Математика. Материалы курса

На лекции мы с вами введем понятие определитель квадратной матрицы. Это понятие используется при исследовании систем линейных уравнений. Вначале определим, что понимается под определителем матрицы размером 2 на 2, то есть рассмотрим простой случай.  Начнем исследование с рассмотрения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Допустим, что все коэффициенты при переменных ненулевые и произведем следующее преобразование. Помножим  первое уравнения на c, а второе на  a. После этого у нас коэффициенты при переменной x уравняются, и сделаем вычитание, из второго уравнения вычтем второе, после чего получим ступенчатую систему. И предположив, что коэффициент при переменной y не равен нулю, переменную y можно выразить, при этом раз у нас в ступенчатой системе не будет непротиворечивого не нулевого уравнения, то, значит, система имеет ровно одно решение.  И так y выразили. Перемену x можно выразить аналогичным способом, если взять исходную систему и произвести указанные операции, затем вычесть из первого уравнения второе и опять же при нашем предположении выразить переменную x. Отметим, что даже если какие-то из чистил a и c, b и d, на которые мы умножали, равны нулю все равно формулы остаются справедливыми.  Главное, чтобы выражение аd - bc не было равно нулю, если же это выражение обратиться в ноль, то в этом случае система, либо не имеют решений, либо решений бесконечно много. И так подводим предварительный итог, если система имеет одно решение, то оно может быть найдена по выведенным формулам. Эти формулы сложны для запоминания, однако выражение, которое в них присутствует, определяется по некоторому общему правилу из соответствующих матриц. Рассмотрим вначале выражение, стоящее в знаменателе (аd – bc). Это выражение называют определителем матрицы второго порядка. Это матрица получается из коэффициентов при переменных. Если мы рассмотрим элементы а и d, и их перемножим, а затем вычтем произведение элементов bc, то получится как раз таки наше число, которое стоит в знаменателе выведенных формул. При этом элементы аd и bc находятся на диагонали нашей таблице 2 на 2 , при этом диагональ аd называется главной, а диагональ bc побочной диагональю. Обозначим это число буквой дельта и посмотрим на другие выражения. И так в числителе дроби для переменной x стоит число, полученное по тому же самому правилу, только для другой матрицы. Чтобы ее составить надо столбец свободных членов k и r поставить вместо первого столбца. Вначале у нас было а и c, теперь вместо столбца а и c появляется столбец параметров k и r. Находится это число по тому же самому правилу. Перемножаем элементы главной диагонали kd, вычитаем произведение элементов побочной диагоналей br. И аналогично числитель (аr-kc) получен по тому же саму правилу из определителя матрицы, которая образуется после того, как мы столбец kr запишем вместо второго столбца, который соответствует переменной y. И так наши выведенные формулы в можно записать в таком сокращенном виде (см. на видео). Решение системы уравнений по этим формулам носит название правило Крамера. При этом данное правило может быть применено не только для системы, которую мы рассмотрели, а и для некоторой более общей ситуации, когда основная матрица системы имеет произвольный n-ый порядок, т.е. является квадратной и при этом ее определитель дельта не равен нулю. Но вначале нам надо распространить понятие определителя для произвольной квадратной матрицы n-ного порядка. И так мы с вами отметили, как вычисляется определитель матрицы второго порядка.  Давайте приведем пример (cм. на видео). И так 2*4 и вычитаем 3*-1 в итоге получаются число 11. Если же у нас n равняется единице, то есть имеем матрицу первого порядка, то в этом случае оно вырождается в один элемент, тогда определитель такой матрицы полагается равным данному элементу. При этом чтобы не было двусмысленности можно матрицу, составленную из одного элемента a, сначала записать, заключив этот элемент в круглые скобки, отметив, что рассматривается именно матрица. А затем записать у нее определитель, который равен а. Однако для простоты записей круглые скобки обычно не ставят и оставляют одни вертикальные скобки, с помощью которых обозначается определитель. Теперь рассмотрим случай, когда n=3, то есть имеется матрице третьего порядка. Определитель такой матрицы находится по указанной формуле (см. на видео). Опять же получаем, что сама по себе формула сложна для восприятия, поэтому для ее использования применяют различные схемы. Давайте посмотрим на первые три слагаемых, каждая из них представляет собой произведение трех элементов матрицы. При этом первое слагаемое это произведение элементов стоящих на главной диагонали, а два других слагаемых является произведением трех элементов, которые находится в вершинах условных треугольников. Покажем треугольники на слайде. Теперь посмотрим на сумму, которая стоит в скобках. Если скобки раскрыть, то перед каждым слагаемым возникнет знак минус, и снова первое слагаемое – это произведение элементов находящихся на другой диагонали сyu, то есть на побочной диагонали. И далее два произведения, которые представляются  элементами, находящиеся в вершинах других условных треугольников. Чтобы не запоминать, как получаются треугольники можно использовать другое правило, другую схему.  Продублируем первые два столбца справа от исходной матрицы. В этом случае первый множитель представляет собой элемент из стоящих, как мы уже знаем, на главной диагонали, а два других произведения получаются, если перемножить числа, находящиеся на условных прямых параллельных главной диагонали. Для другой суммы имеем аналогичную ситуацию. Вначале берем элементы стоящей на побочной диагонали, а затем рассматриваем произведение чисел находящихся на линиях, которые параллельны этой диагонали. Рассмотрим пример (см. на видео). Припишем первые два столбца справа и найдем три произведения.  Каждое произведение выделено своим цветом. Все эти три произведения мы берем со знаком плюс и складываем. Далее находим слагаемые, перед которыми появляется знак минус. После этого производим вычисления и получаем ответ. В данном случае определитель равен числу минус 24.  И так для случаев, когда n равняется 1,2 и 3, у нас имеются формулы. Теперь перейдем к тому, каким же образом ввести понятие определителя для произвольной матрицы n-ного порядка. В этом случае нам понадобится рассмотреть прием, который позволяет из матрицы n-го порядка получить матрицу n-1 порядка, то есть на порядок ниже. Для этого мы выберем какой-то элемент данной матрицы и рассмотрим другую матрицу, получаемую из исходной вычёркиванием строки и столбца, в которых находится данный элемент. И так используя вот эту идею, давайте запишем формулу, которая позволяет вычислить произвольный определитель (см. на видео). Эта формула называется разложением определителя по первой строке. И так рассматриваем первую строку и составляем следующую сумму, каждое слагаемое этой суммы представляет собой произведение элемента строки и так называемого алгебраического дополнения данного элемента. Обозначаемого A.  Элемент a₁₁ умножается на дополнение A₁₁, далее берем элемент  a₁₂, умножаем на его алгебраическое дополнение  и так далее. Что такое алгебраическое дополнение? Это есть определитель матрицы, которая получается вычёркиванием строки и столбца, в которых находится соответствующий элемент, при этом данное число умножается еще на коэффициент -1^i+j. На самом деле этот коэффициент равняется либо единица, либо минус единица, в зависимости от четности показателя. Таким образом, если у нас сумма индексов нечетное у нас появляется знак минус перед определителем, если же сумма индексов  чётное, то в этом случае единичный множитель никак не изменяет имеющийся определитель. Данное определение позволяет свести определитель матрицы n-ного порядка к вычислению определителя меньшего порядка. Приведем пример (см. на видео). Вычислим определитель третьего порядка с помощью разложения по первой строке. Фиксируем первую строчку, и каждый элемент i-той строки умножаем на соответствующие дополнения. Теперь эти дополнения вычисляем по указанному правилу и так A₁₁ получается вычёркиванием первой строки и первого столбца. Здесь сумма индексов четная, поэтому вычисляем определить получается 6. Он и будет являться значением дополнения элемента 11. Далее вычисляем дополнение элемента с номером 12, получаем после вычеркивания матрицу (см. на видео) и ее определитель равен трем. Однако учитывая знак минус, который появляется, получаем число -3. Аналогично вычисляем третье дополнение. Вычеркиваем первую строку и третий столбец и производим вычисления, получаем число -6. Подставляем в наше разложение полученные результаты и после вычислений получаем 9. Теперь рассмотрим свойства, которым подчиняется определитель матрицы произвольного порядка. Для иллюстрации будем приводить простые примеры. Во-первых, если в квадратной матрице взаимно поменять строки на столбцы, то ее определитель не изменится. Другими словами операция транспонирования не изменяет определитель квадратной матрицы. Пример (см. на видео), оба определителя равны одному и тому же числу. Таким образом, с точки зрения определителей строки и столбцы матрицы равноправны. Второе, определитель можно разложить по любой строке. Формулы принимают такой же вид, то есть получаем сумму, в которой каждое слагаемое представляет собой произведение элементов строки на его алгебраическое дополнение. Отсюда можно вывести ряд следствий. Во-первых, если умножить произвольную строку матрицы на число k, то и определитель данной матрице умножить на это число. Действительно после того как мы разложим определитель по данной строке в каждом слагаемом у нас будет общий множитель, после чего мы выносим его за скобку. Для иллюстрации рассмотрим такой пример (см. на видео). Во-вторых, если в определителе есть нулевая строка, то он равен нулю. Опять же раскладываем определитель по этой строке и получаем сумму, в которой все слагаемые равны нулю, а значит и вся сумма равна нулю. Третье свойство, если к одной строке прибавить другую умноженную на произвольное число, то определитель не изменится. Аналогично с операцией вычитания. Отсюда можно вывести следующее утверждение. Если в определителе у нас получается  две равные строки, то мы сразу же можем сказать, что он равен нулю. Действительно вычитаем из строки равную строку, получаем нулевую строку и в силу вышесказанного имеем значение 0. Также, если в определителе имеется 2 пропорциональные строки, то также он равен нулю. В данном примере первая строка равна трем вторым значит это ноль без каких-либо вычислений. И так имеет место еще одно свойство. Перестановка двух строк местами изменяет знак определителя. Отметим, во-первых, что все рассмотренные выше свойства предполагают операции со строками. Однако эти свойства сохраняться, если мы будем выполнять те же самые преобразования над столбцами, в силу того, что строки и столбцы у нас равноправны, что следует из 1 свойства. Во-вторых, применение указанных свойств облегчает вычисление определителя. Как правило действует по следующей схеме. с помощью элементарных преобразований добиваются того чтобы в некоторой строке было как можно больше нулей, а затем раскладывают определитель по этой строке. также можно пытаться привести матрицу к ступенчатому виду, если вдруг у нас появится нулевая строка определить у нас будет равен нулю, если же нулевые строки не появятся, то мы придем к так называемой треугольной матрице. Эта матрица, у которой все элементы находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Имеет место такое свойство,  определитель треугольной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали. Например, вот так (см. на видео). Обратите внимание, что если мы уберем нули, которые стоят ниже диагонали, то наша матрица приобретет вид прямоугольного треугольника, именно поэтому ее называют треугольной. Другие примеры использования указанных свойств, при вычислении определителя, мы рассмотрим на практическом занятии.