Математика. Материалы курса

На данном занятии отработаем понятие определителя квадратной матрицы и рассмотрим различные приемы для его вычисления.

Вначале рассмотрим матрицу третьего порядка и вычислим ее определитель разными способами. Общее определение опирается на разложение определителя по строке, а именно по первой строке. Предлагаю с этого способа и начать. Итак, вспомним, что означает фраза «разложить определитель по первой строке». Для этого мы мысленно выделяем первую строчку и перебираем все ее элементы. Я обозначу определитель буквой дельта. Элемент 3 умножаем на так называемое алгебраическое дополнение этого элемента плюс 9*A₁₂+2*A₁₃. В последующем нет необходимости подробно записывать данное обозначение, можно сразу же подставлять определители, которые получаются на его месте. Итак, что такое A₁₁? Это определитель, получаемый вычёркиванием первой строки и первого столбца, то есть мы вычеркнули, и то, что получается, записываем, но при этом не забываем учитывать знак, если сумма индексов чётная, то знак плюс, если сумма нечетная, знак минус. Во втором слагаемом возникает знак минус. И так, A₁₂ это определить получаемый вычеркиванием первой строки и второго столбца, то, что получается записываем, и наконец A₁₃ имеет знак плюс и его элементы, вычеркиваем первую строку и последний третий столбец имеем (см. на экран). Теперь вычисляем. Итак, у нас получается 3*(6-(-2)-9*(3-2)+2*(2+4). Я применил правило для подсчета определителя второго порядка. Перемножаем элементы главной диагонали со знаком плюс, далее побочной диагонали со знаком минус, теперь считаю, так 3*8-9*1+2*6 =24-9+12, в результате получается 27.

Давайте проверим правильность ответа, вычислив определить другим способом. Известно, что для матрицы третьего порядка, есть специальная схема, позволяющая вычислить это число. Итак, для данной матрицы применим так называемое правило треугольников. Вначале берем опять же главную диагональ, перемножаем элементы 3*2*3=18 и прибавляем два треугольника, у которых одна сторона параллельна этой диагонали, то есть 9, (-1), (-2), умножаем, получается снова 18, и второй треугольник 2, 2, 1 так же берем со знаком плюс. Далее аналогично со знаком минус, то же самое, только берем побочную диагональ. 2*2 *(-2)= -8 и два треугольника: 3*(-1)*2 = -6 и треугольник 9, 3, 1, получаем 27, вычисляем 40-13=27.

И наконец, еще один способ с использованием элементарных преобразований. Можно много раз выполнять над матрицей элементарные преобразования. Давайте выполним еще раз, и вспомним, как изменяется определитель при данных преобразованиях. Так как у нас во второй строке ведущий элемент единичка, вычтем из первой три вторых, а к третьей прибавим две вторых строки. После этого мы получим в первом столбце нули, кроме одной строки. При этом, при преобразовании вот такого типа ответ не изменяется. Выполняем. Вторую строку не изменяем (см. на видео). Итак, мы уже упростили данный определитель, сейчас, конечно, можно идти разными путями. Можно применить разложение, только не по строке, а по столбцу. Учитывая определенное свойство, что при транспонировании определитель не изменяется, а можно прийти к ступенчатому виду. Давайте поменяем первые две строки местами, а затем из третьей вычтем первую. Чтобы не путаться, вначале вычтем. Из шести вычтем две троечки, то есть из третьей строки вычитаем две первых, а затем указанной заменой, мы получим ступенчатый вид, то есть треугольную матрицу. Итак, после вычитания получаем (см. на видео), опять же определитель не изменяется. А вот теперь поменяем местами первые две строки, при этом преобразований уже меняется знак определителя, поэтому не забываем поставить знак минус. Итак, ступенчатый вид дает нам треугольную матрицу. Ее определитель равен произведению диагональных элементов -1*3*(-9), перемножив получаем уже известны нам ответ 27.

Давайте попытаемся решить более сложный пример. Разберем определитель четвертого порядка. Здесь уже специальной схемы нет, то есть надо действовать либо по определению, раскладывать по какой-нибудь строке, либо также можно использовать элементарные преобразования. Я предлагаю решить данный пример, разложив этот определитель по второй строке. Вторая строка предпочтительнее, потому что в ней есть нолик, а значит, соответствующее слагаемое у нас обнулится и вычислять алгебраическое дополнение для 0 нам нет необходимости. Итак, предлагаю взять вторую строку и разложить уже по второй строке. В силу свойства это сделать можно. Итак, что мы получаем? 4*А₂₁+0*А₂₂+4*А₂₃+2*А₂₄ , слагаемое 0*А₂₂ запишу, но понимаем, что А₂₂ нам не нужно вычислять, потому что все слагаемое обнулится. И в будущем можно это слагаемое не записывать. Составим необходимый определить. Итак, вычеркиваем вторую строку и первый столбец получается (см. на видео), не забываем про знак суммы индексов, три нечетное, значит минус. Давайте запишем все определители, а затем их вычислим. Итак, А₂₃, сумма индексов 5, сразу запишем знак минус и составим определитель, вычеркиваем вторую строку и третий столбец, получаем (см. на видео). И наконец, А₂₄ вычеркиваем вторую строку и четвертый столбец, получается (см. на видео).

Итак, в общем говоря, надо найти эти три определителя (в общем случае четыре, если бы не было нулей). Давайте будем вычислять сумму, а именно, подумаем, можно ли здесь где-то решить более простым путем. Вот мне кажется, наверное, можно сразу же начать с последнего определителя. Посмотрите на вторую и третью строки, они пропорциональны. Например, поделив вторую на 2, а третью на 3, получаем одинаковые векторы. Можно, скажем, из 3 вычесть 3/2 вторых строки, и получится нулевая строка. Имеет место такое свойство, что определитель с нулевой строкой равен нулю. Или же, если мы обнаружили пропорциональность, имеет место аналогичное свойство: если в определителе имеются две пропорциональные строчки, он равен нулю. Так или иначе, третий определитель 0.

Посмотрим на второй определитель. Есть ли у него что-то похожее? Строк пропорциональных нет, но есть пропорциональные столбцы. Но строки и столбцы равноправны, как мы уже говорили, при транспонировании я могу получить и строки. Снова имеется пропорциональность. Строки отличаются на коэффициент -1, домножив на -1, не строки, а столбцы в данной матрице. Нам нужно домножить первый столбец на -1 и я получу второй столбец. Итак, снова в силу пропорциональности этот определитель равен 0. В первом определителе уже, по-видимому, ничего подобного нет. Надо считать. Давайте посчитаем. При этом предлагаю к первой строке прибавить три последних, для того что получить нолик. Получим (см. на видео). Итак, для того чтобы посчитать данный определитель, предлагаю поступить следующим образом. Раз у нас в последнем столбце много нулей, давайте разложим полученный объект по последнему столбцу. Учитывая, что здесь нолики, нет необходимости считать два дополнения. Слагаемые обнулятся, и останется лишь последней -1 на определитель полученный вычёркиванием 3 строки и 3 столбца. Знак будет плюс, потому что 3+3=6, поэтому плюс. Минус один – это элемент матрицы на определитель, который остается (см. на видео), вычисляем -16+20, учитывая минус у коэффициента, получается -4. Мы посчитали определить без учета минуса. И так алгебраическое дополнение элемента 21 равно 4. Оставшиеся, как мы выяснили, равны 0.

Давайте подставим и получим итоговый ответ. Итак, что получается? Четыре на четыре, значит, наш определитель дельта равен четыре на четыре, а дальше одни нули и все ответ получен. Итак, определитель четвертого порядка равен 16.

Теперь такая задача. Применим наши полученные знания для решения систем линейных уравнений, при этом решим указанную систему двумя способами. С помощью формулы Крамера и с помощью формулы для обратной матрицы. Оба эти метода основываются на умении вычислять определители.

Итак, вспоминаем из лекции, в чем смысл формул Крамера? А идея очень простая. По данной системе 3 на 3 мы строим 4 определителя, первый определитель обозначим дельта – это просто-напросто определитель основной матрицы (см. на видео), сейчас его вычислим, а три другие определители получаются из данного заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов. Итак, нужно найти четыре определителя.

Для примера я постараюсь провести вычисления разными способами. Для первого определителя предлагаю снова выполнить преобразования, так как здесь стоит единичка во второй строке, вычтем из первой строки три вторых, из четвертой 4 вторых. Получим (см. на видео). А дальше так же, как мы делали в предыдущей задаче, разложим по первому столбцу, коль скоро два 0, а значит, на них можно внимания не обращать. Умножим элемент 1 на алгебраическое дополнение данного элемента, вычеркивая соответствующий столбец и соответствующего этому элементу строку. Элемент стоит на позиции с номером 21, поэтому возникают знак минус, умножаем на определитель (см. на видео). Вычисляем -9+20=11, учитывая знак минус, получается -11.

Теперь вычислим дельта 1, соответствующий первому столбцу. И так столбец свободных членов ставим на первое место, остальные столбцы те же самые (см. на видео). Здесь давайте применим правило треугольников. Рисовать треугольники не буду, так как в первой задаче подробно это было показано. И так главной диагонали (25-6+0), далее со знаком минус побочной диагонали (3+5+25+0). В итоге определитель равен 11.

Далее дельта 2. Столбец свободных членов ставим уже на вторую позицию. Получаем (см. на видео). Здесь давайте применим еще одну схему. О ней мы сегодня ничего не говорили. Вместо треугольников можно рассматривать линии, где для этого продублирую первые два столбца. И далее опять же вот главная диагональ и 2 параллельные ей линии, мы берем со знаком плюс. Считаем 0-20+3. Затем со знаком минус, побочная диагональ и две параллельные прямые –(0-9+25). И так -17-16 =-33.

Ну и наконец, дельта 3. Записываем столбец свободных членов на третьей позиции (см. на видео). Вычислим снова по правилу треугольников. Главная диагональ 9 +0-5 со знаком плюс, а далее со знаком минус побочной диагонали 20 и два треугольника 0 и 6. Вычисляем 4 -26 получается -22. Итак, дельта 1= 11, дельта 2 минус 33 и дельта 3 = -22.

Формулы Крамера утверждают, что переменные x₁, x₂, x₃ считаются по формуле (см. на видео). Подставляем и получаем x₁=-1, x₂=3, x₃=2, эта тройка и есть решение нашего уравнения, нашей системы уравнений.

Теперь второй способ. С помощью обратной матрицы, при этом для обратной матрицы есть формула. Давайте ее применим. Вспомним, что у нас уже найден определитель матрицы А. Вот такая матрица должна получиться (см. на видео), точнее она нас исходная матрица коэффициентов. Мы знаем у неё определитель дельта -11, чтобы найти обратную надо посчитать для каждого элемента алгебраические дополнения. Когда мы найдем соответствующие алгебраическое дополнение А_ij, в обратную матрицу они пойдут в транспонированном виде. То есть мы должны поменять столбцы и строки местами. Для этого предлагаю вот таким образом записать нахождения (см. на видео), то есть дополнения первой строки, я запишу в столбец, во-вторых, не надо забывать про знак. И считаем определители. Итак, А₁₁: вычеркиваем первый столбец в первую строчку, получается (см. на видео) определитель равен 4. А₁₂: вычеркиваем первую строку второй столбец (см. на видео), не забываем про минус, получаем -9. И наконец, А₁₃: определитель равен минус 5. Считаем дополнение второй строки А₂₁ А₂₂ и А₂₃, здесь знак минус появляется перед А₂₁ и перед А₂₃. Итак, А₂₁: вычеркиваем и получаемый определитель равен 11. А₂₂ вычеркиваю и считаю 11. Наконец А₂₃ вычеркиваем и считаем – 11. Ну и наконец, дополнение 3 строки. И так снова минус появится вот здесь (см. на видео). А₃₁ третья строка первый столбец определитель равен -3. А₃₂ третья строка второй столбец определитель равен 4. И наконец, третья строка третий столбец 1.

Все девять нужных чисел найдены, составляем обратную матрицу. Не забываем про коэффициент. Записываем. Вот такая обратная матрица (см. на видео). Мы решаем систему. Напоминаю, что любая система может быть записано в виде АХ=В, где А основная матрица, В столбец свободных членов, Х столбец неизвестных. Тогда если система имеет одно решение, тогда Х может быть выражен, как произведение А^-1*В. Находим Х. Вспомним, как у нас выглядит столбец свободных членов. Вычисляем, причем в силу свойств коэффициент можно пока оставить, а потом домножить. Итак, выполняем умножение матриц. Смотрите, второй элемент умножается на ноль, поэтому на него можно внимания не обращать. Получаем матрицу (см. на видео). Обратите внимание, здесь получились не что иное как определить дельта 1, дельта 2, дельта 3. Итак, умножаем столбец на коэффициент, то есть каждый элемент столбца умножается на этот коэффициент. Получается столбец (см. на видео). Полученный столбец и является столбцом неизвестных x₁, x₂, x₃. И так система решена, значения неизвестных найдены.