площадь треугольника – это 1/2 длины векторного произведения. Ранее мы считали площадь параллелограмма, там коэффициента 1/2 нет, а для треугольника он появляется. Объем – это 1/6 модуля смешанного произведения. Также нам понадобятся векторы. Треугольник АВС можно построить на векторах АС и АВ, введём их в рассмотрение. Пусть АВ – это вектор b, у него координаты (1; -1; 1), а АС обозначим вектором с(1; 1; 1). Наша пирамида или тетраэдр, построена на трёх векторах. Возникает вектор АD=d(2; 3; -4).

Осталось лишь применить координатные формулы для поиска площади и объема. Площадь – это половина длины векторного произведения b x c, именно на них построен треугольник АВС. Снова найдем этот вектор. Параллельно отмечу, что для площади треугольника можно было также применить скалярное произведение, на одной из предыдущих тем мы об этом говорили. Так, для проверки вы можете применить другую формулу и найти площадь через скалярное произведение. Итак, мы уже не будем подробно расписывать: b x c=|(i, j, k), (1, -1, 1), (1, 1, 1)|=-2i-0j+2k. Значит, площадь треугольника АВС – это половина длины векторного произведения (длина - это квадратный корень из суммы квадратов координат): S=1/2(4+0+4)^1/2=1/2(8)^1/2= 2^1/2=√2.

Осталось вычислить объем, то есть найти одну шестую модуля смешанного произведения: V=1/6|bcd| (порядок не важен, так как есть модуль). Итак, с одной стороны можем приметить формулу для вычисления смешанного произведения, с другой стороны, по определению, bcd это есть (b х c)d (b х c – мы уже знаем и можем пользовать, d на скобку умножается скалярно). Таким образом, вариантов вычисления здесь снова несколько. Воспользуемся вторым фактом, заодно вспомним формулу для скалярного произведения (перемножаем соответствующие координаты и их складываем): V=1/6|bcd|=1/6|(-4-0-8)|=12/6=2. Таким образом, объем данной пирамиды равен 2.

Осталось вспомнить выведенную нами формулу и найти требуемую высоту. Длина высоты h равна утроенному объему, делённому на площадь: h=6/√2=3∙√2. Итак, длина высоты, которая опущена из вершины D, равна 3∙√2. Задача решена.