Математика. Материалы курса

На нашем занятии рассмотрим применение теории определителей к решению алгебраических задач. Для начала введем два понятия. Квадратная матрица, у которой определитель равен нулю называется вырожденной, если же определитель отличен от нуля матрицу называют невырожденной. Сформулируем ряд условий, которые равносильны не вырожденности матрицы. И так имеет место следующая теорема. Матрица A является невырожденной, тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий: во-первых, строки или столбцы матрицы линейно независимы, второе, равносильное условие, матрица A имеет обратную, то есть является обратимой и третье условие система линейных уравнений с основной матрицей A имеет только одно решение. Каждое из указанных условий равносильно тому, что матрица является невырожденной, то есть имеет не нулевой определить. Решим следующую задачу. Определим, при каком значении параметра k, три указанных геометрические вектора является компланарными. Векторы задаются своими координатами. Вспомним, что вектора называются компланарными, если они параллельны некоторой одной плоскости. Мы рассматриваем геометрическое пространство. Обозначаемая E₃. Известно, что компланарность векторов равносильно их линейной зависимости, а это в свою очередь равносильно тому, что строки матрицы, составленные из данных векторов, является линейно зависимыми. В силу нашей теоремы это означает, что ее определитель равен нулю. И так нам надо посчитать определитель и определить, когда же он обращается в ноль. Давайте составим данный определитель, записав векторы в строки, и при этом применим одну из схем для вычисления определителя третьего порядка. Рассмотрим так называемое правило треугольников, то есть перемножим элементы являющиеся вершинами двух треугольников плюс элемента стоящего на главной диагонали, их мы берем со знаком плюс. Далее элементы, которые берем со знаком минус, побочная диагональ и элементы, находящиеся в вершинах двух треугольников. Получается число вида 2k -1. Очевидно, что определитель обращается в ноль только тогда, когда k равняется 1/2. Таким образом, исходные векторы компланарны только тогда, когда параметр k равен 1/2. Если мы отложим данные векторы от одной точки, они будут лежать в одной плоскости, при всех остальных значениях параметра k векторы уже компланарными не будут. Например, если k взять равным нулю, либо единице, мы получим некомпланарный вектор. Рассмотрим другой пример. Возьмем систему линейных уравнений, записанную на слайде, и постараемся определить, сколько она имеет решений. Причем ответим на вопрос, не решая данную систему. Заметим, что эта система однородная, а значит, нулевой вектор является ее решением. И так система совместна, а значит, имеет место два случая, либо эта система имеет только одно решение нулевое, либо наряду с нулевым решением есть и другие, но, а значит, их бесконечно много. И так нам нужно выбрать, какой вариант имеет место для нашей системы, либо нулевое решение единственное, либо решений бесконечно много. Вспомним, что система имеет одно решение тогда и только тогда, когда определитель ее основной матрицы не равен нулю, то есть матрица невырожденная. Давайте составим определить и посчитаем его, в зависимости от значений сделаем вывод. При этом для вычисления определителя не будем использовать формулу. Заметим, что третий столбец матрицы можно получить, если из первого столбца вычесть 2, то есть 1 минус - 1 будет 2, 2 минус 1 это 1, 3 минус 4 это –1, а это значит, что столбцы является линейно зависимыми. Значит, определитель данной матрицы равен нулю. И так раз матрица вырожденная, значит, система имеет бесконечно много решений. Теперь вспомним, что такое обратная матрица. Это понятие мы вводили на одной из предыдущих лекций. По определению матрица называется обратной к матрице A, если ее произведение с матрицей A, дает единичную матрицу, причем, в любом порядке. В силу сформулированной выше теоремы имеем, матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная. Оказывается, существует формула позволяющая построить не вырожденную матрицу в случае, когда она существует. Эта формула имеет следующий вид (см. на видео). В ней фигурируют алгебраические дополнения элементов исходной матрицы. Напомню, чтобы составить алгебраическое дополнение необходимо вычеркнуть из исходной матрицы строку и столбец, которая содержит с ответствующий элемент. И не забыть умножить полученный определитель на коэффициент равный минус единица в степени i+j, где i и j это индексы данного элемента. Обратите внимание, если мы рассматриваем первую строку в матрице и находим для неё алгебраическое дополнение каждого ее элемента, то эти дополнения мы уже записываем столбец. И так производим с каждой строкой. Если далее перемножить исходную матрицу, но ту, которую мы составили, то, например, первый элемент, стоящий в первой строке даст нам не что иное, как разложение определителя матрицы A по первой строке. Выполнив, аналогичные вычисление всех элементов у нас получится, что по главной диагонали будут стоять определители, а во всех остальных местах будут стоять 0, и поэтому выносим определитель за знак матрицы, сокращаем с записанным коэффициентом и получаем единичную матрицу. Таким образом, составленная матрица является обратной к исходной. Приведем пример. Возьмем матрицу второго порядка и постараемся найти для неё обратную. Вначале проверим, существует ли обратная, а затем используем указанную формулу. И так вычисляем определитель по известному правилу, получаем 10. Так как матрица невырожденная, значит, определитель существует. Найдем для каждого элемента алгебраические дополнения, при этом еще раз отмечу, рассмотрев вначале первую строку, получаемые дополнения запишем в столбец. И так сразу же поставим необходимые знаки минус перед теми дополнениями, которые имеет нечетную сумму индексов. Далее вычисляем. Обратите внимание после вычеркивания строки и столбца мы получаем матрицу состоящей из одного элемента, в этом случае ее определитель равен данному элементу. Делаем так с каждым элементом исходной матрицы. Получаем следующие числа (см. на видео). Таким образом, обратная матрица принимает следующий вид (см. на видео). Коэффициент 1/10 умножается на матрицу из полученных дополнений. Внесем коэффициент в матрицу, умножив все ее элементы на одну десятую. Получим ответ. Теперь предлагаю решить следующую систему уравнений. Давайте увидим, что основная матрица для этой системы это как раз таки матрица из нашего примера. В B запишем столбец свободных членов, учитывая, что матрица A не вырожденная, мы можем сказать, что данная система имеет ровно одно решение. Для того чтобы его найти, вспомним, что подобную систему можно записать в матричной форме. В виде AX равняется B, где A и B введенные матрицы, а X это столбец неизвестных. Так как матрица A имеет обратную, помножим это уравнение на обратную матрицу слева. Получим, что решение X записывается как произведение обратной матрицы на столбец B. Обратная матрица у нас найдена. Воспользуемся этим и перемножим указанные матрицы. Напоминаю, при перемножении мы умножаем строку на столбец, после чего получим неизвестную матрицу Х, которые дают нам решение данной системы. Предлагаю решить более сложное матричное уравнение. В начале, обозначим данные матрицы буквами A, B и E. В правой части стоит именно единичная матрица, поэтому мы обозначили ее буквой E. Матрица обратная к A нам известна, сейчас найдем матрицу обратную к матрице B. По формуле вы должны записать коэффициент, для этого нам необходим определитель матрицы. Вычисляем его и далее находим требуемые алгебраические дополнения. Процесс вычисления дублируется в первой строке, в которой введена матрица B. И так вычеркивая строки и столбцы, не забываем, учитывать знаки у дополнений, после этого получаем вот такой ответ (см. на видео). Выполним некоторое преобразование. Коэффициент 1/0,01 можно преобразовать в число 100. При этом множитель 10 предлагаю внести в матрицу, для того чтобы избавиться от дробей. После чего получается следующий вид (см. на видео). Далее выполняем указанное преобразование с маточным уравнением, домножая обратную к A слева и обратную к B справа. Для того чтобы, после того как мы расставим скобки в левой части равенства слева и справа от матрицы Х были бы единичные матрицы. И так матрица Х выражается вот таким образом (см. на видео). Всем матрицы нам известны. Подставляем найденные матрицы в полученную формулу и производим вычисления. Коэффициенты у нас сокращаются. Вспоминаем, что произведение матрицы на единичную не изменяет исходную матрицу, значит, необходимо перемножить лишь две матрицы. После чего получается вот такой ответ (см. на видео). И так найденная матрица является решением исходного уравнения. А теперь поговорим о так называемых формулах Крамера, которые позволяют в некоторых случаях решить систему линейных уравнений. Напомню, что на предыдущей лекции мы рассмотрели эти формулы на частном примере, когда рассматривали систему, состоящую из двух уравнений с двумя переменными. Мы возьмем произвольную систему, в которой n уравнений и n переменных. В этом случае основная матрица получается квадратной. Предположим, что эта матрица является невырожденной. В этом случае можно получить следующие формулы. Для их записи я предлагаю рассмотреть векторы столбцы коэффициентов при переменных. И так A₁ это столбец коэффициентов при первой переменной, A₂ при второй переменной и так далее. A_n это столбец коэффициентов соответствующих n переменной. Ну, и конечно же столбец свободных членов. В этих обозначениях нашу систему можно записать вот в таком виде (см. на видео). A_i это матрицы, а x_i это числовые коэффициенты. Определитель матрицы A можно понимать как определить составленный из столбцов A_i . Так как мы предположили, что наша матрица A не вырожденная, то есть имеет не нулевой определитель, значит, данная система имеет ровно одно решение. Для того чтобы найти решение, можно использовать следующую теорему. Теорема утверждает, если система уравнений имеет единственное решение, то каждая координата этого решения может быть найдена по записанной формуле. Давайте разберемся, как составляется дробь, через которую вычисляются c_i. Во-первых, в знаменателе стоит определитель матрицы, а в числителе мы составляем определитель, в которой подставляем столбцы A_i , однако вместо i-го столбца мы записываем столбец B. Например, когда вычисляем первую координату c₁ , мы заменяем первый столбец на B, все остальные столбцы A_i оставляем, делим на определитель матрицы A. Когда находим c₂, то изменяем второй столбец, вместо него поставляем B и так далее. Кратко определитель, который получается заменой i-ого столбца на столбец B обозначим дельта i . В этом случае каждая координата c_i равна частному от деления дельта i на дельта. Дельта это определитель матрицы A. Вот такие получаются формулы. Рассмотрим пример. Возьмем систему линейных уравнений, у которой определитель является матрицей третьего порядка, и применим указанные формулы. Вычислим сначала дельта. Для этого я предлагаю воспользоваться элементарными преобразованиями, учитывая, что прибавление к одной строки другой умноженной на произвольное число никак не изменяет исходный определитель. И так прибавим ко второй строке 1, а из 3 вычтем две первых после этого получим следующую матрицу, которая как вы видите является треугольной. По свойству, сформулированному на предыдущей лекции, ее определить, равен произведению элементов стоящих на главной диагонали, то есть 2. Теперь посчитаем три определителя дельта 1, дельта 2, дельта 3. И так для того чтобы найти дельта 1 заменим первый столбец основной матрицы на столбец свободных членов. Для вычисления предлагают снова воспользоваться свойством. Заметим, что первый и третий столбцы пропорциональны, а именно третий столбец равен двум первым, а значит этот определитель равен нулю. Составим дельта 2. В этом случае заменяем второй столбец основной матрицы на столбец B, получаем те же самые столбцы 406 и 203 только в другом порядке, а значит снова имеем нулевое значение у данного определителя. Находим дельта 3. Здесь уже пропорциональных строк и столбцов нет. Предлагаю использовать элементарный преобразования, после чего снова получаем треугольную матрицу, по которой легко находим ее определитель, который равен 4. И так подставляя полученные значения в формулу, получаем ответ. Первые два значения равны нулю, потому что дельта 1 и дельта 2 равны нулю, но дельте третье равняется двум. И так получаем решение системы. Первые две координаты равны нулю, а третья координата равна 2. И так единственным решением данной системы являются тройка 002. В заключении отмечу, что рассмотренные на лекции два способа решения систем, предполагают, что взятая система имеет квадратную основную матрицу, определитель, которой не равен нулю. В этом случае мы можем решить такую систему либо с помощью обратной матрицы, либо по формулам Крамера. Если же у нас основная матрица вырожденная, то в этом случае данные способы мы применить не можем. Для этого у нас имеется общий способ метод Гаусса.