Математика. Материалы курса

  

  

На данной лекции мы с вами ведем понятие ортонормированного базиса и декартовой системы координат. Для этого вначале вспомним ряд понятий и фактов, которые были изучены нами на прошлых лекциях. Мы уже работали с понятием герметического вектора.

Напомню, что под вектором мы понимаем объект, который определяется длиной и направлением. От любой точки можно отложить вектор, равный данному. Также вспомним обозначение. Е₂ - обозначение множества коллинеарных векторов, то есть параллельных одной плоскости. Е₃ – множество всех векторов геометрического пространства. Также напомню, что Е₂ является двумерным векторным пространством, а Е₃ – трехмерным векторам пространством.

Сейчас вспомним понятие базиса. Два и более векторов называются линейно зависимыми, если найдется вектор, который является линейной комбинацией остальных векторов данной системы. Также считается, что система, состоящая из одного нулевого вектора линейно зависима. Если векторы не являются линейно зависимыми, их называют линейно независимыми.

И наконец, понятие базиса. Под базисом системы векторов понимается любая его линейно независимая подсистема, через которую выражается каждый вектор исходной системы.

Теперь вспомним, что в пространстве Е₂ базис образуют любые два не коллинеарные вектора. Вспомним, что если мы возьмем два таких вектора а и b, то любой вектор из данной плоскости можно представить в виде линейной комбинации векторов а и b. Проведем указанную процедуру на рисунке. Отметим, что, если вектор v неколлинеарен взятым векторам а и b, то он будет являться диагональю параллелограмма, стороны которого лежат на прямых, содержащих векторы а и b.

Аналогичный факт имеет место для пространства Е₃. Во-первых, Е₃ у нас трехмерное пространство. В нем базис образуют любые три некомпланарных вектора. Возьмем некомпланарные векторы a, b и c. Далее выберем произвольный вектор v и представим его, как линейную комбинацию векторов а, b и c. Проведем построение на рисунке. Отметим, что, если вектор v не компланарен никаким двум из исходных векторов, то он будет являться диагональю параллелепипеда, стороны которого лежат на прямых, содержащих векторы а, b и с.

Имеет место следующий факт. В любом векторном пространстве каждый вектор однозначно разлагается по базису. Другими словами, если мы зафиксируем векторы в базисе, то коэффициенты разложения будут определены однозначно. Эти коэффициенты называют координатами вектора. В пространстве Е₂ векторы определяются двумя координатами, это его коээфициенты разложения по выбранному базису. В трехмерном пространстве любой вектор определяется тремя координатами.

В дальнейшем мы с вами будем работать с так называемым ортонормированным базисом. Давайте разберемся, что это такое?

Возьмем сначала двумерное пространство Е₂ и выберем два вектора, угол между которыми равен 90 градусам. Такие векторы называются ортогональными или перпендикулярными. Также потребуем, чтобы длины этих векторов были равны 1. Тем самым, получаем базис, которой называется ортонормированным базисом на плоскости.

Аналогично можно определить такой базис в пространстве Е₃. Берем три вектора. Угол между любыми двумя из них 90 градусов. То есть берем, так называемые, попарно ортогональные векторы с длинами, равными 1. Получаем ортонормированный базис в пространстве Е₃.

Если у нас задан базис, как мы только что выяснили, мы можем определить в этом базисе координаты произвольного вектора.

Для того, чтобы определить координаты точки, нам потребуется ввести систему координат. Для этого выберем ортонормированный базис. Сначала рассмотрим плоскость, то есть рассмотрим базис из двух векторов i и j. Отложим эти векторы от одной точки. Обозначим точку – О. Назовем ее началом координат. Каждый из базисных векторов задает свою ось. Ось, направленная вдоль первого вектора i, называется осью абсцисс. Ось, которая направлена вдоль второго вектора j называется осью ординат. Возьмем произвольную точку. Для этой точки можно рассмотреть вектор с началом в начале координат и с концом в данной точке. Таким образом, получается вектор OA, который называется радиус-вектором данной точки. Опустим из точки А перпендикуляры на оси координат, получим точки А_x и А_y, которые называются проекциями точки А. А_x – это проекция точки А на ось абсцисс, а А_y – проекция на ось ординат. Каждая из данных точек задает число, а именно, точка А_x задает число а₁, которое может быть вычислено по указанному на слайде правилу. При этом а₁ равняется либо длине вектора x, либо имеет противоположное значение. Все зависит от того, сонаправлен или противоположно направлен данный вектор по отношению к базисному. Аналогично точка А_y, то есть вторая проекция, определяет число. Эти числа называют проекциями вектора ОА на оси координат. Эти проекции могут быть вычислены по формулам. Например, число а₁ вычисляется по указанному равенству, где под косинусом стоит угол. Этот угол выбирается между положительным направлением оси абсцисс и данным вектором.

Пример рассмотрен на рисунке. Мы имеем тупой угол, поэтому косинус этого угла будет меньше 0, а значит, число а₁ – отрицательное. Второе число может быть найдено по похожей формуле. Для этого рассмотрим другой угол между вектором и осью ординат, угол b. Для данного примера угол b – острый, значит косинус больше 0, и, следовательно, число а₂ будет положительным.

Числа а₁ и а₂ называют проекциями вектора а на оси координат. При этом точка А_x определяет вектор ОА_x, а точка А_y определяет вектор ОА_y. Эти векторы также называют проекциями вектора ОА на оси координат, при этом вектор ОА является суммой своих проекций. Каждая проекция есть вектор, коллинеарный базисному. Получается, что вектор а можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, при этом коэффициент r и s в разложении будут равны проекциям а₁ и а₂.

Итак, имеет место такой результат. Прямоугольные координаты вектора а (r, s) совпадают с проекциями данного вектора на оси координат.

Координатами точки называются координаты ее радиус-вектора.

Аналогичным образом можно рассмотреть систему координат в пространстве Е₃. Берем ортонормированный базис, составленный из векторов i, j, k. Фиксируем точку О – начало координат, от которой откладываем данные векторы. Получаем систему координат, которая задается осями. Возникает третья ось, которую называют осью аппликат. Каждые две оси определяют координатные плоскости Оxy, Оxz и Oyz.

Снова рассмотрим произвольную точку. Она определяет ее радиус-вектор. Точку обозначим А, получаем вектор ОА.

Определим понятие проекции. Для этого проведем плоскость через точку А, перпендикулярную оси абсцисс. Эта плоскость пересечет ось в точке А_x. Эту точку и называют проекцией вектора ОА на ось Оx. Аналогично определяются другие две проекции (на ось Оy – это точка А_y и на ось Оz – точка А_z). Эти проекции определяют три числа a₁, a₂, a₃, которые могут быть вычислены по аналогичным формулам через косинус. При этом возникающие векторы ОА_x, ОА_y и ОА_z также называют проекциями вектора на оси координат. При этом исходный вектор является суммой своих проекций. Коэффициенты этой суммы, стоящие при векторах i, j, k, как мы знаем, являются координатами данного вектора. Получается, что эти координаты равны проекциям a₁, a₂, a₃. Итак, так же как и на плоскости, для трехмерного пространства координаты вектора совпадают с его проекциями на оси координат. Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора.

Итак, мы с вами определили две системы координат на плоскости и в пространстве. Такие системы координат называют прямоугольными. Термин «прямоугольный» обоснован тем, что мы рассматриваем ортонормированный базис. Напоминаю, что в этом базисе угол между любыми двумя векторами равен 90 градусов. Также данные системы координат называют декартовыми в честь Рене Декарта – математика 17-го века, который считается одним из основателей аналитической геометрии. Поэтому определенные системы координат называют прямоугольными декартовыми системами координат, сокращенно ПДСК.

Рассмотрим некоторые теоремы.

Во-первых, известно что в любом пространстве при сложении векторов складываются их координаты, а значит, и для наших геометрических пространств Е₂ и Е₃ имеет место подобное свойство. То есть при сложении векторов их координаты складываться. Точно так же, если мы умножаем вектор на число, то его координаты умножаются на это число.

Во-вторых, пусть нам дан вектор MN. При этом известны координаты его начальной и конечной точек М и N. В этом случае координаты вектора MN находится по следующему правилу: необходимо из координат конца вычесть координаты начала. Постараемся проиллюстрировать данное свойство. Для этого выполним рисунок. Рассмотрим систему координат на плоскости. Возьмем вектор, заданный двумя точками М и N. Рассмотрим их радиус-векторы OM и ON. Напомню, что координаты точки – это координаты ее радиус-вектора. В этом случае вектор MN может являться разностью радиус-векторов OM и ОN, откуда мы видим, почему следует вычитать координаты в указанном порядке. Отметим, что данная теорема верна как для плоскости, так и для трехмерного пространства.

Еще один результат. Если нам дан отрезок MN с известными координатами его концов, то середина отрезка вычисляется по указанному правилу: надо рассмотреть полусуммы соответствующих координат концов данного отрезка. Опять же этот факт имеет место, как для плоскости, так и для пространства.

Обоснуем данный факт для плоскости. Рассмотрим систему координат. Рассмотрим в ней отрезок MN и отметим его середину – точку S. Рассмотрим радиус-векторы указанных точек и заметим, что вектор ОS является половиной диагонали параллелограмма, построенного на векторах OM и ON. Тогда вектор ОК является суммой векторов OM и ON, а вектор ОS половиной вектора ОК. Из полученного векторного равенства и следует указанная в теореме зависимость.

Далее. Векторы являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда матрица, составленная из их координат – вырожденная. Из этого факта можно получить ряд следствий. Во-первых, если мы рассмотрим плоскость, то это значит, что коллинеарность векторов а и b равносильна тому, что определитель, составленный из их координат, равен нулю. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны. Для пространства: компланарность трех векторов а, b, c равносильна тому, что определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Теперь рассмотрим, как связаны координаты одной и той же точки в двух системах координат. Итак, допустим, что нам дана некоторая система координат, обозначим ее цифрой 1. Она определяется точкой О и двумя базисными векторами i и j. Теперь допустим, что имеется вторая система координат с началом Q’ и векторами, которые мы обозначим i’, j’. Рассмотрим сначала случай, когда два базиса одинаково ориентированы, то есть переход от одного вектора к другому осуществляется в одном направлении. Например, против часовой стрелки. Взаимное расположение базисов определяется углом между соответствующие базисными векторами. Отложим все векторы от точки О, то есть от начала первой системы координат, и рассмотрим угол между первыми базисными векторами, то есть между вектором i и вектором i’. Причем отложим его в направлении, которое соответствовало первой системе координат, то есть от вектора i к вектору i’.

Поставим задачу: выразить координаты векторов i’ и j’ в первой системе координат. Вектор i’ имеет координаты (cos a, sin a), что следует из определения тригонометрических функций. Вектор j’ имеет следующие координаты. Их можно найти, либо используя формулы приведения, если учесть, что угол между i и j’ равен 90 градусов плюс a. А также это можно увидеть из рисунка, если рассмотреть равные прямоугольные треугольники с гипотенузами i’ и j’. На рисунке равные катеты отмечены соответствующими штрихами. Итак, обозначим координаты точки Q x₀ и y₀. Теперь чтобы получить необходимые формулы, возьмем произвольную точку М и рассмотрим ее координаты в разных системах. В системе 1 обозначим координаты x и y, в системе 2 обозначим координаты x’, y’. Далее. Рассмотрим векторное равенство, то есть выразим вектор OМ в виде указанной суммы и представим это векторное равенство в матричной форме. Получим следующее равенство, причем слева и справа в этом равенстве записаны координаты в первой системе. При этом координаты векторов мы располагаем в столбец.

Теперь давайте рассмотрим второй случай, когда системы координат 1 и 2 ориентированы противоположно, то есть переход от базисных векторов осуществляется по-разному: в одной системе координат – по часовой стрелке, а в другой системе – против часовой стрелки. Итак, берем первую систему, вторую и при этом считаем, они ориентированы по-разному. В дальнейшем выполняем аналогичные преобразования. Итак, откладываем все векторы от точки О. Мы рассмотрим аналогично угол a, после этого нам потребуется найти координаты векторов i’ и j’ в первой системе координат вектора и точно такие же вектора и штрих координаты и векторы же штрих поменяются это вытекает из за того что угол между вектором u и жив штрих получается альфа минус 90 градусов а в предыдущем случае был альфа плюс 90 градусов, опять же, либо используя формулы приведения, либо рассматриваем соответствующие равные прямоугольные треугольники, откуда легко получается требуемая формула для координат вектора j’. Далее действуем точно так же. Берем точку М, записываем ее координаты в разных базисах, после этого расписываем векторное равенство в матричной форме и получаем формулу, которая подобна формуле, полученной в предыдущем случае.

Итак, имеем два случая. Они похожи, однако есть отличие в последнем слагаемом. Но эти формулы можно записать в едином виде. Если ввести коэффициент е, который для первого случая равен 1 (когда базисы одинаково ориентированы) и -1 (когда базисы ориентированы противоположно), получим вот такую формулу, записанную в матричной форме. Отметим, что матрица второго порядка, которая состоит из тригонометрических функций, называется матрицей перехода от одного базиса к другому.

Запишем это равенство в обычном виде через систему двух равенств, тем самым требуемая формула будет получена. Напомню, что х, у – это координаты точки М в первой системе координат, x’, y’ – это координаты точки М во второй системе координат.

В заключение познакомимся еще с одной системой координат, где плоскости. Эту систему называют полярной системой координат. Чтобы ее задать, необходимо выбрать точку О (эта точка называется полюсом данной системы). Далее выбрать направление, то есть луч ОА, который называется полярной осью. Также нужно задать ориентацию, причем выбираем ориентацию против часовой стрелки. В этом случае для любой точки М мы можем указать ее полярные координаты.

Рассматриваем радиус-вектор этой точки, его длина обозначается буквой r, угол между полярной осью и вектором обозначим буквой a. Получается, что данная точка определяется двумя числами числом r и числом a. Эти числа и называются полярными координатами данной точки. При этом, если рассмотреть точку, симметричную относительно полярный оси, то у нее первая координата r будет точно такой же, а вторая координата (угол a) изменится на противоположное значение.

Отметим, что для полюса, то есть для точки О значение угла не об определено, а радиус r считается равным нулю.

Укажем взаимосвязь между координатами точки в прямоугольной системе координат и в полярной системе координат. Итак, допустим, что нам задана полярная система, то есть дан полюс и полярная ось. Зададим прямоугольную систему координат. В качестве начала выберем точку О. Рассмотрим вектор i, направленный вдоль полярный оси, и вектор j, который перпендикулярен данной оси. Тем самым получим прямоугольную систему координат с осями Ох и Оy. Возьмем произвольную точку, полярные координаты которой r и a.

Найдем по ним прямоугольные координаты. Опять же вспомним тригонометрию, после чего не трудно видеть, что абсцисса точки М может быть выражена как r * cos a, а ордината точки М это есть r * sin a. Итак, по полярным координатам легко найти прямоугольные координаты. Имеют место обратные формулы, то есть, зная прямоугольные координаты, мы можем указать полярные r и a. Для этого заметим, что, если полученные ранее равенства возвести в квадрат и сложить, то мы сможем выразить число r, учитывая, что сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Также, чтобы найти угол a, надо рассмотреть формулы: cos a=x₀/r, sin a=y₀/r. Угол a подбирается, исходя из двух данных равенств.

Итак, между прямоугольной и полярной системами координат существует взаимно однозначная связь.