Математика. Материалы курса

На данной лекции введем понятие скалярного произведения векторов. Вначале определим, что понимается под углом между векторами. Итак, пусть даны два вектора а и b. Углом между ними называется величина меньшего угла, на который можно повернуть один из векторов до положения сонаправленности с другим вектором. Если один из векторов равен нулю, то угол с таким вектором может принимать любое значение, то есть однозначно это значение можно не определять.

Итак, пусть имеется два вектора. Рассмотрим угол между ними, а затем перейдем к рассмотрению косинуса угла. Затем рассмотрим некоторые простейшие следствия.

Если векторы сонаправлены, то есть они коллинеарныы и имеют одинаковое направление, то угол между ними будет равен нулю, а значит, косинус этого угла равняется единице. Если же величина угла будет меньше 90 градусов, то есть угол острый, косинус такого угла будет принимать положительное значение. Если же угол прямой, то его косинус равен нулю. Далее, увеличивая угол, если он будет тупым, то его косинус меньше нуля. И наконец, для развернутого угла, то есть когда векторы противоположно направлены, косинус этого угла равняется -1.

Вспомним, какие операции мы умеем уже выполнять над векторами. Приведем соответствующие примеры из физики.

Пусть даны два вектора, тогда эти векторы можно сложить. Например, допустим, что у нас имеется некоторое тело, и на него действуют несколько сил. В этом случае вместо этих сил мы можем рассмотреть их сумму, так называемую, результирующую или равнодействующую силу. При этом, если мы все силы заменим их равнодействующей, то от этого движение тела никак не изменится. Итак, по двум векторам мы умеем конструировать новый вектор – их сумму.

Также мы знаем операцию, которая позволяет по вектору и числу находить новый вектор. Например, давайте вспомним Второй закон Ньютона. Он связывает вектор силы с вектором ускорения. Если вектор ускорения умножить на массу тела, мы получим вектор силы. Или в другой формулировке: ускорение равно силе, умноженной на число, обратное массе.

Также возникают задачи, когда по двум данным векторам мы получаем некоторое число. Рассмотрим такой пример. Пусть на тело действует некоторая сила f, при этом тело совершает некоторое перемещение s. Итак, имеем две векторные величины – силу и перемещение. При этом можно сказать, что сила совершает некоторую работу. Эта работа определяется данными векторами. При этом работа является уже скалярной величиной. Она измеряется в джоулях.

Давайте разберемся, каким образом это значение может быть определено, а точнее, от каких параметров оно должно зависеть? Итак, как я уже сказал, у нас имеется два вектора – силы и перемещения. Во-первых, работа должна зависеть от приложенного усилия, то есть модуля силы. А также от того, на какое расстояние переместилось тело, то есть от модуля перемещения. Заметим, что, если у нас тело никуда не сдвинулось, то есть совершило нулевое перемещение, то можно сказать, что проведена нулевая работа (работа равна нулю, работы нет). При этом должна быть зависимость от угла между данными векторами. То есть работа должна зависеть от взаимного расположения этих векторов. Поэтому, принимаем следующую формулу, работой называется произведение модуля силы на модуль перемещения, умноженный на косинус угла между ними. Вот такое выражение и называют скалярным произведением данных векторов.

Понятно, что чем большее усилие мы прилагаем, тем большую работу совершаем. При этом, чем на большее расстояние сдвигается тело, тем совершается большая работа.

В общем случае, под скалярным произведением данных векторов а и b понимается подобное выражение, то есть произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Еще раз обращаю внимание, что в результате данной операции по двум данным вектором, мы получили число, то есть скалярную величину.

Рассмотрим основные свойства введенной операции.

Во-первых, поработаем со знаком скалярного произведения. Напомню, что каждый угол задает некоторый косинус, при этом зависимости от угла косинус имеет определенный знак, который определяет знак скалярного произведения. Итак, рассмотрим вариант, когда векторы у нас сначала сонаправлены, то есть рассмотрим наименьшее значение угла. Для сонаправленных векторов угол равен нулю. В этом случае, коль скоро косинус равняется 1, значит, скалярное произведение – это есть произведение длин данных векторов. Если же угол будет острым, тогда и скалярное произведение будет больше нуля, то есть будет совпадать со знаком косинуса. Для ортогональных векторов косинус равен нулю, значит, скалярное произведение обратится в ноль. Для тупого угла скалярное произведение отрицательно, и если векторы противоположно направлены, то их скалярное произведение имеет значение, противоположное произведению их длин.

Теперь рассмотрим уже более серьезные свойства.

Во-первых, от перемены мест множителей скалярное произведение изменится. Другими словами, операция скалярного произведения коммутативна. Это свойство легко вытекает из определения.

Во-вторых, число r можно вынести за знак скалярного произведения.

Далее возьмем два равных вектора, то есть подставим в формулу вместо b вектор, равный а. Произведение вектора на себя называется скалярным квадратом. Так как два равных вектора сонаправлены, то их скалярное произведение, то есть скалярный квадрат равен произведению их длин. Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Другими словами, длина вектора равна квадратному корню из скалярного квадрата. Это важное свойство мы будем неоднократно использовать.

Наконец, имеет место также закон, позволяющий раскрывать скобки. Это свойство называется дистрибутивностью операции умножения относительно сложения векторов. То есть умножив (a + b)c, мы получим сумму произведений ас+bc. Из этого свойства можно сформулировать следствие с физическим контекстом. Если на тело действует несколько сил, то работа результирующей силы равна сумме работ этих сил. В частности, для двух сил мы имеем вот такое равенство, подобное четвертому пункту указанной выше теоремы.

Рассмотрим формулу, которая позволяет вычислять скалярное произведение, зная координаты данных векторов. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат, вектор а в ней имеет координаты а₁, а₂ а вектор b – координаты b₁, b₂. Разложим исходные векторы по ортонормированному базису и раскроем полученное выражение, используя последнее свойство, то есть используя дистрибутивный закон. В этом случае у нас получится 4 слагаемых, то есть каждое слагаемое первой скобки мы умножаем на каждое слагаемое второй скобки. А теперь вспомним, что базис – ортонормированный, то есть базисные векторы – единичные, и при этом ортогональные. Это значит, что два последних слагаемых обнулятся, так как произведение вектора i на вектор j будет равно нулю, при этом квадраты этих векторов будут равны квадратам их длин, а значит равны 1. Мы получим вот такую простую форму, которую оформим как теорему. Итак, если два вектора имеют указанные координаты, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. Мы получили эту формулу для плоскости, когда вектор задается парой координат. Аналогичным образом можно получить такой же факт для трехмерного пространства. Единственное отличие, что вместо двух координат вектор будет задаваться тройкой координат.

Рассмотрим следствие. Пусть в системе координат заданы два вектора. Координаты их обозначим такими же буквами. В этом случае, учитывая тот факт, что длина вектора – это квадратный корень из скалярного квадрата, мы получаем формулу для вычисления длины вектора через его координаты. Во-вторых, если вспомнить, как определяется скалярное произведение, и выразить из этого определения косинус угла между векторами, мы легко получаем указанную на слайде формулу. В числителе стоит скалярное произведение, расписанное через координаты, а в знаменателе – произведение длин этих векторов. Таким образом, зная ординаты векторов, мы легко сможем отыскать косинус угла между ними, но значит, и сам угол. Итак, еще раз повторюсь, что и сама теорема, и ее следствие могут быть перенесены на трехмерное пространство.

Рассмотрим пример на вычисление скалярного произведения. При этом пример приведем для трехмерного пространства. Вспомним, что понятие работы определяется через понятие скалярного произведения. Допустим, что в пространстве задана система координат, в этой системе известны координаты вектора силы. При этом тело совершило перемещение на заданный вектор s. Вычислим работу этой силы. Так как векторы заданы координатами, то остается только применить указанную формулу. Итак, напомним картинку. Работа зависит, как я уже говорил, от усилия при перемещении тела, а также от угла. Однако для вычисления мы воспользуемся не определением, а выведенной формулой. Знаем координаты, перемножим их и сложим. В результате получим 8 джоулей.

Теперь рассмотрим одну интересную формулу. Давайте допустим, что на плоскости снова задана некоторая система координат с ортонормированным базисом i, j. Возьмем произвольный вектор и рассмотрим два угла: один угол между вектором а и осью Оx, а второй угол между этим же вектором и осью Оy. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами.

Рассмотрим рисунок. Первый угол на рисунке обозначен буквой α, второй угол – буквой β. Итак, имеет место следующий результат: косинус угла между вектором и первой осью равен отношению первой координаты к длине данного вектора, ну а косинус угла между вектором а и второй осью равен отношению второй координаты к длине данного вектора. Эти формулы вытекают из предыдущих свойств. Обратите внимание, что вектор i и j в данном базисе имеют координаты (1, 0), (0, 1). Поэтому, подставляя в формулы указанные значения, мы легко приходим к следующим равенствам. Аналогичная формула имеет место и для трехмерного пространства.

Теперь возведем эти равенства в квадрат и найдем их сумму. Получим такое следствие: знаменатели у выражений одинаковые, поэтому после приведения данной суммы к общему знаменателю, мы получим, что в числителе и в знаменателе стоят равные числа, а значит, это выражение равняется 1. Таким образом, сумма квадратов направляющих косинусов произвольного вектора равна 1. Для пространства имеет место точно такое же утверждение.

Наконец, рассмотрим формулу, позволяющую выражать площадь как треугольника, так параллелограмма через скалярное произведение. Пусть заданы два неколлинеарных вектора а и b. Они определяют некоторый треугольник после того, как мы отложим эти векторы от одной точки. А также они задают некоторый параллелограмм, при этом площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника. Вспомним, что площадь параллелограмма выражается через длины двух сторон и синус угла между ними. Это известная школьная формула. При этом для треугольника имеет место аналогичная формула, единственное, что появляется – это коэффициент ½. Давайте возведем это равенство в квадрат и, учитывая, что площадь – это неотрицательное число, извлечем квадратный корень. В правой части получим следующее выражение. Теперь, если расписать квадрат синуса через квадрат косинуса по известному тригонометрическому тождеству и произвести некоторые преобразования, то мы получим во втором слагаемом квадрат скалярного произведения. Обратите внимание, если квадрат вынести за общую скобку, получается произведение длин векторов а и b, которое умножается на косинус угла между ними. В первом слагаемом мы имеем произведение квадратов длин, то есть произведение скалярных квадратов этих векторов. Значит, площадь параллелограмма равна квадратному корню из вот такой разности: вначале перемножаем скалярные квадраты этих векторов, а затем вычитаем квадрат их скалярного произведения. Таким образом, зная координаты векторов, мы легко можем найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Для треугольника имеем аналогичную формулу, только с коэффициентом ½, так как треугольник в два раза меньше, чем рассматриваемый параллелограмм.