Математика. Материалы курса

На данном занятии отработаем алгоритм построения фундаментальной системы решений для однородной системы уравнений.

Напомню, что не любая однородная система уравнений имеет фундаментальную систему решений. Но в случае, когда пространство решений состоит из одного нуля, ФСР построить нельзя. Во всех остальных случаях фундаментальная система решений строится. На лекции мы рассмотрел ряд примеров построения базиса, сейчас отработаем это на практике.

Рассмотрим вот такую систему однородных уравнений (см. видео). Она уже имеет ступенчатый вид. Постараемся выяснить, есть ли у данной системы базис множества ее решений. Посмотрим на последнее уравнение z=0. Через последнее уравнение можно выразить второе, подставив вместо z ноль. Получается, что переменная х также равна 0. Подставляем нулевые значения в первое уравнение, выражаем у, у тоже 0. Получаем как раз-таки тот случай, когда система имеет ровно одно решение, нулевое. Так, тройка (0, 0, 0) – единственное решение. Значит, базис на этом множестве не существует. Поэтому данная система уравнений не имеет ФСР.

Рассмотрим такую задачу. Дана система линейных уравнений, однородная система. Построим у нее базис на множестве решений и, используя этот базис, запишем общее решение данной системы. Заодно повторим метод Гаусса. Нам нужна матрица из коэффициентов, причем достаточно рассмотреть матрицу основную, столбец свободных членов можно не записывать. Запишем -1 0 2, аккуратно записываем нулевые коэффициенты при тех переменных, которые в уравнении отсутствуют. Вторая строка 2 1 -1, 3 1 -3, и наконец, -4 -1 5. Ко второй строке прибавим две первых, к третьей – три первых, а из четвертой вычтем четыре первых. Получаем следующие строки (см. видео). Итак, три последние строки пропорциональны, то есть после того, как мы из третьей строки вычтем вторую, а к четвертой прибавим вторую, мы получим две нулевые строчки, которые в последующем вычеркиваем. Я их записывать уже не буду, неоднократно мы записывали этот процесс. В итоге получаем ступенчатую матрицу, возвращаемся к системе (см. видео). Переменную х3 можно сделать свободной, х1 и х2 – главные. Выразим вначале главную х2 через свободную -3х3, затем х1=2х3. Итак, общее решение получено через свободную переменную, нам необходим базис. Кстати, сразу можно отметить, раз у нас ранг исходной системы равен 2, и три переменные, значит, базис решения состоит из одного вектора. Этот вектор от нас и требуется отыскать. Для этого мы должны свободной переменной х3 придать любое ненулевое значение, например, 1, и найти значения х1 и х2, х1=2, х2=-3. Получаем базис, составленный из одного вектора (2, -3, 1). Раз этот вектор ненулевой, он образует базис пространства решений данной системы. Итак, ФСР построена. Через данный вектор мы можем выразить любое решение и записать его в виде k(2, -3, 1). Множество таких троек и образует множество всех решений исходной системы. Напоминаю, что k здесь принимает любые значения. Можно указать, что k принадлежит множеству всех действительных чисел.

Следующий пример: система состоит из двух уравнений, имеет 4 неизвестных. Я предлагаю здесь не записывать матрицу. Дело в том, что после одного преобразования мы получим ступенчатую матрицу, при этом, так как у нас во втором уравнении коэффициент при х1 равняется единице, вычтем из первого уравнения два вторых. А после этого запишем второе уравнение на первом месте, получим (см. видео). Итак, ступенчатая система, х1 и х2 – главные переменные, х3 и х4 – свободные. Базис пространство решений состоит из двух векторов. Чтобы их найти, выразим главные переменные через свободные, -3х2 перебросим в правую часть, тогда получается (см. видео). Подставим х2 и высчитаем. Итак, главные переменные через свободные мы выразили, теперь мы должны придать свободным переменным значения, чтобы получить два линейно независимых вектора. Для этого, как было показано на лекции, построим табличку. В первых двух столбцах напишем главные переменные, затем поставим черту, справа от черты напишем свободные переменные. Нам надо указать два набора свободных переменных, чтобы в итоге получились линейно независимые векторы. Для этого проще всего взять единичные векторы, соответствующие двум свободным переменным 1 0 и 0 1, как было показано на лекции. Однако, если мы возьмем таким образом, х1 и х2 у нас будут выражаться дробными числами. Ничего страшного, можно работать. Но для тех, кто не любит работать с дробями, чтобы не сделать лишних ошибок, вместо такого набора можно взять любой другой набор, лишь бы полученные строки были линейно независимыми. Поэтому вместо единичек я возьму тройки. Получается ступенчатая система, значит, мы получим линейно независимые векторы, при этом за счет троечки мы уберем дроби при вычислении главных переменных. Итак, считаем х1. Если х3=3, х4=0, то х1=1, х2 будет равно -5. Берем набор 0 3 свободных переменных, подставляем находим х1=4, х2=-8. Итак, каждая строка дает нам вектор, а=(1, -5, 3, 0), b=(4, -8, 0, 3). Таким образом, ФСР найдена. Выразим произвольные решения через базисные. Как известно, раз базис состоит из двух векторов, значит, любой вектор решения является линейной комбинацией данных, то есть k1a+k2b=k1(1, -5, 3, 0) + k2(4, -8, 0, 3), k1 b k2 – произвольные числа. Итак, общее решение данной однородной системы имеет вот такой вид. Отметим, что базис на множестве решений может состоять из других векторов, если бы мы вместо х3 и х4 взяли другие значения, то получили бы другие векторы. Решение получено.

Еще раз отмечу, что вместо взятых нами наборов свободных переменных мы могли взять другие значения, лишь бы они образовывали ступенчатую систему для независимости векторов. В этом случае мы могли получить другой базис. Вид решений записался бы по-другому, но множество решений, конечно бы, не изменилось, а просто имело бы другую форму записи, точнее другой вид.